nthoangcute nội dung

Javascript bị vô hiệu

Javascript bị vô hiệu, một vài chức năng sẽ không hoạt động. Vui lòng bật lại Javascript để sử dụng đầy đủ các chức năng.

Có 984 mục bởi nthoangcute (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)

Theo nội dung

Xem thành viên

Trang 3 / 40

Sắp theo

Sắp xếp

#358987 Cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính

Đã gửi bởi nthoangcute on 04-10-2012 - 22:58 trong Kinh nghiệm học toán

1,Phân tích đa thức thành nhân tử:
a,$x^8 + x^6y^2+5xy^4+x^2y^4+y^8$
b,$ 2x^4-x^3-9x^2+13x-5$
c,$ 12x^5+16x^4y-33x^3y^2-28x^2y^3+17xy^4+6y^5$
d,$ 6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$
2,a,Tìm m,n $ \epsilon \mathbb{N}$ sao cho $ m^2+n^2=m+n+8$
b,Giải phương trình: $ 4x^2=(x^2+1)(x^2+y^2)$
c,Tìm $ n \epsilon \mathbb{N}$
D= $n^4+4^n$ là 1 số nguyên tố

Câu 1: Câu $a)$ và $c)$ có vấn đề rồi
b) $(2x+5)(x-1)^3$
c) $(2x+1)(x^2+x+1)(3x^2+3x+1)$
Câu 2: a) $(2m-1)^2+(2n-1)^2=34$
b) $(2x^2+y^2-3)^2=(y-1)(y+3)(y-3)(y+1)$
c) Xét $modun$

#380812 Topic tích phân ôn luyện

Đã gửi bởi nthoangcute on 27-12-2012 - 09:49 trong Tích phân - Nguyên hàm

Topic hơi chìm !

Bài 32: Tính tích phân: $\int_{4}^{3} \frac{x^{10}}{x^3+1} dx$

#414096 Toán tính tổng,tích Đại Số- Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

Đã gửi bởi nthoangcute on 21-04-2013 - 11:54 trong Các dạng toán khác

Bài toán 20: Tính tổng $S = sec\frac{\pi }{{13}} + sec\frac{{3\pi }}{{13}} + sec\frac{{5\pi }}{{13}} + sec\frac{{7\pi }}{{13}} + sec\frac{{9\pi }}{{13}} + sec\frac{{11\pi }}{{13}}$.

Trong đó ký hiệu $\sec x=\frac{1}{\cos x}$.

Hãy tổng quát hóa bài toán.

Em định tổng quát như này, liệu có đẹp ?

Bài toán 20*: Chứng minh: $$\sum^n_{k=1} \sec \frac{(2k-1) \pi}{2n+1} = \frac{1}{2}- \left ( n+\frac{1}{2} \right ) \left ( -1 \right )^n$$

#415436 Toán tính tổng,tích Đại Số- Tuyển tập sưu tầm các bài toán từ Mathlinks.ro

Đã gửi bởi nthoangcute on 29-04-2013 - 22:50 trong Các dạng toán khác

Bài toán 22: Cho ${a_k} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{2k - 1}}$ với ${\rm{k}} = {\rm{1}},{\rm{2}},...,{\rm{n}}$

Tính tổng $\frac{1}{2}a_n^2 + {({a_n} - {a_1})^2} + {({a_n} - {a_2})^2} + ... + {({a_n} - {a_{n - 1}})^2}$

_________________________
Lời giải bài toán 22: (Ngồi mò bao lâu ...)

$$\begin{array}{rcl}a_k &=&\sum^k_{i=1} \frac{1}{2i-1}\\a_{k+1}-a_k&=&\frac{1}{2k+1}\\\Rightarrow \sum_{k=1}^n (a_n-a_k)^2&=&\sum ^n_{k=1} a_n^2-2a_n \sum ^n_{k=1} a_k+\sum^n_{k=1} a_k^2\\&=&n a_n^2-2 a_n \sum^n_{k=1} \Delta \left [ \frac{2k-1}{2} a_k-\frac{k}{2} \right]\\&+&\sum^n_{k=1} \Delta \left [ \,{\frac { \left( 4\,{k}^{4}-16\,{k}^{3}-59\,{k}^{2}-49\,k-14 \right) a_k ^{2}}{4(k+1)}}\right]\\&+&\sum_{k=1}^{n}\Delta \left[\left( -2\,{k}^{3}+10\,{k}^{2}+{\frac {57}{2}}\,k+12 \right) a_{k+1}^2 \right]\\&+&\sum_{k=1}^{n}\Delta \left[\,{\frac { \left( 4{k}^{4}-16{k}^{3}-91\,{k}^{2}-111\,k-36 \right) a_{k+2}^2}{4(k+1)}} \right ]\\&=&\frac{n}{2}\end{array}$$

Mong nhìn được lời giải thực ...

#350665 Giải phương trình bậc 4

Đã gửi bởi nthoangcute on 29-08-2012 - 13:10 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Sorry mình bấm nhầm đề.Mình đã sửa lại như trên.

Hình như vẫn sai đề rồi em !
_____________________
Nghiệm là $$x=\frac{5}{2}+\frac{1}{6}\sqrt {3}m \pm \frac{1}{6}\sqrt {{\frac {66km-6m{k}^{2}+2028m+
882\sqrt {3}k}{km}}}$$
Với $m=\sqrt{\frac{11k+2k^2-676}{k}}$
Và $k=\sqrt[3]{1180+18\sqrt{123478}}$

#399935 Giải phương trình bậc 4

Đã gửi bởi nthoangcute on 25-02-2013 - 17:01 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Như vậy là cần cả một quá trình rèn luyện? Mình đang vướng phải một pt bậc 4 nhưng không biết phải làm thế nào? Bạn xem giúp mình nhé!
$x^{4}-8x^{3}+ 26x^{2}-168x+409$

Gọi $k$ là nghiệm của phương trình:
$$k^3-13k^2-73k-1483=0$$
Tương đương với $$k=\frac{2}{3}\,\sqrt [3]{3311+48\,\sqrt {4362}}+{\frac {194}{3}}\,{\frac {1}{
\sqrt [3]{3311+48\,\sqrt {4362}}}}+\frac{13}{3}$$
PT đã cho tương đương với:
$$\left( {x}^{2}-4\,x+k \right) ^{2} \left( -5+k \right) =2\, \left( x
\left( -5+k \right) -2\,k+42 \right) ^{2}$$
Giải phương trình ta được:
$$x=-\frac{1}{4}\,{\frac {40-8\,k}{-5+k}}+\frac{1}{2}\,\sqrt {-10+2\,k}+\frac{1}{2}\,\sqrt {-{
\frac {-6\,\sqrt {-10+2\,k}+2\,k\sqrt {-10+2\,k}-256}{\sqrt {-10+2\,k}
}}}$$
và :
$$x=-\frac{1}{4}\,{\frac {40-8\,k}{-5+k}}+\frac{1}{2}\,\sqrt {-10+2\,k}-\frac{1}{2}\,\sqrt {-{
\frac {-6\,\sqrt {-10+2\,k}+2\,k\sqrt {-10+2\,k}-256}{\sqrt {-10+2\,k}
}}}

$$

#350657 Giải phương trình bậc 4

Đã gửi bởi nthoangcute on 29-08-2012 - 12:32 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

Mình có 1 bài mà giải hoài không ra:$(x^{2}-5x+6)-5x^{2}-24x-24=0$

Ta có : $(x^{2}-5x+6)-5x^{2}-24x-24=-4x^2-29x-18=0$
Suy ra $x=\dfrac{-29 \pm \sqrt{553}}{8}$

#352309 "Phao" cứu sinh cho Môn Ngữ Văn

Đã gửi bởi nthoangcute on 05-09-2012 - 15:58 trong Các môn xã hội (Văn học, Địa lý, Lịch sử, GDCD)

có chắn không bạn ? Nên nhớ những con người học chân chính thì ko bao giờ và ko bao giờ giở tài liệu cả nha......

Thôi đi mà em, làm người họ vẫn làm thế !!!
_______________
Ai bảo làm phao là sướng ! Khổ lắm ấy chứ, phải luyện tập ngày đêm mới được đó !!!
VD: Anh luyện "mắt thần", tập có "giác quan thứ 6", kỹ thuật điêu luyện,.... Đặc biệt là không được "ngắm gái"...
_______________
Do đó anh chưa bao giờ bị bắt vì "phao". (Chỉ bắt vì "ấy" thôi)

#406254 Nâng cấp diễn đàn

Đã gửi bởi nthoangcute on 19-03-2013 - 13:54 trong Thông báo tổng quan

Thanks cũng mất rồi ...

Xem ai like cũng không được ...

#414926 Một vài kỹ thuật tính toán với tổng $\sum\limits_{k=m}^n f(k)...

Đã gửi bởi nthoangcute on 26-04-2013 - 18:44 trong Các dạng toán THPT khác

Không thấy topic này hoạt động gì cả
Đẩy lên 1 phát

$\fbox{Bài 23}$
Tính $ S_n=\sum\limits_{k = 1}^n\dfrac{k^2-k-1}{(k+1)!} $

Em thử áp dụng một đẳng thức gần giống SPTP, được gọi là Abel transformation, hoặc Abel's Lemma

$$G_n=\sum^n_{k=1} g_k$$

$$\sum^n_{k=m} f_k g_k=f_nG_n-f_m G_{m-1}-\sum^{n-1}_{k=m} G_k (f_{k+1}-f_k)$$

____________________________________

Ta có $$G_n=\sum^n_{k=1} (k^2-k-1)=\dfrac{1}{3} n(n-2)(n+2)$$

Do đó $S_n=\dfrac{\dfrac{1}{3} n(n-2)(n+2)}{(n+1)!}-\sum^{n-1}_{k=1} \frac{1}{3} k (k-2)( k+2) \left(\frac{1}{(k+2)!}-\frac{1}{(k+1)!}\right)\\=\dfrac{\dfrac{1}{3} n(n-2)(n+2)}{(n+1)!}+\frac{1}{3} \sum^{n-1}_{k=1} \frac{k-2}{(k-1)!}\\=\dfrac{\dfrac{1}{3} n(n-2)(n+2)}{(n+1)!}+\frac{1}{3} \sum^{n-1}_{k=1} \Delta \left[ -\frac{1}{(k-2)!}\right]\\=\dfrac{ n(n-2)(n+2)}{3(n+1)!}- \frac{1}{3 (n-2)!}\\=-\frac{n}{(n+1)!}$$

____________________________________

OK?

#349960 Những khoảng khắc đẹp :D

Đã gửi bởi nthoangcute on 26-08-2012 - 18:38 trong Góc giao lưu

Cái này chắc cũng được ghi nhận !
Hình đã gửi

#349338 Những khoảng khắc đẹp :D

Đã gửi bởi nthoangcute on 24-08-2012 - 15:03 trong Góc giao lưu

Cái này là Quân khoe profile ở VMF hay là khoe cái win 7 với mấy cái ở thanh tác vụ đấy

Khoe gì không khoe đi khoe cái đó !
Tớ khoe yeutoan11 nè !
Hình đã gửi

________________________
Ấn vào ảnh là thấy !
P/s: Chú này ít người ghé thăm quá !

#350198 [MHS2013] Trận 1 - PT - HPT - BPT - HBPT Đại số

Đã gửi bởi nthoangcute on 27-08-2012 - 13:02 trong Thi giải toán Marathon cấp THPT 2013

Lời giải như đã hứa của mình với anh Trọng:
__________________________
Hình đã gửi

__________________________
Cái này không dùng Wolframalpha nhé !!!

#351361 Những khoảng khắc đẹp :D

Đã gửi bởi nthoangcute on 01-09-2012 - 14:44 trong Góc giao lưu

Cái này hơi độc nè ! (Do đang vội nên post cả Trang cá nhân)
___________________________
Hình đã gửi

#358619 Những khoảng khắc đẹp :D

Đã gửi bởi nthoangcute on 03-10-2012 - 19:38 trong Góc giao lưu

Chắc cái này mới tạo nên bước ngoặt cho VMF:
Hình đã gửi

VMF tròn 1000 likes trên Facebook !!!

#417530 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 09-05-2013 - 22:55 trong Chuyên đề toán THPT

Cho mình hỏi khi tìm nghiệm của pt vô tỉ có nghiệm vô tỉ bằng máy tính nó sẽ hiện số thập phân vô hnj không tuần hoàn thì làm sao biết chính xác nghiệm đó bằng bao nhiêu được?

Tham khảo ở đây: http://diendantoanho...oán-bằng-casio/

#421260 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 26-05-2013 - 16:11 trong Chuyên đề toán THPT

Đầu tiên là phương trình bậc 6, đoán được nghiệm $ x=2$ nhưng cái phương trình bậc 5 còn lại thì không dễ xơi.

Cho mình hỏi là sao phương trình bậc 5 còn lại bạn lại tách được như vậy. Theo mình biết thì máy tính không tìm được nghiệm phức của phương trình bậc cao ( bậc $ \ge 3 $ ) và nghiệm của phương trình bậc 3 của bạn thì quá lẻ ( chắc là theo công thức của cardano )

Cái đấy là dùng hằng số biến thiên để phân tích đa thức thành nhân tử mà ngiệm xấu ...

#421201 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 26-05-2013 - 10:23 trong Chuyên đề toán THPT

Sao bạn lại tìm ra được nghiệm phức, bằng máy tính casio hay là dùng phần mềm gì vậy?

Cái này rất dễ mò: Tại $x=3$ thì 2 PT tương đương với nhau ...

#416054 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 02-05-2013 - 19:03 trong Chuyên đề toán THPT

Anh ơi, với dạng bài như $x+2 \sqrt{3x+1}= 5\sqrt{5x^2-3x-1}$ thì hướng phân tích thành nhân tử như thế nào anh ?

Ý tưởng nhé:
Trước tiên, vẫn là mò nghiệm. Cái này thì trong thủ thuật " Giải toán bằng CASIO" có rồi, không nhắc lại nữa:
Nghiệm là: $1$ và $\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$
Như đã nói, nghiệm vô tỷ luôn đưa ra lời giải nhanh nhất

Tuy nhiên, một số người không tin...

mình thì không thấy thế, mình thấy các bài toán vô tỷ lằng nhằng hơn nhiều

_________________________________
Thôi, trở lại vấn đề vậy, ai không tin thì mặc họ ...

Tại $x=\frac{2523-29 \sqrt{22945}}{7688}$ thì $\sqrt{3x+1}+\frac{62}{29} x=0$ và $\sqrt{5x^2-3x-1}+\frac{19}{29} x=0$
Tuy nhiên, 2 nhân tử này độc lập, không đồng bậc, giả sử có phân tích thành $a\sqrt{5x^2-3x-1}+b \sqrt{3x+1}+c=0$ thì cũng vất vả không kém

Do đó ta nhân liên hợp. Tuy nhiên trong bài thi, ta nên làm như sau:
Đặt $a=\sqrt{3x+1}$ và $b=\sqrt{5x^2-3x-1}$. Giả thiết có $x+2a-5b=0$
Ta thấy $x+2a-5b=2\left(a+\frac{62}{29} x\right)-5\left (b+\frac{19}{29} x \right)$
Suy ra $$\left( {\frac {3844}{841}}\,{x}^{2}-3\,x-1 \right) \left( \frac{5}{b-\frac{19}{29} x}-\frac{2}{a-\frac{62}{29} x}\right)=0$$

Nếu ${\frac {3844}{841}}\,{x}^{2}-3\,x-1=0$ thì ok rồi

Nếu $ \frac{5}{b-\frac{19}{29} x}-\frac{2}{a-\frac{62}{29} x}=0$ thì $145a-58b=272x$ mà $x+2a-5b=0$

Suy ra $a=\frac{1418}{609} x$
Suy ra OK
Hướng làm thì như thế ... PHương pháp này giúp ích khá nhiều trong việc nhân liên hợp biểu thức ...

#416092 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 02-05-2013 - 20:56 trong Chuyên đề toán THPT

Sao em bấm máy thì nó chỉ hiển thị nghiệm là $1$ mà không hiển thị nghiệm vô tỷ như anh nói anh nhỉ ?? Khi đó ta phải làm sao để có nghiệm đó anh ?

Em cũng nhờ anh giải đáp cho luôn: Em đã đọc bài "Nhẩm nghiệm..." của anh, phải nói là rất hay!! Tuy nhiên, em vẫn không hiểu về việc tìm nghiệm cho phương trình vô tỷ. Em thấy nếu em nhập vào máy giải một phương trình vô tỷ nhưng đáp án hiện ra không phải là kết quả đẹp mà là số thập phân vô hạn. Như thế thì em phải làm thế nào để tìm được nghiệm đẹp như anh đã tìm (chẳng hạn như $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$). Mong anh giải đáp giúp em.

Vấn đề này thuộc phần topic bên kia.

Còn phần tìm nghiệm, hãy dùng casio tìm là một nghiệm gần đúng của PT (VD: $\frac{20-4 \sqrt 7}{9}$)
Tìm tiếp vài nghiệm nữa khác với nghiệm kia, thử xem có cái nào nó gần đúng $\frac{20+4 \sqrt 7}{9}$ thì ta có thể viết được số vô tỷ của chúng

#412431 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 14-04-2013 - 00:00 trong Chuyên đề toán THPT

ý nthoangcute là mấy cái nghiệm chẳn kia chỉ là trò con nít, fang mấy nghiệm khủng bố cho nó oai....... đúng ý tớ thiệt nhẩm ra nghiệm chẳn thì còn làm gì nữa, nói chung số càng khủng thì càng thích

Trời ơi, tóm lại là thử một VD sau:

Trong một ngày đẹp trời, trời xanh mây trắng, gió thổi vi vu bay qua tán lá của ngày hè, bạn A nổi hứng làm bài PT vô tỷ hệ số nguyên có chứa một căn thức. Sau một hồi dùng CASIO, bạn ấy thấy rằng có nghiệm $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ của phương trình, căn thức duy nhất của phương trình là $\sqrt{5x^2-4x-1}$
Sau khi thử nghiệm $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ vào căn thức: $\sqrt{5x^2-4x-1}$, thấy $\sqrt{5x^2-4x-1}=\sqrt{x^2+4x^2-4x-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}=x$
Chứng tỏ $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$ là nghiệm của phương trình $\sqrt{5x^2-4x-1}-x=0$

Chứng tỏ phương trình luôn có nhân tử là $(\sqrt{5x^2-4x-1}-x)$
Tuy nhiên, bạn A gặp một bài khác, nhận được nghiệm nguyên: $x=1$ với căn thức là $\sqrt{x^2-x+4}$
Bạn ấy thấy rằng: Tại x=1 thì $\sqrt{x^2-x+4}=2$. Liệu có nhân tử $(\sqrt{x^2-x+4}-2)$ ???

Thử biến đổi một hồi, mãi không thể phân tích được. Bí quá, bạn liền tìm nghiệm nữa ...

1 giây, 2 giây, 5 giây, ... hoặc lâu hơn nữa ...

Cuối cùng, bạn A thấy nghiệm $x=4$ cũng là nghiệm của phương trình

Thế vào: $\sqrt{x^2-x+4}=4$

Không được, bạn nhìn lại vào phương pháp phân tích thành nhân tử của mình ...

Ôi, hóa ra là nhân tử $(3\sqrt{x^2-x+4}-2x+4)=0$

Vậy là bạn A nhanh chóng tìm được lời giải ...

__________________________
Giờ tính sao ...

#349232 Cầu cứu GS Ngô Bảo Châu giải toán… lớp 3

Đã gửi bởi nthoangcute on 23-08-2012 - 19:28 trong Toán học lý thú

Bây giờ, mời các bạn thảo luận xem, phép tính sau cho kết quả bao nhiêu: $6\div 2\sqrt{9} = ?$

$6\div 2\sqrt{9} = 6\div \[2\sqrt{9}\]=6\div6=1$

#411379 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đã gửi bởi nthoangcute on 08-04-2013 - 21:07 trong Chuyên đề toán THPT

PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH NHÂN TỬ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bùi Thế Việt, lớp 10 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình

Yahoo: vietpro213tb

Như chúng ta đã biết, phương trình và hệ phương trình là một dạng toán hay và khó, được rất nhiều bạn học sinh và thầy cô giao yêu thích. Nó thường xuyên xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi HSG, tốt nghiệp THPT, Đại học và Cao đẳng, …Tuy nhiên, để giải một phương trình hay hệ phương trình, nhiều khi chúng ta cần phải nhóm, phân tích hợp lý để có nhân tử, tạo điều kiện dễ dàng hơn trong việc giải toán. Đó là một điều khá khó, không hẳn ai cũng làm được, không có phương pháp chung để giải. Mình xin trình bày ý tưởng của mình về phương pháp phân tích thành nhân tử trong Phương trình vô tỷ và Hệ phương trình có hệ số nguyên.

I. Phương trình vô tỷ:

Như chúng ta đã biết, việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ thường được đưa về dạng:

$$f+k\sqrt{g}=\left( a+{{k}_{1}}\sqrt{{{g}_{1}}} \right)\left( b+{{k}_{2}}\sqrt{{{g}_{2}}} \right)$$

Phương pháp phân tích:

1. Tìm nghiệm của phương trình

2. Ta chia làm hai trường hợp:

a) Nghiệm của phương trình là số vô tỷ

Phương pháp được thể hiện qua ví dụ sau:

VD1: Giải phương trình: $f(x)={{x}^{2}}+1-(x+1)\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=0$

Hướng giải:

Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\{ 1 \pm \sqrt{2} \}$

Bước 2: Tại giá trị $x$là nghiệm thì giá trị của căn thức là bao nhiêu:

$$x=1+\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$

$$x=1-\sqrt{2}\to \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}=2$$

Điều này chứng tỏ sau khi phân tích thành nhân tử thì sẽ có nhân tử là $\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)$

Bước 3: Xét tổng, hiệu để làm mất căn thức:

$$f(x)+(x+1)(\sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2)={{x}^{2}}-2x-1$$

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử ở bước 2:

$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) ={x}^{2}-2\,x-1$$

Suy ra: $$f(x)=\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}+2 \right)-\left( x+1\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+3}-2 \right)\\f(x)= \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt{{x}^{2}-2\,x+3}+2 \right) - \left( x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) = \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+3}-x+1 \right)$$

Bài giải: Bạn đọc tự giải

Nhận xét: Phương pháp này áp dụng cho các bài phương trình vô tỷ mà chỉ có chứa một căn thức và nghiệm của phương trình là số vô tỷ. Tuy nhiên, để mở rộng phạm vi của phương pháp thì hãy xét ví dụ sau:

VD2: Giải phương trình: $$f(x)=5x+7+13\sqrt{x-1}-9\sqrt{x+1}-7\sqrt{{{x}^{2}}-1}=0$$

Hướng giải: (tương tự VD1)

Bước 1: Tập nghiệm của phương trình là $S=\frac{20-4\sqrt{7}}{9},\frac{35+9\sqrt{5}}{8}$

Bước 2: Tại $x=\frac{20-4\sqrt{7}}{9}$ thì $\sqrt{x-1}=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$ và $\sqrt{x+1}=\frac{-1+2\sqrt{7}}{3}$

Bước 3: Do hệ số của phương trình vô tỷ đều là số nguyên nên giả sử sau khi phân tích $f(x)$thành nhân tử thì trong nhân tử đó có dạng $a\sqrt{x-1}+b\sqrt{x+1}+c$với $a,b,c$ là các số nguyên. Do đó, ta chỉ cần tìm mối liên hệ giữa các căn thức: \[\sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1=0\]

Tương tự với nghiệm \[x=\frac{35+9\sqrt{5}}{8}\] thì mối liên hệ giữa các căn thức là: $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6=0$

Do đó $f(x)$ chứa các nhân tử $\left( \sqrt{x+1}-2\sqrt{x-1}-1 \right)$ và $\sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6$

Bước 4: Nhẩm thấy $f(x)= \left( \sqrt {x-1}-3\,\sqrt {x+1}+6 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}-\sqrt {x+1}+1 \right)$

(nếu không thì từ các nhân tử, ta biến đổi dần dần $f(x)$ thành các cụm chứa nhân tử đó)

Bài giải: Bạn đọc tự giải

b) Nghiệm của phương trình là số nguyên:

TH1: Phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức, biểu thức trong căn có dạng $\sqrt{ax+b}$

Lưu ý: Kể cả khi nghiệm của phương trình là số vô tỷ vẫn có thể áp dụng được phương pháp này.

VD3: Giải phương trình: $f(x)=2{{x}^{2}}-3x+2-x\sqrt{3x-2}=0$

Hướng giải:

Bước 1: Đặt $t=\sqrt{3x-2} \to x=\frac{t^2+2}{3}$

Bước 2: Thế $x=\frac{t^2+2}{3}$ vào phương trình, ta được:

\[f(x)=2{{\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3} \right)}^{2}}-{{t}^{2}}-\left( \frac{1}{3}{{t}^{2}}+\frac{2}{3}\right)t=\frac{1}{9}(t-1)(t-2)(2{{t}^{2}}+3t+4)\]

Bước 3: Thay ngược trở lại: $t=\sqrt{3x-2}$ và $t^2=3x-2$ vào các nhân tử, ta được:

$$f(x)=\frac{1}{9}\left( \sqrt{3x-2}-1 \right)\left( \sqrt{3x-2}-2 \right)\left( 2\left( 3x-2 \right)+3\sqrt{3x-2}+4 \right)$$

$$f(x)= \frac{1}{9}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2 \left( 3\,x-2 \right)+3\,\sqrt {3\,x-2}+4 \right)= \frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2 \right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right)$$

Từ đó ta có thể phân tích thành nhân tử.

TH2: Phương trình vô tỷ chứa 1 căn thức nhưng biểu thức trong căn thức là đa thức bậc cao.

VD4: Giải phương trình: $f(x)=2\,{x}^{3}+x-2- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \sqrt {{x}^{2}-x-1}=0$

Nhận xét: Phương trình này khá khó phân tích thành nhân tử vì nó chỉ có nghiệm $x=2$nên căn thức và biến khó có mối liên hệ nào. Do đó, ta sẽ nghĩ tới việc tìm nghiệm phức của phương trình.

Bước 1: Từ giải thiết ta có:

$0=\left( 2\,{x}^{3}+x-2 \right) ^{2}- \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) ^{2} \left( {x}^{2}-x-1 \right)= - \left( x-2 \right) \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right) \left( 4\,{x}^{3}+4\,{x}^{2}+3\,x+2 \right)$

Ta không quan tâm đến nghiệm $x=2$mà quan tâm đến nhân tử $3x^2-3x+2$.

Bước 2: Nếu $x$ thỏa mãn $3x^2-3x+2=0$ thì khi đó $\sqrt{x^2-x-1}=\frac{\sqrt{15}}{3} i=1-2x$

Do đó $f(x)$ sẽ có nhân tử là $\left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)$

Bước 3: Xét tổng, hiệu với nhân tử để làm mất căn thức:

$f(x)+\left(4x^2-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1\right)= -2\,x \left( 3\,{x}^{2}-3\,x+2 \right)$

Bước 4: Nhân liên hợp nhân tử tìm được ở bước 2:

$\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) =-3\,{x}^{2}+3\,x-2$

Từ đó ta được:

$f(x)=2x\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}+2x-1 \right)-\left( 4{{x}^{2}}-x+2\right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x-1}-2x+1 \right)$$f(x)= 2\,x \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left(\sqrt {{x}^{2}-x-1}+2\,x-1 \right) - \left( 4\,{x}^{2}-x+2 \right) \left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right)=\left( \sqrt {{x}^{2}-x-1}-2\,x+1 \right) \left( 2\,x\sqrt {{x}^{2}-x-1}-x-2 \right)$

TH3: Phương trình vô tỷ chứa nhiều căn thức và các hệ số là các số nguyên nhỏ

Lưu ý: Trường hợp này cũng áp dụng cho VD2

VD5: Giải phương trình: $f(x)=8{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}-8x-127+73\sqrt{x+1}+39x\sqrt{x-1}=0$

Giả sử sau khi phân tích thành nhân tử, $f(x)$ trở thành:

$\left( a\sqrt {x+1}+b\sqrt {x-1}+c \right) \left( d\sqrt {x+1}+e\sqrt {x-1}+f \right)$

Do $f(x)$ mất hệ số $\sqrt{x^2-1}$, hệ số của $\sqrt{x-1}$ chỉ là $39x$ , không chứa hệ số tự do nên $b=ux,e=vx$, $du+av=0$, $u,v$ là các số nguyên. Hệ số của $\sqrt{x+1}$ là một số nguyên, $c$ và $f$ cũng là các số nguyên nên $a,d$ là các số nguyên.

Tóm lại là $f(x)$ có dạng: $\left( k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m \right) \left( t\sqrt {x+1}-tx\sqrt {x-1}+n \right)$

Dễ thấy $x=\frac{5}{4}$ là nghiệm của phương trình nên tồn tại một nhân tử nhận $x=\frac{5}{4}$ làm nghiệm

Nếu \[\left( k\sqrt{x+1}+kx\sqrt{x-1}+m \right)=0\]tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $\frac{17}{8}k+m=0$ hay $m=-\frac{17}{8}k$

Vậy $k\sqrt {x+1}+kx\sqrt {x-1}+m=k \left( \sqrt {x+1}+x\sqrt {x-1}-{\frac{17}{8}} \right)$

Suy ra $f(x)$ có nhân tử là $\left(8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17\right)$

Dễ dàng phân tích được $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$

Nếu $\left( t\sqrt{x+1}-tx\sqrt{x-1}+n \right)=0$ tại $x=\frac{5}{4}$. Khi đó $n=-\frac{7}{8}t$

Khi đó $f(x)$ có nhân tử $8\,\sqrt {x+1}-8\,x\sqrt {x-1}-7$

Suy ra nhân tử còn lại là $8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-7$

Thành thử thấy không thỏa mãn

Vậy $f(x)= \left( 8\,\sqrt {x+1}+8\,x\sqrt {x-1}-17 \right) \left( \sqrt {x+1}-x\sqrt {x-1}-7 \right)$

Lưu ý: Cách làm trên chủ yếu dựa vào đánh giá, không khái quát được cách làm, dễ nhầm lẫn. Do đó, ta có thể biến đổi phương trình thành

\[8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=0\] với $a=\sqrt{x+1},b=x\sqrt{x-1}$

Khi đó $8{{b}^{2}}-8{{a}^{2}}-119+73a+39b=-\left( 8a+8b-17 \right)\left( a-7-b \right)=0$

TH4: Phương trình vô tỷ có nhiều căn thức, có nhiều hơn hai nghiệm hữu tỷ:

Lưu ý: Trường hợp này hiếm gặp

VD: Giải phương trình: $f(x)=11\,x+47-\sqrt {{x}^{2}-1}-6\,\sqrt {x-1}-38\,\sqrt {x+1}=0$

Hướng giải:

Bước 1: Tìm tập nghiệm của phương trình: $S=\left\{ \frac{5}{4},\frac{325}{36} \right\}$

Bước 2: Xét từng giá trị của nghiệm để tìm hai số $a,b$ thỏa mãn:

$\sqrt{x-1}+a\sqrt{x+1}+b=0$

Ta được $a=-\frac{7}{5},b=\frac{8}{5}$

Chứng tỏ có một nhân tử $\left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right)$

Bước 3: Chia đa thức ta được $f(x)= \left( 5\,\sqrt {x-1}-7\,\sqrt {x+1}+8 \right) \left( 2\,\sqrt {x-1}+3\,\sqrt {x+1}-2 \right)$

Tóm lại: Việc phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ sẽ dễ dàng hơn trong việc tìm được nghiệm của phương trình. Việc tìm nghiệm còn giúp ích trong việc giải hệ phương trình, do đó kỹ năng nhẩm nghiệm cũng khá quan trọng.

II. Hệ phương trình hệ số nguyên

Sau đây là một phương pháp mới em tự nghĩ ra cho việc giải hệ phương trình với hệ số nguyên. Phương pháp này yêu cầu phải biết trước một vài cặp nghiệm của hệ phương trình và cũng yêu cầu sự chăm chỉ trong việc phân tích thành nhân tử.

Để hiểu được phương pháp, ta thử làm một ví

dụ sau:

VD7: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+3xy-9{{y}^{2}}+23y-17=0 \\ & {{x}^{2}}-2xy+3{{y}^{2}}-6y-3=0\\ \end{align} \right.$$

Hướng giải:

Đặt $a=x^2+3xy-9y^2+23y-17$ và $b=x^2-2xy+3y^2-6y-3$

Cách 1: Từ giả thiết ta có:

$$0=a+b=(x+2y-5)(2x-3y+4)$$

Cách 2: Từ giả thiết ta có:

$$0=33a+59b=(23x+24y-123)(4x-5y+6)$$

Từ các cách trên ta có thể thế $x=my+n$ vào một trong hai phương trình $a=0$ hoặc $b=0$. Lời giải dành cho bạn đọc

Nhận xét: Theo cách 1, nhiều người có thể nghĩ tới việc phân tích nhân tử $a+b$. Tuy nhiên, nếu làm theo cách 2 thì tại sao lại xuất hiện việc phân tích thành nhân tử $33a+59b$, tại sao lại không lấy các hệ số khác mà lại lấy hệ số $(33,59)$? Do đó phương pháp này giúp các bạn tìm các hệ số cần biến đổi để phân tích được thành nhân tử.

Như phương pháp phân tích thành nhân tử trong phương trình vô tỷ, ta chia phương pháp này làm các trường hợp khác nhau:

TH1: Hệ phương trình hai ẩn dạng:

\[\left\{ \begin{matrix} A={{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}{{y}^{2}}+{{c}_{1}}xy+{{d}_{1}}x+{{e}_{1}}y+{{f}_{1}}=0 \\B={{a}_{2}}{{x}^{2}}+{{b}_{2}}{{y}^{2}}+{{c}_{2}}xy+{{d}_{2}}x+{{e}_{2}}y+{{f}_{2}}=0 \\\end{matrix} \right.\]

Ta cần tìm hệ số $k$ sao cho $A+kB$ có thể phân tích thành nhân tử .

Cách 1: Đặt $$a={{a}_{1}}+k{{a}_{2}},b={{b}_{1}}+k{{b}_{2}},c={{c}_{1}}+k{{c}_{2}},$$

$$a=a_1+ka_2,b=b_1+kb_2,c=c_1+kc_2,d=d_1+kd_2,e=e_1+ke_2,f=f_1+kf_2$$

Khi đó $k$ là nghiệm của phương trình sau với $a \neq 0$

$$(cd-2ae)^2=(c^2-4ab)(d^2-4af)$$

hoặc có thể viết gọn hơn thành:

$$cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$$

Cách 2: Tìm ít nhất hai cặp nghiệm của hệ phương trình, giả sử đó là $(x,y)=(m,n);(p,q)$

Khi đó hai điểm $(m,n);(p,q)$ thuộc đường thẳng $\left( n-q \right) x- \left( m-p \right) y+mq-np=0$

Cho $(a,b)$ là một điểm khác $(x,y)=(m,n);(p,q)$thuộc đường thẳng này. Khi đó, tại $(x,y)=(a,b)$ thì $A=A_1,B=B_1$ là các hằng số. Vậy $k=-\frac{{{A}_{1}}}{{{B}_{1}}}$

VD8: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{ \begin{matrix} {{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-6xy+x-3y-624=0 \\ 21{{x}^{2}}-24{{y}^{2}}-30xy-83x+49y+585=0 \\\end{matrix} \right.$$

Hướng giải:

a) Theo cách 1 thì $k$ là nghiệm của phương trình: $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$

Với $a=1+21k,b=8-24k,c=-6-30k,d=1-83k,e=-3+49k,f=-624+585k$

Ta được $(9k-11)(31k-1)(5265k-227)=0$

Từ đó ta được 3 cách làm cho bài toán này.

b) Theo cách 2, ta tìm trước các nghiệm của hệ phương trình:

$$\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right);\left( -\frac{131}{72},\frac{1201}{144} \right)$$

Chọn hai cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $\left( \frac{13}{3},-\frac{169}{24} \right);\left( -222,-\frac{897}{8} \right)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là:

$26x-56y-507=0$

Do đó, điểm $\left( \frac{39}{2},0 \right)$ thuộc đường thẳng này. Tại điểm này thì $A=-\frac{897}{4}$, $B=\frac{27807}{4}$

Vậy $k=-\frac{A}{B}=\frac{1}{31}$

Tức là phân tích thành nhân tử đa thức$31A+B$, ta được $(2x-4y+37)(26x-56y-507)=0$

Lưu ý: Theo cách 2 thì sau khi tìm được $k$ và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm nghiệm thì sau khi phân tích thành nhân tử, sẽ có một nhân tử chính là phương trình đường thẳng đó.

TH2: Hệ phương trình hai ẩn hệ số nguyên có dạng khác TH1

Ở đây, hệ số $k$ cần nhân thêm vào không phải là một hằng số mà là một biểu thức chứa biến.

Cách làm sẽ có một số sự khác biệt so với TH1. Hãy xem cách làm một bài hệ phương trình sau đây, nó sẽ khiến một bài Hệ phương trình có khá nhiều cách làm.

VD9: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0\end{matrix}\right.$$

Hướng giải:

Đặt $a=3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0$$b=2\,{x}^{3}-20\,x-{x}^{2}y-20\,y=0$.

Bước 1: Tìm nghiệm của hệ phương trình, cần ít nhất là hai bộ nghiệm hữu tỷ hoặc một bộ nghiệm vô tỷ.

Phương trình trên có 2 cặp nghiệm dễ thấy nhất là $(x,y)=(0,0);(2,-1)$

Ngoài ra còn các cặp nghiệm $(10,15);\left( \frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right);$

$(10,15);\left(\frac{15+\sqrt{145}}{2},11+\sqrt{145} \right); \left(\frac{15-\sqrt{145}}{2},11-\sqrt{145}\right)$

Bước 2: Chọn 2 cặp nghiệm bất kì, ví dụ như $(x,y)=(0,0);(2,-1)$. Khi đó đường thẳng đi qua hai điểm này là $x+2y=0$

Tại $x=-2y$ thì $a=9y(y+1)$ và $b=-20y(y+1)(y-1)$

Vậy để sau khi phân tích thành nhân tử có nhân tử là $(x+2y)$ thì cần lấy $20(y-1)a+9b=0$ rồi phân tích thành nhân tử.

Tức là $20(y-1)a+9b$

$20(y-1)a+9b= \left( x+2\,y \right) \left( 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y \right)$

Bước 3: Xét hệ mới:

$\left\{\begin{matrix}3\,{x}^{2}+xy-9\,x-{y}^{2}-9\,y=0\\ 18\,{x}^{2}+15\,xy-60\,x-10\,{y}^{2}-80\,y=0\end{matrix}\right.$

Theo TH1 ta sẽ tìm được các cách khác nhau để phân tích nhân tử hệ mới này.

Nhận xét: Với mỗi 2 cặp nghiệm, ta có được khoảng 3 cách cho mỗi trường hợp. Do đó bài toán trên có khoảng hơn 10 cách làm, nhưng hầu hết cách làm đều giống nhau. Với những cách làm kiểu như này, khá khó khăn cho người chấm thi, và cũng khá khó khăn cho cả người làm bài vì dễ viết sai. Tuy nhiên, phương pháp này có thể giải quyết được nhiều hệ phương trình hệ số nguyên. Xét ví dụ sau:

VD10: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4-240=0\\ x^3-2y^3-3(x^2-4y^2)+4(x-8y)=0\end{matrix}\right.$

Hướng giải: Gọi $a$ là VT của PT(1)

$b$ là VT của PT(2). Dễ thấy hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên theo phương pháp thì chúng ta nghĩ tới việc cho $x=2y$,từ đó lấy $5(y^2+4)a-2yb=0$. Tuy nhiên, cách này khá dài, không khả quan vì hai phương trình không chứa hệ số xy. Ta sẽ đặt $x=\pm y+k$ để PT(1) giảm bậc xuống còn bậc 3, PT(2) vẫn là bậc 3, thuận tiện trong việc tìm hệ số $k$ là một hằng số chứ không phải là một biểu thức nữa. Do hệ có nghiệm $(x,y)=(4,2);(-4,-2)$ nên ta tìm được nhân tử là $(x+y-6)$hoặc $(x+y+6)$

Tại $x=6-y$ thì $a=-24(y-2)(y^2-7y+22)$

Và $b=-3(y-2)(y^2-7y+22)$

Duy ra $k=-8$

Vậy lấy $PT(1)-8PT(2)$ ta được:

$(x+y-6)(x-y+2)((x-2)^2+(y-4)^2)=0$

Còn tại $x=-6-y$ thì $a=24(y+2)(y^2+7y+22)$ và $b=-3(y+2)(y^2+y+58)$

Khi đó $k$ không phải là hằng số nên loại

Vậy ta có thể phân tích nhân tử bằng cách trên.

VD11: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}x^2y^2+3x+3y-3=0\\ x^2y-4xy-3y^2+2y-x+1=0\end{matrix}\right.$

Hướng giải:

Gọi a, b là VT của PT(1), PT(2)

Dễ thấy HPT có nghiệm $(x,y)= (0,1) ; (1,0)$ nên ta nghĩ tới việc thay $x=1-y$

Tại $x=1-y$ thì $a=y^2(y-1)^2$ và $b=y^2(y-1)$. Do đó $k=1-y$

Vậy ta phân tích thành nhân tử đa thức: $a+(1-y)b$, ta được:

$(x+y-1)(3y^2+xy-2y+2)=0$

Xét hệ mới:

$\left\{ \begin{matrix} 3y^2+xy-2y+2=0 \\ {{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=0 \\\end{matrix} \right.$

Trong các nghiệm của HPT này, có một cặp nghiệm mà ta phải để ý tới:

$(x,y)=\left(3,\frac{-1 \pm \sqrt{23}i}{6}\right)$

Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm này là $x=3$. Tại $x=3$ thì HPT trở thành 2 PT bậc 2 nên ta cho $y=0$ (hoặc bao nhiêu cũng được), khi đó $3y\hat{\ }2+xy-2y+2=2$và ${{x}^{2}}y-4xy-3{{y}^{2}}+2y-x+1=-2$. Từ đó $k=1$, nên cộng 2 PT này với nhau, ta được: $(x-3)(xy-1)=0$

__________________________________________
Nhớ like nha !!!