Cai' này là Iran 96 đúng ko nhi?Nung nóng lại topic này nào.
-----------------
EXERCISE:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\left( {ab + bc + ca} \right)\left[ {{1 \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + {1 \over {{{\left( {c + a} \right)}^2}}}} \right] \ge {9 \over 4}$
--------------------
Secrets In Inequalities VP nội dung
Có 298 mục bởi Secrets In Inequalities VP (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
#315810 Topic về Bất đẳng thức, cực trị THCS
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 11-05-2012 - 15:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
#331060 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 02-07-2012 - 10:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
Theo C.S:Bài 404 . Với các số a , b , c thõa mãn điều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng :
$\frac{a}{(ab+a+1)^{2}}+\frac{b}{(bc+b+1)^{2}}+\frac{c}{(ca+a+1)^{2}} \geqslant \frac{1}{a+b+c}$
$\sum a.\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq (\sum \frac{a}{ab+a+1})^{2}= 1$
Đ.P.C.M
#332436 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 10:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
Thế thì dấu "=" khi nào hả bạn ?????????Đề đúng đó bạn.
#330758 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 01-07-2012 - 11:12 trong Bất đẳng thức và cực trị
GT $\Leftrightarrow \sum (\frac{1}{n}-\frac{1}{{x_1}+1})= 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}= 0$Lâu lắm rồi mới được vào đây
BÀI TOÁN 400. [Vojtec Jarnik]
Cho $x_1, x_2, .., x_n$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện :
$$\dfrac{1}{x_1+1}+\dfrac{1}{x_2+1}+...+\dfrac{1}{x_n+1}=1$$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+...+\sqrt{x_n}\ge (n-1)\left (\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{x_n}}\right )$$
BĐT $\Leftrightarrow \sum (\sqrt{{x_1}}-\frac{n-1}{\sqrt{{x_1}}})\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0\Leftrightarrow \sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq 0$
Giả sủ ${x_1}\geq {x_2}\geq ...\geq {x_n}$
Dễ dàng kiểm tra đc 2 dãy sau cùng tăng .
$\frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}\geq \frac{{x_2}+1-n}{{x_2}+1}\geq ...\frac{{x_n}+1-n}{{x_n}+1}$
và
$\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq\frac{{x_2}+1}{\sqrt{{x_2}}}\geq ...\frac{{x_n}+1}{\sqrt{{x_n}}}$
Áp dung BĐT chebyshev ta đc :
$\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}\geq \frac{1}{n}\sum \frac{{x_1}+1-n}{{x_1}+1}.\sum \frac{{x_1}+1}{\sqrt{{x_1}}}= 0$
suy ra Đ.P.C.M
#330301 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 29-06-2012 - 17:51 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8}{(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)}\geq 2$Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 398.
Cho các số dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}-2}+\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+xy+yz+zx+2}\geq 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+y+z-2}+\dfrac{8}{x+y+z+\frac{(x+y+z)^{2}}{3}+2}\geq 2$
Đặt tiếp $x+y+z=t\Rightarrow t\geq \sqrt[3]{xyz}= 3$
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{8}{\frac{t^{2}}{3}+t+2}\geq 2\Leftrightarrow \sqrt{t-2}+\frac{24}{t^{2}+3t+6}\geq 2$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sqrt{t-2}-1\geq 1-\frac{24}{t^{2}+3t+6}\Leftrightarrow \frac{t-3}{\sqrt{t-2}+1}\geq \frac{(t-3)(t+6)}{t^{2}+3t+6}$
$\Leftrightarrow (t-3)(\frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6})\geq 0\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{t-2}+1}-\frac{t+6}{t^{2}+3t+6}\geq 0$
$\Leftrightarrow t^{2}+3t+6\geq (\sqrt{t-2}+1)(t+6)\Leftrightarrow t^{2}+2t\geq (t+6)\sqrt{t-2}$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t)^{2}\geq [(t+6))\sqrt{t-2}]^{2}$
$\Leftrightarrow (t-3)(t^{3}+6t^{2}+12t+24)\geq 0$
Luôn đúng .
OK.
#332496 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 12:03 trong Bất đẳng thức và cực trị
+TH1 : Nếu $a\geq b\geq c$.Mọi người làm hăng quá, nháy mắt đã xong hết rùi, chứng tỏ VMF chúng ta rất nhiều nhân tài Post vài bài nữa cho cả nhà cùng làm. Topic sôi nổi lên nào... Tra....zố....
Bài 417: Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn không có hai số nào đòng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{4abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+abc}\geq 2$.
Võ Quốc Bá Cẩn
$VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}+\frac{4abc}{4a^{3}}= \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{bc}{a^{2}}$
Ta có : $ab+ac\geq b^{2}+c^{2}$.
Ta dùng TC sau : nếu $y\geq x$ thì $\frac{x+t}{y+t}\geq \frac{x}{y}$ ( CM cái này bằng tuong đuong )
Ta đc :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{bc+ab+ac}\geq \frac{a^{2}}{bc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}}{bc}+\frac{bc}{a^{2}}\geq 2$
Đ.P.C.M.
+TH2 : Nếu $a\leq b\leq c$ .
$\Rightarrow (a-b)(b-c)(c-a)\geq 0\Leftrightarrow ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
$VT= \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2abc}\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}+\frac{8abc}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}+2abc}$
$\Rightarrow VT\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Vậy ta chỉ còn phải CM BĐT sau :
$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$
Đây là một BĐT quen thuộc , có thể dễ dàng CM bằng S.O.S.xem thêm trong Sáng tạo BĐT của anh Hùng.
p/s: hjx. nhìn cách của LilTee mà mình thấy xấu hổ qá .
#332584 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 17:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
AM-GM thẳng 12 số :Bài 419 . Cho các số dương a , b, c , d thỏa mãn điều kiện abcd = 1 . Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)\geqslant 12$
$VT\geq 12\sqrt[12]{(abcd)^{5}}= 12$
#340237 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 25-07-2012 - 21:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 478 . Cho $0< x,y,z\leq 1$ . Chứng minh rằng $\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\leq \frac{3}{x+y+z}$
Ta có : $(x-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow xy+1\geq x+y$
$\Rightarrow \frac{y}{1+z+xy}\leq \frac{y}{x+y+z}$
TT có 2 cái nua rồi cộng vào ta đc :
$VT\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}\leq \frac{3}{x+y+z}$
$\Rightarrow Q.E.D$
#341394 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 29-07-2012 - 10:08 trong Bất đẳng thức và cực trị
Vì $a,b,c\in (0,1)$ nên :Bài 481: Cho $a,b,c\in (0,1)$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}+\sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)}< 1$$
$VT< \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)}\leq \frac{a+b+c}{3}+\frac{1-a+1-b+1-c}{3}= 1$
#338152 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-07-2012 - 20:45 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này số xấu làm lằng nhằng qáBài 468: Cho 3 số dương x,y,z có x+y+z=1. Chứng minh:
$\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}+\frac{1+\sqrt{y}}{z+x}+\frac{1+\sqrt{z}}{x+y}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Ta có : $\frac{1+\sqrt{x}}{y+z}= \frac{1+\sqrt{x}}{1-x}= \frac{1}{1-\sqrt{x}}= \frac{1}{1-\frac{x}{2\sqrt{x.\frac{1}{3}}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}\geq \frac{1}{1-\frac{x}{x+\frac{1}{3}}.\frac{2}{\sqrt{3}}}$
$= \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}$
Vậy ta chỉ cần CM :
$\sum \frac{3x+1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}+\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
Ta có :
$\sum \frac{3x}{3x+1-2\sqrt{3}.x}= \sum \frac{3x^{2}}{3x^{2}+x-2\sqrt{3}x^{2}}\geq \frac{3(x+y+z)^{2}}{(x+y+z)-(2\sqrt{3}-3)(x^{2}+y^2+z^2)}$
$\geq \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3)\frac{(x+y+z)^{2}}{3}}= \frac{3}{1-(2\sqrt{3}-3).\frac{1}{3}}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Và :
$\sum \frac{1}{3x+1-2\sqrt{3}.x}\geq \frac{9}{3(x+y+z)+3-2\sqrt{3}(x+y+z)}= \frac{9}{6-2\sqrt{3}}$
Vậy ;
$VT\geq \frac{9}{6-2\sqrt{3}}+\frac{9}{6-2\sqrt{3}}= \frac{9}{3-\sqrt{3}}= \frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
( trục căn thúc )
#337043 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 17-07-2012 - 21:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT này sai hay sao á . Phải là $\geq 5$ ms có dấu "=" chú !Bài 450 : Chứng minh rằng nếu $a,b,c>0$ thì
$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})\geq 4$$
$\frac{(a+b+c)^{2}}{ab+bc+ca}+(\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})\geq 5$$\Leftrightarrow \frac{(\sum a)^{2}}{\sum ab}+(\frac{\sum a^{3}}{abc}-\frac{\sum a^{2}}{\sum ab})\geq 5$
$\Leftrightarrow \frac{\sum a^3}{abc}-3\geq \frac{\sum a^{2}}{\sum ab}-1+3-\frac{(\sum a)^{2}}{\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{\sum (a-b)^2(a+b+c)}{2abc}\geq \frac{\sum (a-b)^2}{2\sum ab}+\frac{\sum (a-b)^2}{\sum a^2}$
$\Leftrightarrow \Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{a+b+c}{2abc}-\frac{1}{2\sum ab}-\frac{1}{\sum a^2})\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{a+b+c}{2abc}-\frac{(a+b+c)^2}{2(\sum ab).\sum (a^2)})\geq 0$
Xét :
$\frac{a+b+c}{2abc}-\frac{(a+b+c)^2}{2(\sum ab).\sum (a^2)}\geq \frac{a+b+c}{2abc}-\frac{(a+b+c)^2}{2(\sum ab).\frac{1}{3}(a+b+c)^2}$
$= \frac{a+b+c}{2abc}-\frac{3}{2\sum ab}= \frac{a+b+c}{2abc}-\frac{3}{2( ab+bc+ca)}$
$= \frac{2(a+b+c)(ab+bc+ca)-6abc}{4abc(ab+bc+ca)}$
Cái này $\geq 0$ vì theo AM-GM :
$2(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 2.3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^2}= 18abc\geq 6abc$
Vậy BĐT đúng .
#332661 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 06-07-2012 - 21:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
Đề lại sai rồi ! $\leq 10$ hay sao chứ !Mọi người chém nhanh quá. Thêm 1 chút "gia vị" nào:
Bài 420: (VMO) Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$.CMR:$2(x+y+z)-xyz=9$ .
Giả sử $a^{2}\leq b^{2}\leq c^{2}$.Dễ dàng suy ra $c^{2}\geq 3,2ab\leq 6$ (Theo GT )
Dùng Cauchy-Schwarz :
$[2(a+b+c)-abc]^{2}=[2(a+b)+(2-ab)c]^{2}\leq [4+(2-ab)^2][(a+b)^{2}+c^{2}]$
$= (8-4ab+a^{2}b^{2})(9+2ab)= 2a^{3}b^{3}+a^{2}b^{2}-20ab+72$
$=(ab+2)^{2}(2ab-7)+100\leq 100$
$\Rightarrow 2(a+b+c)-abc\leq \mid 2(a+b+c)-abc\mid \leq 10$
p/s:Dạo này mắt ToanHocLaNiemVui kèm nhèm qá !
#329982 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-06-2012 - 17:27 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bình phuong 2 vế và rút gọn ta đc ;Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 399.[ Vasc ]
Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng :
$$1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 2\sqrt{1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}}$$
BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{b^{2}}+2\sum \frac{a}{b}\geq 3+\sum \frac{b}{a}$
Đặt $\frac{a}{b}= x ,\frac{b}{c}= y,\frac{c}{a}= z\Rightarrow xyz=1$
BĐT trỏ thành :
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z)\geq 3+2(xy+yz+zx)$
Áp dụng BĐT : $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$
Ta đc:$\sum x^{2}+2\sum x\geq \sum x^{2}+6= (\sum x^{2}+2xyz+1)+3\geq 3+2\sum xy$
Đ.P.C.M
Xong!
#329971 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-06-2012 - 16:10 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT quen thuộc : $\prod (a+b)\geq \frac{8}{9}\sum a.\sum ab$. Ta có :Lâu lắm rồi mới được vào đây
Bài toán 394. [MOSP 2001]
Cho các số thực dương $a, b, c$ thoả $abc=1$. Chứng minh rằng :
$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 4(a+b+c-1)$$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{8}{9}.\sum a.\sum ab\geq 4(\sum a-1)$
$\Leftrightarrow \frac{8}{9}.\sum ab+\frac{4}{\sum a}\geq 4$
Cái này đúng theo AM-GM:
$VT= \frac{4}{9}.\sum ab+\frac{4}{9}.\sum ab+\frac{4}{\sum a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}.\frac{4}{9}.\frac{(\sum ab)^{2}}{\sum a}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{4}{9}.\frac{4}{9}.3}=4$
Xong .!
#296353 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 25-01-2012 - 17:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Gia su ab + bc + ca >3 .Ta se chung minh:
A=$ \sum \frac{1}{a^{_{2}}+2}< 1$
$ \sum \frac{1}{a^{_{2}}+2}< 1 \Leftrightarrow \frac{3}{2}-A> \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}> 1$
Áp dụng bđt Schwars ta có:
$ \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}$
Ta se chung minh: $ \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}> 1\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)> 6$(dung theo gia su)$ \Rightarrow A> 1$ trai vs gt => dieu gs la sai $ \Rightarrow ab+bc+ca\leq 3$
___
MOD: Vui lòng gõ tiếng Việt có dấu. Đây là lần thứ 2 mình nhắc nhở bạn rồi. Còn tái phạm sẽ del bài không báo trước.
#295074 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 21-01-2012 - 17:21 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này hình nhu sai đề rùi! đây là đẳng thúcBài 142: Cho $\bigtriangleup DEF$ lấy điểm $I$ di động trên cạnh $DF$. Kẻ $IK//DE,IP//EF$.Gọi $S_{1},S_{2},S_{3}$ thứ tự là diện tích của $ \bigtriangleup IKD$, $\bigtriangleup IPF$, hình bình hành $KIPE$.Chứng minh rằng:$$S_{1},+S_{2}\geq S_{3}$$.Dấu "=" xảy ra khi nào??
#295050 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 21-01-2012 - 15:28 trong Bất đẳng thức và cực trị
$1+\frac{3}{a+b+c}\geq \frac{6}{ab+bc+ca}$
#294946 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-01-2012 - 22:22 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 131:Cho a,b,c > 0.CMR: $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{a+c}\geq 9$
___
MOD: Vui lòng Đánh tiếng Việt có dấu!
#296381 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 25-01-2012 - 20:01 trong Bất đẳng thức và cực trị
Chuan hoa $ xy+yz+zx= 3$ .De dang co:$ x+y+z\geq 3$,$ xyz\leq 1$
Ta co:$ \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}= \sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\geq \sqrt{3.3-1}= 2\sqrt{2}$
$\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}}\geq 3\sqrt{2}$
$ \Rightarrow VT\geq 12$,$ VP=12$$ \Rightarrow VT\geq VP$
Xin moi nguoi thong cam! May nha minh bi loi ko danh dc dau!
#296827 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 27-01-2012 - 15:43 trong Bất đẳng thức và cực trị
(1) Dùng Bunhiacopski.Mình giải bai 214 nhu sau:(chả bít có đúng ko)
Ta có: $ P^{2}= (a.ab+b.bc+c.ca)^{2}$
$ \Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ (1)
$ \Rightarrow P^{2}\leq 1.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$ (2)
(2) Dùng BDT : $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^{2}$
#328229 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 23-06-2012 - 09:31 trong Bất đẳng thức và cực trị
BĐT $\Leftrightarrow \sqrt[4]{4a^{3}}+\sqrt[4]{4b^{3}}+\sqrt[4]{4c^{3}}> a+b+c$E nhờ các Anh, Chị trong diễn đàn giải giúp em bài tập này với ạ:
Bài tập 1. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a+b+c =4. Chứng minh rằng:
\sqrt[4]{a^{3}}+\sqrt[4]{b^{3}}+\sqrt[4]{c^{3}}> 2\sqrt{2}
(em gõ c. thức toán nhưng không biết tại sao không hiển thị được, nên gửi file kèm bên dưới ạ)
Thank a lot !
Cái này đúng vì : $\sqrt[4]{4a^{3}}> \sqrt[4]{a.a^{3}}= a$
Suy ra BĐT đúng .
p/s: tuan268 o vĩnh phúc à ?
#314231 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 04-05-2012 - 09:39 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài 345.Bài 344.
Với $a, b, c, d >0$ Chứng minh rằng :
$$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge \dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ca}+\dfrac{c^2}{ab}$$
Bài 345.
Cho $a, b, c \in [1.2]$ . Chứng minh rằng :
$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\le 7abc$$
BĐT $\Leftrightarrow \frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}\leq 7$
$\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\leq 7\Leftrightarrow (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
Đến đây bài này quen rồi !
#298743 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 09-02-2012 - 18:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có : $ \frac{a^{2}}{a+2b^{3}}= a-\frac{2ab^{3}}{a+2b^{3}}= a-\frac{2ab^{3}}{a+b^{3}+b^{3}}\geq a-\frac{2ab^{3}}{3b^{2}\sqrt[3]{a}}$Bài 268: Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a+b+c=3. CMR:
$\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\geq 1$
$$ \Rightarrow \frac{a^{2}}{a+2b^{3}}\geq a-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{a^{2}}b = a-\frac{2}{3}.\sqrt[3]{ab.ab.b}\geq a-\frac{2}{9}(2ab+b)$$
Tương tự có 2 bđt nữa rồi cộng chúng lại , ta có :
$ VT\geq (a+b+c)-\frac{2}{9}.(2ab+2bc+2ca+3)\geq 1$
$\Rightarrow$ Đ.P.C.M .
#297006 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 28-01-2012 - 12:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Bài này mình giải nhu sau:Bài 219: Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:
$$3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \ge xyz(x+y+z)^3$$
BDT : $ \Leftrightarrow 3(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
$ \Leftrightarrow (1+1+1)(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(zx^{2}+xy^{2}+yz^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
(luôn đúng theo BDT Holder)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.
___________________________________________________________________________
Cách này ko bít có đúng ko , vì dấu "=" xảy ra vs mọi x = y = z.
#294943 Topic bất đẳng thức THCS (2)
Đã gửi bởi Secrets In Inequalities VP on 20-01-2012 - 22:15 trong Bất đẳng thức và cực trị
__
MOD: Bạn kiểm tra lại đề đi nhé. Bài này sẽ xoá vào ngày mai nếu như đề không sửa lại.
Sorry, mình nhầm ,mình sửa lại rùi nè!
- Diễn đàn Toán học
- → Secrets In Inequalities VP nội dung