Chủ đề này có 1115 trả lời

[Ispectorgadget]

Bài 214: Cho a,b,c là các số thực dương thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm GTLN của biểu thức
$P=a^2b+b^2c+c^2a$

[Secrets In Inequalities VP]

Mình giải bai 214 nhu sau:(chả bít có đúng ko)
Ta có: $ P^{2}= (a.ab+b.bc+c.ca)^{2}$
$ \Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$ \Rightarrow P^{2}\leq 1.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 27-01-2012 - 14:49

[Dung Dang Do]

Góp 215: APMO( 2012)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh
$a^3+b^3+c^3+6 \ge (a+b+c)^2$

[Ispectorgadget]

Mình giải bai 214 nhu sau:(chả bít có đúng ko)
Ta có: $ P^{2}= (a.ab+b.bc+c.ca)^{2}$
$ \Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$
$ \Rightarrow P^{2}\leq 1.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$

$P^2=(a.ab+b.bc+c.ac)\leq (a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
$2P^2=(a.ab+b.bc+c.ac)\leq 2(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (1)
$P^2=(a^2b+b^2c+c^2a)\leq (a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)=a^4+b^4+c^4$ (2)
$3P^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2=1\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$
Do đó: $3P^2\leq (a^2+b^2+c^2)^2=1\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 27-01-2012 - 15:28

[Secrets In Inequalities VP]

Mình giải bai 214 nhu sau:(chả bít có đúng ko)
Ta có: $ P^{2}= (a.ab+b.bc+c.ca)^{2}$
$ \Rightarrow P^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})$ (1)
$ \Rightarrow P^{2}\leq 1.\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}= \frac{1}{3}\Rightarrow P\leq \sqrt{\frac{1}{3}}$ (2)

(1) Dùng Bunhiacopski.
(2) Dùng BDT : $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^{2}$

[Dung Dang Do]

Đến lượt em góp đề
Bài 216: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-cb}+\frac{1}{9-ac}\le \frac{3}{8}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 27-01-2012 - 17:10
Đánh số thứ tự

[Cao Xuân Huy]

Ở trên mình đã giới thiệu qua về tiêu chuẩn 2 của định lí S.O.S như bên dưới

Nếu các số thực $a,b,c,S_a,S_b,S_c$ thỏa mãn 2 điều kiện:

a) $S_a+S_b;S_b+S_c;S_a;S_c \ge 0$

b) Nếu $a\ge b \ge c$ hoặc $a\le b \le c$ thì $S_b \ge 0$

Thì ta có: $\sum\limits_{cyc} {{S_a}{{(b - c)}^2}} \ge 0$

Chứng minh được điều này thì ta có ĐPCM

Hãy áp dụng định lí này để chứng minh bất đẳng thức sau.

Bài 217: Cho $a,b,c$ là các số thực dương bất kì. Hãy chứng minh bất đẳng thức:

\[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \le \frac{5}{2}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 28-01-2012 - 07:30

[Ispectorgadget]

Đến lượt em góp đề
Bài 216: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh bất đẳng thức:
$$\frac{1}{9-ab}+\frac{1}{9-cb}+\frac{1}{9-ac}\le \frac{3}{8}$$

Ta có: $VT\leq \frac{1}{9-\frac{(a+b)^2}{4}}+\frac{1}{9-\frac{(a+c)^2}{4}}+\frac{1}{9-\frac{(c+b)^2}{4}}$
$=\frac{4}{36-(3-c)^2}+\frac{4}{36-(3-b)^2}+\frac{4}{36-(3-a)^2}$
$VT\leq \frac{4}{27+6c-c^2}+\frac{4}{27+6b-b^2}+\frac{4}{27+6a-a^2}$
Chứng minh đánh giá sau$\frac{4}{27+6c-c^2}\leq \frac{33}{256}-\frac{x}{256}$
Làm tương tự rồi cộng lại ta có đpcm

[transformer]

Bài 215 là bài 1 trong đề thi thử của VMO 2012 của Viện Toán Học lần 2 mà

[Dung Dang Do]

Bài 215 là bài 1 trong đề thi thử của VMO 2012 của Viện Toán Học lần 2 mà

Tì em viết AMPO rồi mà.
Tiếp tục 1 bài nựa nha anh em:
Cho $a,b,c\ge 0$ và $abc\ge 10+6\sqrt{3}$
Chứng minh rằng:
$\sum_{cyc}\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\le \frac{1}{2}$
p/s: $\sum_{sym}$ là xích ma xe máy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 27-01-2012 - 21:39

[Tham Lang]

Góp 215: APMO( 2012)
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh
$a^3+b^3+c^3+6 \ge (a+b+c)^2$

Lâu rồi mới lên đây, mình xin làm bài này
Ta có :
$$a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \ge ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)$$
$$\Leftrightarrow 3(a^3 + b^3 + c^3 + 3abc) \ge 3(ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a))$$
$$\Leftrightarrow 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9abc + 6abc \ge (a + b + c)^3$$
$$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + \dfrac{15}{4} \ge \dfrac{(a + b + c)^3}{4} $$
$$\Leftrightarrow a^3 + b^3 + c^3 + 6 \ge \dfrac{(a + b + c)^3}{4} + \dfrac{9}{4} = 3.\dfrac{(a + b + c)^3}{4.3} + \dfrac{9}{4} \ge 4.\sqrt[4]{\dfrac{(a + b + c)^9.9}{4^4.3^3}} $$ $$= (a + b + c)^2.\sqrt[4]{\dfrac{a + b + c}{3}} \ge (a + b + c)^2.\sqrt[4]{\dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{3}} = (a + b + c)^2$$
Suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 27-01-2012 - 21:47

[dark templar]

Tì em viết AMPO rồi mà.
Tiếp tục 1 bài nựa nha anh em:
Cho $a,b,c<0$ và $abc\ge 10+6\sqrt{3}$
Chứng minh rằng:
$\sum_{cyc}\frac{a}{a^{3}+b^{2}+c}\le \frac{1}{2}$
p/s: $\sum_{sym}$ là xích ma xe máy

Chú em khoái lấy đề bên ML nhỉ ? Xem chính xác cái đề ở đây:
http://www.artofprob...p?f=52&t=460579

Bài 217: Cho $a,b,c$ là các số thực dương bất kì. Hãy chứng minh bất đẳng thức:

\[\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{ab + bc + ca}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} \ge \frac{5}{2}\]

Phân tích SOS đi cái đã
$$\iff \sum \left(\frac{a}{b+c} \right)-\frac{3}{2} \ge 1-\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$$
Hay:
$$\sum \left[\frac{(a-b)^2}{2(a+c)(b+c)} \right] \ge \sum \left[\frac{(a-b)^2}{2(a^2+b^2+c^2)} \right]$$
Đến đây các em làm theo yêu cầu của Huy là sử dụng tiêu chuẩn 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 27-01-2012 - 21:46

[thedragonknight]

Mình xin góp 1 bài khá hay:
Bài 218: Cho a,b,c dương sao cho:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2ab+2ac+2bc$.
Chứng minh:
$a+b+c\leq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$

[Tham Lang]

$$a + b + c \le 2(\sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc}) \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \le 4(ab + bc + ca) + 8\sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) $$ $$\Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \le 2(ab + bc + ca) + 8\sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$$ Cái này đúng vì $$a^2 + b^2 + c^2 \le 2(ab + bc + ca) \le 2(ab + bc + ca) + 8\sqrt{abc}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 27-01-2012 - 22:16

[dark templar]

Mình xin góp 1 bài khá hay:
Bài 218: Cho a,b,c dương sao cho:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2ab+2ac+2bc$.
Chứng minh:
$a+b+c\leq 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$

Để ý đến cái đẳng thức sau là OK
$$2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c})(\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a})$$

Bài 219: Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:
$$3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \ge xyz(x+y+z)^3$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 28-01-2012 - 11:04

[Secrets In Inequalities VP]

Bài 219: Cho $x,y,z>0$.Chứng minh rằng:
$$3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \ge xyz(x+y+z)^3$$

Bài này mình giải nhu sau:
BDT : $ \Leftrightarrow 3(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
$ \Leftrightarrow (1+1+1)(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y})(zx^{2}+xy^{2}+yz^{2})\geq (x+y+z)^{3}$
(luôn đúng theo BDT Holder)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1.

___________________________________________________________________________
Cách này ko bít có đúng ko , vì dấu "=" xảy ra vs mọi x = y = z.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 28-01-2012 - 14:52

[Ngày không em]

Bài 220 Cho các số thực dương $x,y,z$ chứng minh rằng
$$yz\sqrt {{x^2} + {y^2}} + zx\sqrt {{y^2} + {z^2}} + xy\sqrt {{z^2} + {x^2}} \le \sqrt 2 \left( {{x^2}y + {y^2}z + {z^2}x} \right)$$

[dark templar]

Cách này ko bít có đúng ko , vì dấu "=" xảy ra vs mọi x = y = z.

BĐT Holder chỉ đúng cho số dương

[Ngày không em]

Bài 221Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab^2+bc^2+ca^2=3$.Chứng minh rằng$$\sqrt[3]{{a + 7}} + \sqrt[3]{{b + 7}} + \sqrt[3]{{c + 7}} \le 2({a^4} + {b^4} + {c^4})$$

[Ispectorgadget]

Bài 220 Cho các số thực dương $x,y,z$ chứng minh rằng
$$yz\sqrt {{x^2} + {y^2}} + zx\sqrt {{y^2} + {z^2}} + xy\sqrt {{z^2} + {x^2}} \le \sqrt 2 \left( {{x^2}y + {y^2}z + {z^2}x} \right)$$

http://onluyentoan.vn/showthread.php?t=3110

Bài 221Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab^2+bc^2+ca^2=3$.Chứng minh rằng$$\sqrt[3]{{a + 7}} + \sqrt[3]{{b + 7}} + \sqrt[3]{{c + 7}} \le 2({a^4} + {b^4} + {c^4})$$

http://onluyentoan.vn/showthread.php?t=3118
Mấy bài này là của cấp 3 liệu phù hợp cấp 2 không nhỉ????