Giả sử $a_{n}=\frac{n+1}{2^{n+1}}\left ( \frac{2^1}{1} +\frac{2^{2}}{2}+\frac{2^3}{3}+...+\frac{2^n}{n}\right )$
Chứng minh rẳng dãy số $a_{n}$ là dãy số giảm và tính giới hạn của $a_{n}$ biết $a_{n}$ là dãy có giới hạn

bạn ơi có thể giải thích giúp mình chỗ làm sao tìm ra a =1 k?

Do $\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\geq abc$ nên ta sẽ chứng minh:
$$a^ab^bc^c\geq \left(\frac{a+b+c}{3}\right)^{a+b+c}$$
Lấy Logarit Nepe 2 vế, ta cần chứng minh:
$$ a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Xét hàm số $f(a)=a.\ln a$, ta có $f''(a)=\frac{1}{a}>0 \forall a>0$ nên hàm số $f(a)=a.\ln a$ lõm trên $(0;\infity)$
Áp dụng bất đẳng thức $Jensen$ ta có:
$$f(a)+f(b)+f \left(c\right)\geq 3f \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
$$\Leftrightarrow a.\ln a+b.\ln b+c.\ln c\geq (a+b+c).\ln \left(\frac{a+b+c}{3}\right)$$
Ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ $\square$

Em mới học lớp 11 có cách nào dành cho lớp 11 không anh?

các bạn có thể tham khảo lời giải câu 2 tại đây :
còn câu 1 thì mình chịu

1) Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng: $(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c$

2) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn : $x+3y+5z\leq 3$. Chứng minh rằng:
$3xy\sqrt{625z^4+4}+15yz\sqrt{x^4+4}+5zx\sqrt{81y^4+4}\geq 45\sqrt{5}xyz$

Chứng minh rằng:
nếu $x> \sqrt{2}x^{2}$ thì
$\frac{2cos^{2}x+sin2x}{sin^{2}x.cos2x}> 16$$

Chứng minh rằng pt: $a.(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b)=0$ luôn có nghiệm với mọi a,b,c dương

Thu gọn phương trình trên ta đc
$x^{2}(a+b+c)-2x(ab+bc+ca)+3abc=0$
$\Delta '=(ab+bc+ca)^{2}-3abc(a+b+c)\geq 0$
Nên phương trình luôn có nghiệm.
_________

NLT: Viết hoa đầu dòng bạn nhé !
___

bạn ơi mình cũng làm cáh đó rồi nhưng làm thế nào để chứng minh $\Delta$ $\geqslant 0$ ?

$\lim_{n\rightarrow \infty }\left ( \frac{a}{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}+\frac{1}{n}} +\frac{b+\frac{b}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n}}}+\frac{c+\frac{2c}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}+\frac{1}{n}}\right )=0$


chỗ này là sao vậy ak? có thể giải thích dùm em chỗ này tại sao lại bằng 0 k?

Đặt nhân tử chung và lượng liên hợp thôi mà.

anh ơi nhưng chỗ đó mẫu tiến tới 0 tử cũng tiến đến 0, em tưởng đây là dạng k xác đinh?

Cho a,b,c là ba hằng số và (Un) là dãy số được xác định bởi công thức:
$U_{n}=a\sqrt{n+1}+b\sqrt{n+2}+c\sqrt{n+3}$ ($\forall n\epsilon \mathbb{N}^{*}$
chứng minh rằng $\lim_{x\rightarrow \infty }U_{n}=0 \Leftrightarrow a+b+c=0$

Bài 2 có giới hạn là e-1

bạn có thể trình bày chi tiết giúp mình được k?

Nhận thấy:$u_{n+1}> u_{n}$, do đó $ ( u_{n})$ là dãy đơn điệu tăng
Ta cm $u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$(1)
Thật vậy (1) đúng với n=1,2
Mặt khác:
3!=2.3$> 2^{2}$,$4!= 2.3.4> 2^{3};...;n!=1.2.3.4...n> 2^{n-1}$(Quy nạp)
Do đó:$u_{n}=1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$$= \frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}= 2\left ( 1-\frac{1}{2^{n}} \right )< 2\Rightarrow u_{n}< 2,\forall n\in \mathbb{N}^{*}$
Dãy ($u_{n}$) tăng và bị chặn trên bởi 2 nên tồn tại giới hạn.

bạn ơi có thể cho mình hỏi tại sao lại chọn con số 2 mà k phải là một số khác không?

cho phương trình: $sin6x-2m(sin3x+cos3x)+m^2-4\sqrt{2}m+9=0$
tìm m để phương trình trên có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện $x\epsilon \left ( 0;\frac{\Pi }{6} \right )$

Cho một hình hộp chữ nhật có 3 kích thước lập thành một cấp số nhân. Diện tích toàn phần bằng $ma^2$ và thể tích của hình hộp chữ nhật bằng $a^3$ ( a>0 cho trước) . Tìm ba kích thước của hình hộp chữ nhật?

Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính cos góc hợp bởi giữa (SBD) và (SCD)? ( mọi người có thể làm cách lớp 11 được không?)

Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Tính cos góc hợp bởi giữa (SBD) và (SCD)? ( mọi người có thể làm cách lớp 11 được không?)

cho hàm số y = $\frac{1}{3}x^3 - \frac{m}{2}x^2 + \frac{1}{3}$
Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với Ox ?

Cho hàm số : y = f(x) = a.(x^3) + b.(x^2) + c.x + d (a # 0). Chứng minh rằng : đồ thị hàm sô tiếp xúc với Ox nếu pt a.(x^3) + b.(x^2) + c.x + d =0 có nghiệm kép hoặc được viết dưới dạng (x- x0)^3 = 0.

 cho hàm số $y=f(x)=4x^{3}+mx$. Tìm m để $\left | f(x) \right |\leq 1,\forall x\in \left [ -1;1 \right ]$

Cho dãy số (Un), $n\geqslant 0 , n\epsilon N^{*}$ được xác định như sau:
$U_{0}=0, U_{1}=1,U_{2}=0$

$U_{n+3} = \frac{(n^2+n+1)(n+1)}{n}U_{n+2}+(n^2+n+1)U_{n+1}-\frac{n+1}{n}U_{n}$

Chứn minh rằng (Un) là số chính phương với mọi $n\epsilon N^{*}$

$u_{3}$ thứ 3 tính như thế nào vậy bạn , $u_{3}=u_{n+3}$ $\Rightarrow n=0$ thay lên trên ko tính được @@

đây là bài trong để kiểm tra của bịn mình nên mình nghĩ đề bài chắc k có vấn đề k đâu

Cho 2 dãy số $x_{n}$ và $y_{n}$ :
$x_{1}=y_{1}=1 ;
x_{n+1} = 4x_{n}-2y_{n} ;
y_{n+1}=x_{n}+y_{n}$

Tìm $y_{n}$ ; $x_{n}$ ?

Cho $x;y;z\geq 0$ thỏa mãn : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$

Tìm GTLN của $P=xy+yz+xz+\frac{5}{x+y+z}$

Ta có : $P\geq \frac{(x+y)^2}{2-(x+y)}$

Đặt : $x+y = t$ , $t\epsilon \left ( -1;1 \right )$
Khi đó ta có : $P \geq \frac{t^2}{1-t}$
Xét hàm số : $$y = f\left ( x \right )=\frac{t^2}{2-t}$$
+) TXĐ : $D = (-1;1)$
+) $y^{'} = \frac{4t-t^2}{(2-t)^2}$
$y^{'}=0 \Leftrightarrow \frac{4t-t^2}{(2-t)^2}=0\Leftrightarrow 4t-t^2=0$
$\Leftrightarrow t = 0$ hoặc $t=4$
$f(0)= 0$ và $f(4)= -8$
Lập bảng biến thiên : $y= f(x)$
Từ bảng biến thiên suy ra MinP = - 8
Đây là ý tưởng của mình, bạn có thể tham khảo, nếu sai ở đâu mong m.n chỉ rõ hộ mình nhé