Chị có tài liệu này, các em tham khảo

Bài 16 :
Giải HPT : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}= \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}= \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} \end{matrix}\right.$
Bài 17 :
Giải PT: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}= 2x^{2}+2x+1$

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

Một số bài tập tự luyện trong chuyên đề phần nguyên

$\boxed{Bt1.7}$
Chứng minh rằng: $\left\lfloor 5x \right\rfloor + \left\lfloor 5y \right\rfloor \ge \left\lfloor 3x+y \right\rfloor + \left\lfloor x+3y \right\rfloor+ \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor y \right\rfloor$
Từ kết quả đó chứng minh $(5m)!(5n)!$ chia hết cho $m!n!(3m+n)!(3n+m)!$

(USAMO-1975)

__________________________________

Bài này thầy ghi nhầm đề rồi, trong phần tự luyện của thầy là thế này cơ mà :
CMR :
$\left\lfloor 5x \right\rfloor + \left\lfloor 5y \right\rfloor \ge \left\lfloor 3x+y \right\rfloor + \left\lfloor x+3y \right\rfloor$
Từ kết quả đó chứng minh $(5m)!(5n)!$ chia hết cho $m!n!(3m+n)!(3n+m)!$
Giải:
Đặt $x=a+u$, $y=b+u$ ( a, b là các số nguyên không âm, $0\leq u,v< 1$)
$BĐT\Leftrightarrow a+b+\left \lfloor 5u \right \rfloor+\left \lfloor 5v \right \rfloor\geq \left \lfloor 3u+v \right \rfloor+\left \lfloor 3v+u \right \rfloor$
Ta sẽ CM bất đẳng thức mạnh hơn :
$\left \lfloor 5u \right \rfloor+\left \lfloor 5v \right \rfloor\geq \left \lfloor 3u+v \right \rfloor+\left \lfloor 3v+u \right \rfloor$ (*)
vì u,v có vai trò như nhau . Không mất tình tổng quát, ta giả sử $u\geq v$
$\Rightarrow \left \lfloor 5u \right \rfloor\geq \left \lfloor 3u+v \right \rfloor$
Nếu $u\leq 2v$ thì $\left \lfloor 5v \right \rfloor\geq \left \lfloor 3v+u \right \rfloor$: $\Rightarrow$ đpcm
Với $u> 2v$ :
Đặt $5u=a^{'}+b^{'}, 5v=c^{'}+d^{'}$ ( $a^{'}, c^{'}$ là các số nguyên không âm , $0\leq b^{'},d^{'}< 1$)
$(*) \Leftrightarrow a^{'}+c^{'}= \left \lfloor \frac{3a^{'}+c^{'}+3b^{'}+d^{'}}{5} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3c^{'}+a^{'}+3d^{'}+b^{'}}{5} \right \rfloor$ (**)
Vì $1> u> 2v \Rightarrow 5> 5u> 10v \Rightarrow 5> a^{'}+b^{'}> 2c^{'}+2d^{'}\Rightarrow 5> a^{'} \Rightarrow 4\geq a^{'}$
Mà:
$a^{'}+b^{'}> 2c^{'}+2d^{'}\Rightarrow a^{'}\geq 2c^{'}$
( vì nếu$a^{'}< 2c^{'}\Rightarrow a^{'}\leq 2c^{'}-1\Rightarrow a^{'}+1-2c^{'}\leq 0, a^{'}+b^{'}-2c^{'}< 0$)
Do đó:
$4\geq a^{'}\geq 2c^{'}$
Kiểm tra (**) đối với 9 trường hợp
( chú ý là $3b^{'}+d^{'}< 4, 3d^{'}+b^{'}< 4$):
$a^{'}= 4, c^{'}= 2,1,0$
$a^{'}= 3, c^{'}= 1,0$
$a^{'}= 2, c^{'}= 1,0$
$a^{'}= 1, c^{'}= 0$
$a^{'}=0, c^{'}= 0$
đúng $\Rightarrow đpcm$
Áp dụng:
Theo định lý Legendre( để biết thêm chi tiết ,các bạn vào chuyên đề phần nguyên của thầy hxthanh), ta chỉ cần CM
$\left \lfloor \frac{5m}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{5n}{r} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{m}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{n}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3m+n}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3n+m}{r} \right \rfloor$, với mọi $r\geq 2$ (^^)
đặt $m=rm^{'}+x, n=rn^{'}+y$
(trong đó $0\leq x,y< r$ ; r,$m^{'}, n^{'}$ nguyên )
Khi đó
(^^) trở thành :
$\left \lfloor \frac{5x}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{5y}{r} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{3x+y}{r} \right \rfloor+\left \lfloor \frac{3y+x}{r} \right \rfloor$(cmt)
THE END.
p/s : Bài có gì sai sót, mong mọi người bổ sung thêm

VMFer chém gió ghê quá, trời nóng mà lạnh cả người

Người ngoài cùng bên phải àh

Chuẩn đó Trọng ak

Mình là G bạn à

G là GAY hả em

Đề nghị chị tieulyly1995 post ảnh cho cả nhà xem ạ ! Em xin cảm ơn nhiều

Bao h e dẫn bạn trai ra mắt VMF thì chị post

Chị làm khó em quá, em có bị Gay như một số đứa đâu mà

Đâu có Gay, giới tính rõ ràng mà em gái

Ai đây nhỉ

Các bạn thử làm bài này.

Bài 30. Kí hiệu $a * b = ab + a + b\,\,\left( {\forall a,b \in \mathbb{N}} \right)$. Tính $1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)$

Ta có :
$a*b= ab+a+b= (a+1)(b+1)-1$ Do đó :
$P_{99}= 99*100= 100.101 -1$
$P_{98}= 98* P_{99}= 99.100.101 -1$
$P_{97}= 97* P_{98}= 98.99.100.101 -1$
......................
$P_{1}= 1* P_{2}= 2.3... 98.99.100.101 -1 =101! -1$
hay
$1 * \left( {2 * \left( {3 * \left( {4 * ...\left( {99 * 100} \right)...} \right)} \right)} \right)=101! -1$

Cm Nesbit 4 biến khi vừa cm được Nesbit 3 biến (Nesbit được coi là lớp 9 không nhỉ ?)
Cho 4 số thực dương $a,b,c,d$, CMR:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\geq 2$

Lời giải sai lầm

-Áp dụng BĐT Nesbit 3 biến, ta có:
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq \frac{3}{2}$

Đây là 4 biến mà

Bài toán 2 :
Tìm giá trị nhỏ nhất của $S= a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
trong đó : $a,b,c $ là các số dương thỏa mãn $a+b+c \leq \frac{3}{2}$

giải :
Áp dụng Bđt Cauchy cho 6 số dương, ta có :
$S\geq 6\sqrt[6]{abc.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}=6$
$\Rightarrow minS=6$

Sai lầm của bài toán là dấu bằng không xảy ra.
$4a+\frac{1}{a}\geq2$.

Bạn đánh nhầm chỗ này, phải là $4a+\frac{1}{a}\geq4$.

TH1: $a=-b$, thì $4x+2=x-4\Leftrightarrow x=2$, không thoả mãn pt đầu
TH2: $b=-c$, thì $4-x=7-2x\Leftrightarrow x=3$,không thoả mãn pt đầu

Bạn nhầm một chút
TH1 : $x=-2 $ : thỏa mãn
TH2 : $x=3$ : thỏa mãn mà
Vậy PT có $3$ nghiệm.

Bài 79
Giải hệ phương trình: $
\left\{ \begin{array}{l}
x^3 - 3x = y (1) \\
y^3 - 3y = z(2) \\
z^3 - 3z = x(3) \\
\end{array} \right.
$

Đề thi HSG tỉnh Thái Bình 2009-2010

Ta thấy : khi thay $(3)$ vào $(1)$, ta được :
$(z^{3}-3z)^{3}-3(z^{3}-3z)=y$ $(4)$
Thế $(2)$ vào $(4)$ ta được :
$\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y) \right ]^{3}-3\left [ (y^{3}-3y)^{3}-3(y^{3}-3y)\right ]=y$
là một PT có số mũ cao nhất là $27$ nên HPT có tối đa $27$ nghiệm.
Xét $y\epsilon \left [ -2;2 \right ]\Rightarrow x,z \epsilon \left [ -2;2 \right ]$
Đặt : $y=2cos\alpha , \alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$
$\Rightarrow z= y^{3}-3y = 8cos^{3}\alpha -6cos\alpha =2cos3\alpha$
$\Rightarrow x= z^{3}-3z = 8cos^{3}3\alpha -6cos3\alpha =2cos9\alpha$
$\Rightarrow y= x^{3}-3x = 8cos^{3}9\alpha -6cos9\alpha =2cos27\alpha$
$\Rightarrow cos\alpha = cos27\alpha$
$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14}
\end{array} \right.$ $k\epsilon Z$
Vì $\alpha \epsilon \left [ o;\pi \right ]$ nên $\left[ \begin{array}{l} \alpha = \frac{k\pi}{13} , k= \overline{0;12}
\\
\alpha = \frac{k\pi}{14} , k= \overline{1;14}
\end{array} \right.$
Do đó PT có 27 nghiệm phân biệt trên đoạn $[-2;2]$ và cũng chính là nghiệm của hệ trên tập $R$

Bài 75 :
$\sqrt[3]{4x+2}+ \sqrt[3]{4-x}+ \sqrt[3]{2x-7}- \sqrt[3]{5x-1}=0$

Tiếp nha

Bài 71.

$\left\{\begin{matrix} 2y=x(1-y^{2}) & \\ 3x-x^{3}=y(1-3x^{2}) & \end{matrix}\right.$
(Đề thi học sinh giỏi trường Đặng Thúc Hứa)

Xét $1-y^{2}= 0$ và $1-3x^{2}=0$ : ....
Xét $1-y^{2} \neq 0$ và $1-3x^{2} \neq 0$ :
Khi đó :
$HPT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \frac{2y}{1-y^{2}}\\ y= \frac{3x-x^{3}}{ 1-3x^{2}} \end{matrix}\right.$
Đặt $x= tan\alpha$, từ hệ ta có :
$y= tan 3\alpha \Rightarrow x= tan6\alpha$
Do đó : $tan \alpha = tan 6\alpha$

Bài 72:

$15x^{5}+11x^{3}+28=\sqrt{1-3x}$
(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

ĐKXĐ : $x\leq \frac{1}{3}$
Xét $f(x)= 15x^{5}+11x^{3}+28-\sqrt{1-3x}$
có $f'(x)= 75x^{4}+33x^{2}+\frac{3}{2\sqrt{1-3x}} > 0$ với mọi $x\leq \frac{1}{3}$
do đó : $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ; \frac{1}{3}]$
Mà $f(-1)= 0$ nên $x=-1$ là nghiệm duy nhất của PT

Gọi a₀ , a₁, a₂, ...., a_n là các hệ số của đa thức f(x)= a₀ + a₁x + a₂x² + .....+ a_nxⁿ. Hãy tính tổng các hệ số của đa thức A(x)=( x + 1)²⁰¹².

Khai triển theo nhị thức Newton, ta có :
$(x+1)^{2012}= \sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^{k}x^{k}$
Vậy tổng các hệ số của đa thức là : $\sum_{k=0}^{2012}C_{2012}^{k} = 2^{2012}$

Bài 73: Giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\\
x^2+y^2+4y=19(1)
\end{matrix}\right. \,\,\,(x,y\in R)$

ĐKXĐ: $x\geq 0$; $x-y-1\geq 0$
Ta có :
$\sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1 \Leftrightarrow \sqrt{x}= \sqrt{x-y-1}+1 \Leftrightarrow 2\sqrt{x-y-1}= y$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ y^{2}= 4(x-y-1)(2) \end{matrix}\right.$
Từ (1) và (2) suy ra : $ x^2+4x-5=0 $
$\Leftrightarrow x=-5 \vee x=1$
Kết hợp với ĐKXĐ, ta có nghiệm $(x;y)$ của HPT là $(1;0)$

Bài 1:Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}x^2 - y(x + y) + 1 = 0\\(x^2 + 1)(x + y - 2) + y = 0 \end{cases}$$
Đề thi thử Đại học THPT Chuyên ĐH Vinh-Lần 2

PT (1) $\Rightarrow y(x+y)= x^{2}+1 \neq 0 \Rightarrow y\neq 0$(3)
Thay vào PT(2) ta có :
$y(x+y)(x+y-2)+y=0\Leftrightarrow y \left [ (x+y) ^{2}-2(x+y)+1\right ]=0$
$\Leftrightarrow (x+y-1)^{2}=0$ (vì $y\neq 0$ )
$\Leftrightarrow x+y=1$ (4)
Thay vào (3), ta có : $y=x^{2}+1$ (5)
Từ (4) và (5), ta tính được $x,y$
Vậy PT có nghiệm $(x,y)$ là $(0;1), (-1;2)$

Bài 45 :
Giải PT :
$\frac{1}{2}log_{\sqrt{2}}(x+3)+\frac{1}{4}log_{4}(x-1)^{8}=log_{2}4x$

HPT Tương đương
$\left\{ \begin{array}{l}
x^2 + xy+y^2+2 = 3x \\
(x^2 + yx)^4 + (y^2 + 2)^4 = 14x^4 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,(x;y \in R)$
$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2 + xy}{x}+\frac{y^2+2}{x} = 3 \\
(\frac{x^2 + yx}{x})^4 + (\frac{y^2 + 2}{x})^4 = 14 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,(x;y \in R)$ ( do x=0 không phải là nghiệm.)

Từ đây đặt ẩn phụ
$\left\{ \begin{array}{l}
m+n = 3 \\
m^4+n^4 = 14 \\
\end{array} \right.\,\,\,\,(x;y \in R)$
Đến đây giải ra nghiệm lẻ quá nên ...

Chuyển thành 17 thì đẹp

Bài 85: Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
2{(2x + 1)^3} + 2x + 1 = (2x - 3)\sqrt {y - 2} \\
\sqrt {4x + 2} + \sqrt {2y + 4} = 6
\end{array} \right.\]

Em chép nhầm đề bài rồi. Phải là : $$\[\left\{ \begin{array}{l}
2{(2x + 1)^3} + 2x + 1 = (2y - 3)\sqrt {y - 2} \\
\sqrt {4x + 2} + \sqrt {2y + 4} = 6
\end{array} \right.\]$$

ĐKXĐ : $x\geq -\frac{1}{2}; y\geq 2$
Ta có : PT $2{(2x + 1)^3} + 2x + 1 = (2y - 3)\sqrt {y - 2}$
$\Leftrightarrow 2{(2x + 1)^3} + 2x + 1 = 2(\sqrt {y - 2})^{3}+\sqrt {y - 2}$
Ta thấy hàm số $f(t)=2t^{3}+t$ đồng biến trên $\left [ 0;+\infty \right ]$ nên $\sqrt{2x+1}= y-2$
Thế vào PT$(2)$ tìm được nghiệm

p/s : Bài 84 hình như cũng sai thì phải.