Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :
$P(x)P(3x^{2})= P( 3x^{3}+ x),\forall x$

Bạn tham khảo tại đây ( #37)

Hoặc
Biến đổi PT (1) thành :
$e^{x^{2}}( x^{2}+1)= e^{y^{2}}(y^{2}+1)$
Xét $f(t)= e^{t}( t+1) , \forall t\geq 0$

Tìm nghiệm thực$64x^6-112x^4+56x^2-7=2\sqrt{1-x^2}$

ĐK : $|x| \leq 1$. Từ đk ta nghĩ đến giải bài toán bằng phương pháp lượng giác hóa.
Nhận thấy $x=0$ không phải nghiệm PT. Nhân cả 2 vế của PT với $x\neq 0$
Đặt $x = cos t , t \epsilon \left [ 0;\pi \right ]$
PT trở thành :
$64 cos ^{7}t -112 cos ^{5}t + 56 cos ^{3}t -7cost = 2\sqrt{1-cos^{2}t }$cost
$\Leftrightarrow cos7t=sin2t$

Tìm nghiệm thực của hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} 2x^2+xy-y^2-5x+y+2=0\\x^2+y^2+x+y-4=0 \end{matrix}\right.$

Nhận thấy :
$PT (1)\Leftrightarrow ( x+y-2)(2x-y-1)=0$

Tìm $f: R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa mãn :
$\frac{f^{2}(w)+ f^{2}(x)}{f(y^{2})+ f(z^{2})}= \frac{w^{2}+ x^{2}}{y^{2}+ z^{2}}$
$\forall w.x = y.z$ và $x,y,w,z \in R^{+}$

Cho hàm số $f :N^{*} \to N^{*}$ thỏa mãn :
+ $f(f(n))= 3n$
+ $f$ tăng ngặt trên $N^{*} $
Tính $f(2013)$

Tham khảo tại đây

Giải HPT :
$\left\{\begin{array}{l}(x+y+xy+1)(x+y+2)-6=0\\x^2+y^2+2(x+y)-3=0\end{array}\right.$

Cách khác :
$HPT \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(y+1)(x+y+2)=6\\ (x+1)^{2}+ (y+1)^{2}=5 \end{matrix}\right.$
Đặt $a= x+1; b= y+1$. Hệ trở thành :
$\left\{\begin{matrix} ab(a+b)=6\\ (a+b)^{2}-2ab=5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a+b)^{3}-5(a+b)-12=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b = 3\\ ab=2 \end{matrix}\right.$
Tìm $a,b$ suy ra $x,y$
Vậy HPT có nghiệm $(x,y)$ là $(1;0)$ và $(0;1)$