cho hình vẽ được k bạn... :| đoạn 2 đường tròn qua A lần lượt tiếp xúc với (O) ở M,N, cắt nhau ở P mình chưa hiểu lắm

Giải như sau:
TH1: $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ suy ra $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ chia hết cho $2$ nên nó bằng $2$ do đó $(a,b,c)=(1,1,0)$ và hoán vị nhưng khi đó loại do $a,b,c$ cùng chẵn hoặc cùng lẻ
TH2: $a,b,c$ một số chẵn, giả sử $a$ chẵn và $b,c$ lẻ cũng suy ra $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ chẵn như trên và đáp số $(a,b,c)=(0,1,1)$ và hoán vị
TH3: $a,b,c$ hai số chẵn, giả sử $a,b$ chẵn, $c$ lẻ suy ra $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ chẵn nên đáp số $(a,b,c)=(1,1,0)$ vô lý do có hai số chẵn
Vậy $\boxed{(a,b,c)=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}$

Mình thực sự không rành mấy dạng này lắm. Bạn có thể giải thích tại sao là (1;1;0) và hoán vị không? Ở TH1 bạn nói nên nó bằng 2 là sao mình không hiểu...

@nguyenta98: Bởi vì $a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)$ nguyên tố mà chẵn nên chỉ có thể bằng 2

Câu 1: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$; $D$ là trung điểm $AC$, $G$ là trọng tâm của $\Delta ABD$. CM: $OG \perp BD$.

Câu 2: Trên các cạnh kéo dài của $\Delta ABC$, đặt các đoạn $AA'=AB, BB'=BC, CC'=CA$. CMR các $\Delta ABC$ và $\vartriangle A'B'C'$ có cùng trọng tâm.

Câu 3: Cho $\Delta ABC$ có các trung tuyến $AD, BE$ thoả đk góc $\widehat{CAD} = \widehat{CBD} = 30^o$ . CMR: tam giác ABC đều.

ngoài ra còn rất nhiều bài tập khó nhưng theo tớ thì đây là nhưng bài hình học "khó nuốt" trong các đề ôn thi vào trường chuyên! Đề rất ngắn và đơn giản nên các bác cứ từ từ mần . Do lần đầu post bài có điều chi sơ xuất xin vui lòng bỏ qua =)

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O). M,N trung điểm BC, CA. Đường thẳng MN cắt (O) tại I,K ( MI > MK ). CMR:
a) $\Delta MBK\sim \Delta MIC;\Delta NAK\sim \Delta NIC$
b) $\frac{BC}{IA}=\frac{CA}{IB}+\frac{AB}{IC}$
( thực ra bài này chỉ có câu b thôi! Mình gợi ý các bạn câu a đó ^^! )

Đây là một câu hỏi đố vui trong sách của tớ: Có bạn nào giúp mình dựng một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn chỉ với compa và thước kẻ được không? ( đương nhiên là bút phải có rồi ... ). Đây là một bài toán dựng hình cho nên các bạn phải trình bày ra cách dựng và chứng minh nó đúng luôn nhé

Cho $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}$. Tìm vị trí $O$ trong ngũ giác $ABCDE$

P/s: Trên tên chủ đề do copy nhằm... nên bị sai... @@ thông cảm... Đề trong này mới đúng ...

Cho phương trình $x^2-20x-8=0$. Gọi $a$, $b$ là nghiệm của phương trình đã cho ( với $a>b$). Tính giá trị của biểu thức
$$M=\frac{a}{\sqrt[3]{b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{a}}$$
*( mẫu là căn bậc 3 nhe ... ). Các bạn dùng Viète để giải bài này!

Gợi ý nhe bạn: Gọi N là trung điểm cạnh AB, bạn cm được MN sẽ vuông với DE, vì N là tâm của đtròn => được MN là trung trực đoạn DE. Tương tự gọi I là trung điểm AC ta cũg sẽ được MI là trung trực EF, sau đó suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF => đpcm

Gợi ý nhá: a) Tứ giác$EBAC$ nội tiếp $$\Rightarrow \widehat{CEA} = \widehat{CBA}$$
$Mà: $\\widehat{CBA} = \\widehat{BIC}$ ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cùng chắn cung $BC$ ) $\Rightarrow \widehat{CEA} = \widehat{CIB}$$
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị $\Rightarrow$ đpcm
b) Đây chỉ mới là suy nghĩ thôi: cm $BC \parallel NI \Rightarrow OA \perp NI \Rightarrow S_{ANI} = \dfrac{AA'.NI}{2}$
( với $A'$ là giao điểm của $AO$ và $NI$ ) Nhưng vì $OA$ cố định nên $S_{ANI}$ phụ thuộc vào $NI$
lại có $NI \le 2R$ ( đường kinh là dây cung lớn nhất )
đẳng thức xảy ra khi $NI$ là đường kính $\Rightarrow$ vị trí cát tuyến $AMN$... sao sao mà dính tới tam giác $ANI$ đều ấy... tớ không rành mấy dụ cực trị hình học này lắm... ^^

MN là tiếp tuyến đường tròn (A;a)
Giới hạn: tiếp điểm của t.tuyến di chuyển trên cung BD.
.
.
.
Dạo này máy mình bị gì ấy, gõ Latex không được, bạn thông cảm...

Perfectstrong@: Không có gì đúng mà không được chứng minh

Cho tứ giác $ABCD$, $I$, $J$,lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm tập hợp điểm M sao cho: $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MD}=\frac{1}{2}IJ^{2}$

Cho $\Delta ABC$ có trung tuyến $AD, BE$ thoã $\widehat{DAB}=\widehat{EBC}=30^{\circ}.$. CMR $\Delta ABC$ đều.
Lưu ý là: không được dùng hàm số sin nhé



Cm nó cân tại C là dễ rồi! Các bác cố gắng cm nó cân ở A hoặc B nữa là xong @@!