e.Theo câu b thì $AM.AD=AB^{2}$ áp dụng cô-si ta có
$2AM+AD\geq 2\sqrt{2AM.AD}=2\sqrt{2}AB$ (ko đổi)
ĐTXR khi M là trung điểm của AD

Bạn nên xét kĩ hơn rằng dấu "=" xảy ra lúc đó$AM=R$ luôn cho chắc chắn vì khi M di động thì D cũng di động theo!!!(khi dấu = xảy ra bài toán trở thành trường hợp ở câu d .

Câu f,g của bạn thật sự rất đơn giản.
Ý tưởng của 2 câu trên là 1.Thật sự nên để câu g trước câu f
f)Ta có DDCM $\Delta ABM$ đồng dạng $\Delta ADB(gg)$(Điều này đã được chứng minh nếu muốn làm được câu c và e)
$\Rightarrow \angle MDC=\angle ABM=\angle ACM$
$\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD (định lí này có thể DDCM)
Mà AC cố định.Vậy I thuộc đường thẳng vuông góc với AC tại C cố định $(Q.E.D)$
Câu g) đường tròn ngoại tiếp MCD luôn tiếp xúc với $AC$ cố định($AC$ là tiếp tuyến) $(Q.E.D)$

B={0;2;4;6;8}
Xac dinh tap hop B={x chia het cho 2; x < 10}

Lam BT: Xác định tập hợp A={2;6;12;20;30}

Dễ dàng nhận thấy "quy luật" của dãy trên:$6=2+4,12=6+6,20=12+8,30=20+10$
Vậy tập hợp đó là:
$A=\begin{Bmatrix} x=x+2k|x< 42,k > 1 \end{Bmatrix}$

2) Cho 3 số a,b,c phân biệt . $c\neq 0$
Cm: nếu các PT :
$x^2+ax+bc=0$
$x^2+bx+ac=0$
có đúng 1 nghiệm chung thì các nghiệm còn lại thỏa mãn PT $x^2+cx+ab$

May nhờ bạn L.Lawliet chứ hình như topic này bị bỏ quên.
2) Giả sử 2 phương trình trên có nghiệm.Gọi $x_{1}$ là nghiệm chung duy nhất của 2 pt.$x_{2},x_{3}$ lần lượt là 2 nghiệm còn lại của 2 phương trình.Ta có:
$\left\{\begin{matrix}x_{1}^2+ax_{1}+bc=0
\\ x_{1}^2+bx_{1}+ac=0

\end{matrix}\right.$
Trừ 2 vế của 2 phương trình,ta được: $x_{1}(a-b)=c(a-b)=> x_{1}=c $(a,b,c phân biệt)
thay vào (1),ta được $a+b+c=0$
Ta có $x_{1}+x_{2}=-a=> c+a=-x_{2}=>x_{2}=b$.
Tương tự $x_{3}=a$
$=> x_{2}+x_{3}=a+b=-c$
$x_{2}x_{3}=ab=> x_{2},x_{3}$ là 2 nghiệm của pt....(Q.E.D)

Làm bài này:

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi O là trung điểm của BC. Đường tròn (O;R) tiếp xúc với AB ở E, tiếp xúc với AC ở F. Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( khác E, F), tiếp tuyến đường tròn tại H cắt AB, AC lần lượt tại M. N.
a. Chứng minh $\Delta MOB đồng dạng với \Delta ONC$
b. Xác định H sao cho S_{AMN max}

Ta có DDCM $\angle MON=\frac{1}{2}\angle EOF=\frac{180^0-\angle A}{2}=\angle B$
$\angle BMO=\angle OMN$ tính chất tiếp tuyến
$\Rightarrow \Delta OMN$ đồng dạng $\Delta BMO(gg)$
CMTT $\Delta CON$ đồng dạng $\Delta OMN$ đồng dạng tam giác $\Delta BMO(Q.E.D)$

Cho x,y,z>0, xyz(x+y+z)=16, Tim` MinA=(x+y)(x+z)

Bài này dễ nhỉ:
$A=(x+y)(x+z)=x^2+x(y+z)+yz=x(x+y+z)+yz\geq 2\sqrt{xyz(x+y+z)}=2\sqrt{16}=8(Q.E.D)$
Dễ dàng tìm ra dấu =

Bạn đã đưa bài này lên ở đây: http://diendantoanho...topic=76473. Bạn đã ra bài này nhiều lần và lập nhiều topic khác nhau và dù đã bị khóa nhưng bạn vẫn tiếp tục lập,chẳng hạn như topic này.
Bạn nghĩ là bạn chuyển vế PT là sẽ ra 1 đề khác à!!!.Đề nghị các mod xử lí trường hợp này và khóa topic này lại!!!

Câu 6: Cho tam giác $ABC$. Cho đường tròn $S$ đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $A$, đường tròn $T$ đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$. Đường tròn $S$ và $T$ cắt nhau tại $A$ và $D$. $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp $ABC$ tại $E$, Chứng minh: $D$ là trung điểm $AE$.

Câu này cũng thuộc loại khá đơn giản.
Từ giả thiết ta suy ra : $\Delta ABD$ đồng dạng $\Delta CAD(gg)\Rightarrow AD^2=BD.CD$
Ngoài ra ta cũng có: $\angle ACD=\angle BAE=\angle BCE$ nên: $\angle DCE=\angle ACB=\angle DEB$. Và: $\angle BDE=\angle EDC\Rightarrow \Delta EDB$ đồng dạng $\Delta CDE$ nên: $DE^2=DB.DC=DA^2$ Đã xong .
P/s: Theo mình thì câu này nếu như đề là chứng minh $ABCE$ là tứ giác điều hòa thì sẽ tung hỏa mù hơn chứ nhỉ

Câu 2: Cho 2 đường tròn $S$ và $T$ tiếp xúc nhau tại $X$. Có 1 tiếp tuyến chung tiếp xúc $S$ tại $A$ và $T$ tại $B$( $A$ khác $B$). Kẻ đường kính $AP$ của $S$. CM: $B,X$ và $P$ thẳng hàng.

Câu này chẳng qua cũng chỉ là chứng minh $\angle AXB=90^0$
Có thể chứng minh rất đơn giản bằng cách kẻ tiếp tuyến chung tại $X$ rồi chứng minh $X$ thuộc đường tròn đường kính $AB$.
Mà $\angle AXP=90^0$ nên ta có đpcm

Câu 3:Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^{2}-4y+7=0\\ y^{2}-6z+14=0\\ z^{2}-2x-7=0 \end{matrix}\right.$

Cho mình hỏi $BMO$ là gì vậy bạn????
Câu này chắc dễ nhất đề.
Cộng theo vế ba phương trình của hệ ta được: $x^2-2x+y^2-4y+z^2-6z+14=0\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=0\Leftrightarrow x=1,y=2,z=3$
XOng nhớ thử lại nghiệm.

Haizzz
b) $\angle BAC=180^o-\angle BDC=\angle MPN$
$\angle MAN=\angle EHF
=\angle EAF=2\angle BAC$
Suy ra $\angle MAN=\angle MPN$ mà $\Delta MAN$ cân tại $A$ nên $P$ thuộc $(A,AM)$
Suy ra đpcm

Em giải sai rồi? $P$ đâu có nằm trên đường tròn đó?

Theo em nghĩ cách bạn này giải sai ở chỗ $M,N$ là 2 điểm di động, chỉ có $D$ là cố định nên lời giải này không chính xác vì $(A;AM)$ là đường tròn di động.

$ M $ di chuyển do đường thẳng qua $ H $ không phải cố định nên câu b của bạn sai rồi

Mình có phải là người giải đâu bạn

Tiếp nha

Bài 73:

$(4x-1)\sqrt{1+x^{2}}=2x^{2}+2x+1$

(Đề thi học sinh giỏi Hà Nội 06-07)

Chém bài này bằng 2 cách (Cách trên có vẻ khá trâu bò khi biến đổi ra pương trình bậc 4 và nếu ra nghiệm vô tỉ chắc cũng chịu).
Cách 1:
Đặt $a=\sqrt{x^2+1}(a\geq 0)$
Pt trở thành $2a^2+2x-1=(4x-1)a<=>2a^2-(4x-1)a+2x-1<=>(2a-1)(a-2x+1)=0<=> \begin{bmatrix}a=\frac{1}{2} \\ a=2x-1 \end{bmatrix}$.Đến đây thay x vào giải là xong
Cách 2:Đặt $a=\sqrt{x^2+1},b=4x-1(a\geq 0)$.Phương trình trở thành :
$ab=2a^2+2x-1<=>2ab=4a^2+b-1<=> 4a^2-2ab+b-1=0<=> (2a-1)(2a+1)-b(2a-1)=0<=>(2a-1)(2a+1-b)=0$
$<=>\begin{bmatrix}a=\frac{1}{2} \\a=\frac{b-1}{2} \end{bmatrix}$
Đến đây cũng thay x vào giải và cả 2 cách đều chỉ đưa về PT bậc 2 không khó như PT bậc 4.
Bài này khá phù hợp với THCS,không khó như các bài THPT

Lâu lắm rồi không tham gia topic Làm vài bài khởi động tí nhỉ

Bài toán 80. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=2xy+1 \\
x^5+y^3+1=0
\end{matrix}\right.$$

Bài toán 81. Giải phương trình

$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$

Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

______

2 Bài khá nhẹ, mọi người chém nhanh nhé
______






Thầy CD13 có lời giải 2 bài toán này thì post lên cho mọi người tham khảo nhé, mốc hết rồi...

Cách giải khác nào(Cách kia phân tích hay thật):
DKXD $0\leq x\leq 1$
Đặt $a=x^2,b=\sqrt{1-x^2}$ Ta có hệ:
$\left\{\begin{matrix} a^2+b=1 \\ a+b^2=1 \end{matrix}\right.$ Và đây chẳng phải là hệ đối xứng loại 2 sao?
Giải ra:
$\begin{bmatrix} a=b \\ a+b=1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^2=\sqrt{1-x^2} \\ x^2+\sqrt{1-x^2}=1 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x^4=1-x^2 \\ \sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}-1)=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \\ x=0 \\ x^4+x^2-1=0 \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1 \\ x=1 \\ x=0 \\ x=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \\ x=-\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} \end{bmatrix}$

2) $2x^2 + 2x +1 = \sqrt{4x+1}$

Đặt $a=\sqrt{4x+1}\Rightarrow 2x^2+2x+1=\frac{a^4+2a^2+5}{8}=a\Leftrightarrow a^4+2a^2-8a+5=0\Leftrightarrow a^2(a-1)(a+1)+3a(a-1)-5(a-1)=0\Leftrightarrow (a-1)(a^3+a^2+3a-5)=0\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow x=0$

Lâu lắm rồi không tham gia topic Làm vài bài khởi động tí nhỉ

Bài toán 80. Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2=2xy+1 \\
x^5+y^3+1=0
\end{matrix}\right.$$

Bài toán 81. Giải phương trình

$$x^4+\sqrt{1-x^2}=1$$

Đề thi HSG Hà Nội - 2011/2012

______

2 Bài khá nhẹ, mọi người chém nhanh nhé
______






Thầy CD13 có lời giải 2 bài toán này thì post lên cho mọi người tham khảo nhé, mốc hết rồi...

Bài 80 cũng khá dễ nhỉ:
Từ phương trình đầu của hệ cho :
$(x-y)^2=1\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=x-1 \\ x+1=y \end{bmatrix}$
Xét trường hợp 1.Thay vào 2 ta có:
$x^5+(x-1)^3+1=0\Leftrightarrow x^5+x^3-3x^2+3x-1+1=0\Leftrightarrow x(x^4+x^2-3x+3)=0\Leftrightarrow x=0\Leftrightarrow x=0,y=-1$
Với TH 2:
$x^5+(x+1)^3+1=0\Leftrightarrow x^5+x^3+3x^2+3x+2=0\Leftrightarrow (x+1)(x^4-x^3+2x^2+x+2)=0\Leftrightarrow x=-1\Leftrightarrow x=-1,y=0 (Q.E.D)$

Mình hiểu ý của bạn rồi nhưng B =>A đúng chắc gì A=>B cũng đúng

mình nghĩ là bạn ấy đang sử dụng kĩ thuật hình duy nhất đấy mình thấy làm vậy chuẩn rồi(tiếc vì trong phòng thi làm không ra)

đề này khó quá anh chị ơi em thi hồi chiều làm được có 3 câu đầu, may là đậu nk rồi chứ không chắc chết quá

Bạn ơi đề đúng đấy,không sai đâu,nếu để thế này mới khó chứ .Mình gợi ý kết quả này :[/size]
$\frac{15\sqrt[3]{4}-68}{764}$

Đáp số của bạn chắc chắn là sai,không cần thử bằng wolframalpha,bấm máy tính cũng đủ để thấy kết quả.
Ở biểu thức ban đầu bấm máy tính ra -0.1402415637...
Ở biểu thức đáp án bấm ra là -0.05783898458...
Hai con số này khác nhau 1 trời một vực

trên đường tròn .ta viết 2 số 1 và 48 số o theo thứ tự : 1 0 1 0 0 ... 0
mỗi phép biến đổi ta thay 1 cặp 2 số liền nhau bất kỳ (x ; y ) bởi cặp ( x+1 ; y+1 ) . ví dụ 2 số liền nhau là (1;0) thì thay là (2:1)
CMR : bằng những phép biến đổi như trên không thu được dãy 50 số bằng nhau

Ta có trong vòng tròn ban đầu chỉ có số 1 và số 0.
Giả sử có thể thu được 50 số bằng nhau thì ta có hiệu 2 số bất kì luôn bằng 0.
Nếu trong quá trình biến đổi không có bất kì bộ số nào bộ số (0;1) hay (1;0) kề nhau trong 4 bộ (0;1),(1;0),(1;0)(0;1) đầu tiên của đường tròn(Theo gt) được chọn thì dù có biến đổi đến mức nào cũng vẫn còn 2 số 0;1 khác nhau => mâu thuẫn.
Nếu trong quá trình biến đổi có ít nhất 1 bộ số trong 4 bộ trên được chọn thì sau mọi lần chọn bộ ấy hiệu 2 phần tử trong bộ ấy luôn bằng 1 hoặc -1 khác 0(Mâu thuẫn).
Từ đó ta có đpcm $(Q.E.D)$

Ủa Shin về sau có em há ?

Cái link bạn nãy đưa là phần 2 lúc shin đã có em,đây là phần sau thời gian tác giả "nghỉ ngơi"

Tập đó là chưa có thằng em shin =))

Cho phuong trinh x² - 5x - 4m = 0. Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ Chứng minh x₁² + 5mx₂ -4m > 0

Không biết đề này có cần điều kiện $x_{1}>x_{2}$ hay đề bị sai hay sao mà khi cho m=-1 thì Phương trình có 2 nghiệm $ \begin{bmatrix}x=1
\\ x=4

\end{bmatrix}$
Do đề không nói $x_{1}>x_{2}$ nên nếu ta cho $x_{1}=1,x_{2}=4$ sẽ thấy đề sai ngay!
Với $x_{1}=1,x_{2}=4$.Biểu thức cần chứng minh >0 bằng -15<0(!!!)
Chủ topic xem lại đề nhé xem có thiếu điều kiện gì không nhé!!!!

Trong tam giác nhọn ABC trực tâm H, O là tâm đường tròn ngoại tiếp , P là chân đường cao hạ từ C xuống AB. Co cắt AB tại D, E là trung điểm của CD. CMR: EP đi qua trung điểm của OH

CHém bài này nào(Không dễ như mình tưởng)
Cho EP cắt OH tại I.
CP cắt (O) tại K.Ta có:
THeo bổ đề quen thuộc ta có: $P$ là trung điểm $KH$
Vậy giờ để chứng minh I là trung điểm OH ta chỉ cần chứng minh $EP//OK$
Ta có:
$OK=OC=R$(Bán kính đường tròn ngoại tiếp) Nên tam giác OKC cân tại O vậy $\angle OKC=\angle OCP$
Tam giác DPC vuông tại P Có E là trung điểm CD nên theo trung tuyến cạnh huyền ta có : $EP=EC$.
Nên suy ra $\angle EPC=\angle OCP\Rightarrow \angle EPC=\angle OKC\Rightarrow EP//OK$ Hay $OK//EI$
Mà P là trung điểm $KH$ nên I là trung điểm OH $$(Q.E.D)$

câu 1: Trog 1 đa giác n cạnh. hỏi có ? đường chéo

giác n cạnh => có n đỉnh...
mỗi đỉnh of đa giác có thể nối với $(n-3)$ đỉnh khác để tạo ra $(n-3)$ đường chéo....(trừ đỉnh ta đang xét và 2 đỉnh gần nhất....(vì nối tạo ra cạnh))
ta có n đỉnh => sẽ có $n.(n-3)$ đường chéo..
nhưng 1 đường chéo sẽ đc nối bởi 2 đỉnh => số đg chéo sẽ đc nhân đôi $= n.(n+3)$
=> số đường chéo thực $= \frac{n.(n-3)}{2}$