2 Điều này là sao bạn :|
Nếu là (I) ngoại tiếp , (O) nội tiếp thì :
Hình vẽ thể hiện ngay cái sai đề :|

sorry bạn, mình đã sửa lại đề rồi

bài 1: Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm $O$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $M$ là hình chiếu của $D$ trên đường thẳng $EF$. Vẽ đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $BMC$. Chứng minh $M,I,D$ thẳng hàng
bài 2: Cho đường tròn $(O;R)$ tiếp xúc trong đường tròn $(O';R')$ với $R'>R$ tại điểm $A$. Đường thẳng nối tâm $OO'$ cắt hai đường tròn ấy lần lượt tại điểm thứ hai $B;B'$. Chứng minh rằng tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn đường kính $OO', BB'$ đi qua $A$

Bài 1: Cho 3 đường tròn $(O;r);(O_{1};r_{1}); (O_{2};R)$ với $r>r_{1}$ tiếp xúc ngoài từng đôi một. Tìm độ dài của dây AB là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn $(O)$ và $(O_{1})$ cắt đương tròn$(O_{2})$.
Bài 2: Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều có tâm $O$; bán kính $R$. Vẽ đường tròn tâm $O_{1}$ tiếp xúc với 2 cạnh $AB$;$AC$ của tam giác và đường tròn $(O)$. Tính khoảng cách từ $O_{1}$ đến B theo R.
Bài 3: Cho hình bình hành ACBD. Đường tròn $(O_{1};R)$ đi qua A và B; đường tròn $(O_{2}; R)$ đi qua 2 điểm B và C. Giả sử $(O{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại điểm thứ hai M. Chứng minh rằng bán kính đương tròn ngoại tiếp tam giác ADM cũng bằng R.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở C. Vẽ đường thẳng đi qua trung điểm $E$ của $CB$ và tâm $O$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ cắt cạnh $CA$ tại $M$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh $AC$; $CB$; $BA$ tại $P$; $L$; $K$. Đường cao $CH$ cắt $PK$ tại $N$. Chứng minh $CN=CM$

Bài 1: Cho $x= \frac{1}{2}\sqrt{\sqrt{2}+\frac{1}{8}} - \frac{1}{8}\sqrt{2}$
Tính:
$M= x^{2} + \sqrt{x^{4} + x +1}$
Bài 2: Tính giá trị biểu thức:
a) $N= \frac{2}{\sqrt[3]{7}}-\sqrt[3]{7}- \frac{\sqrt{7}-\frac{1}{\sqrt{7}}}{\sqrt[3]{7}-\sqrt{\frac{1}{\sqrt{7}}}} + \frac{6}{\sqrt{7}(\sqrt[3]{7}+ \sqrt{\frac{1}{\sqrt{7}}})} + \frac{7}{\sqrt[3]{343}}$
b) $P=\frac{a+1}{\sqrt{a^{4}+a+1}-a^{2}}$ với $a>0$ và $4a^{2} + a\sqrt{2}-\sqrt{2}=0$

Cho đường tròn tâm $O$ và 4 diểm $A,B,C,D$ nằm trên đường tròn. Gọi $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ lần lượt là trực tâm $\triangle BDC, \triangle ACD, \triangle ABD,\triangle ABC.$ CMR: 4 điểm $H_{1}, H_{2}, H_{3}, H_{4}$ cùng nằm trên 1 đường tròn.

Tìm min của:
$B=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}$ với $b+c\geq a+d$, b,c>0, $a,d\geq 0$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a + b \geq c + d$
Từ giả thiết $\Rightarrow b+c\geq \frac{a+b+c+d}{2}$
Ta có $B = \frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}- (\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b})\geq \frac{a+b+c+d}{2(c+d)}- (\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b})$
Đặt $a+b=x, c+d=y$ $(x\geq y> 0)$ ta có :
$B\geq \frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y} +\frac{1}{2} -1 +\frac{y}{x}\geq 2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}= \sqrt{2} - \frac{1}{2}$
Vậy min $B=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0, a+b=\sqrt{2}(c+d), b+c=a+d$

Đặt $a=1+x ;$ $b=\sqrt{x^{2} -1}$ $\Rightarrow a^{2} -b^{2} = x^{2} + 2x + 1 - x^{2} +1 = 2a$ $\Rightarrow b^{2} = a^{2}-2a$
theo pt : $(a-b)^{3} + (a+b)^{3} = 2a(3b^{2}+a^{2})=2a(4a^{2}-6a)=16$
$\Rightarrow 8a^{3} -6a^{2}-16=0$ (1)
Giải phương trình (1) được $a=2 \Rightarrow x=1$
Haizzz....... Chậm nữa rồi

Cho đường tròn O và 2 điểm A, B cố định thuộc đường tròn O. Gọi N là 1 điểm thay đổi trên đường tròn O, I là trung điểm của AN, M là hình chiếu của I lên BN. CMR: đường thẳng MI luôn đi qua 1 điểm cố định khi N thay đổi.

Cho n là số nguyên dương lẻ, u là 1 ước nguyên dương lẻ của $3^{n}+1$. Tìm số dư của u khi chia cho 3.

Vì n lẻ nên ta có :
$3^{n} + 1$ = $(3 + 1).(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = $4.(3^{n-1} + 3^{n-2} + ... + 3 + 1)$ = 2.k.u ( Vì u là ước lẻ ) (k > 0)
Nếu u = 1 thì u chia 3 dư 1
Nếu u $\neq$ 1 thì 4 không chia hết cho u
$\Rightarrow$ $3^{n} + 1 = 4. (3^{n-1} + 3^{n-2} + ... +3 + 1) = 4. u$
$\Rightarrow$ $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1 = u$
Mà $3^{n-1} + 3^{n-2} + ...+ 1$ chia 3 dư 1
$\Rightarrow$ u chia 3 dư 1
Vậy số dư của u khi chia cho 3 là 1

Ta có : $x^{15} + y^{15} + z^{15} = (x^{5})^{3} + (y^{5})^{3} + (z^{5})^{3}$
Mà lập phương của 1 số nguyên chỉ có thể dư 0; 1; 8. Do đó vế trái của phương trình chia cho 9 chỉ có thể dử 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8. (1)
Xét vế phải của phương trình ta có:
$19^{2003} + 7^{2003} + 9^{2003} = 19^{2003} - 1 + 7^{2003} + 1 + 9^{2003}
= 9.2.M_{a} + 9^{2003} + 7^{2003} + 1$
Mà $7^{3} \equiv 1 (mod 9)
\Rightarrow (7^{3})^{667} \equiv 1 ( mod 9)$
Lại có : $7^{2}\equiv 4 (mod 9) \Rightarrow 7^{2001}. 7^{2} \equiv 1.4 ( mod 9)$
Hay $7^{2003}$ chia 9 dư 4
$\Rightarrow$ $7^{2003} +1$ chia 9 dư 5 ( 2 )
từ (1) và (2) $\Rightarrow$ phương trình không có nghiệm nguyên

S= $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{1999}}$
Hỏi S có phải là stn không ? vì sao ?
--------------
@ WWW: Xem cách đặt tiêu đề cho bài viết tại đây.

Cho $\bigtriangleup ABC$ đều, cạnh a, hãy xác định cát tuyến cắt AB ở M; AC ở N và BC kéo dài tại K thỏa mãn diện tích $\bigtriangleup AMN$ bằng diện tích tứ giác BMNC bằng diện tích $\bigtriangleup NCK$

cho e đăng ký vs ạ !!!