Theo cách của anh,nếu làm tiếp sẽ rất dài ,em chịu khó xem trước trong SGK phần Đạo hàm đi nhé

vâng dù sao em cũng cảm ơn, chắc phải xem ngay mới được

Em học lớp 11 thì đến thời gian này phải học tới đạo hàm rồi chứ ?

chiều nay em mới học đến bài hàm số liên tục thôi

Chỉ cần dùng 1 biến đổi đơn giản thui mà : cộng trừ tử số với $(x+1)$
Ta có : $\sqrt{2x+1} - (x+1) = \frac{-x^2}{\sqrt{2x+1}+(x+1)}$
$(x+1)- \sqrt[3]{3x+1} = \frac{x^3+3x^2}{(x+1)^2+(x+1)\sqrt[3]{3x+1}+\sqrt[3]{3x+1}^2}$
Chia $x^2$ xuống thì sẽ mất dạng vô định rùi cho $x=0$ vô là xong

cách này hay thật đấy nhưng mình thắc mắc là tự nhiên làm sao mà nghĩ ra thêm bớt (x+1), chắc phải có dấu hiệu gì chăng??

\[\begin{array}{rcl}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt[n]{{\left( {x + {a_1}} \right)\left( {x + {a_2}} \right)...\left( {x + {a_n}} \right)}} - x} \right) &=& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + \frac{{{a_1}}}{x}} \right)\left( {1 + \frac{{{a_2}}}{x}} \right)...\left( {1 + \frac{{{a_n}}}{x}} \right)}} - 1}}{{\frac{1}{x}}}\\
&=& \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} \quad \text{với $t=\frac{1}{x} \to 0$ khi $x \to +\infty$}
\end{array}\]

Xét hàm số $f(t)=\sqrt[n]{(1+a_1t)(1+a_2t)...(1+a_{n}t)}$ .Theo định nghĩa đạo hàm tại 1 điểm thì :
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + {a_1}t} \right)\left( {1 + {a_2}t} \right)...\left( {1 + {a_n}t} \right)}} - 1}}{t} = f'\left( 0 \right)\]

Việc tính $f'(0)$ nhường cho em nhé

Anh có cách nào đơn giản hơn không em chưa học đạo hàm

tìm $\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^2}$

tìm $\lim_{x \to+\infty }(\sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_n)}-x)$

tính tổng: $S=1+8q+27q^2+...+n^3q^{n-1}+...,(\left | q \right |< 1)$

Xét phép đổi ẩn $u_{n}=\frac{v_{n}}{n+1} \quad \forall n \ge 1$.Khi đó ta có dãy mới là :

\[{\left\{ {{v_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\frac{{{v_n}}}{{n + 1}} - \frac{{2{v_{n + 1}}}}{{n + 2}} = - \frac{n}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}
\end{array} \right. \quad \text{Hay} \quad \left\{ \begin{array}{l}
{v_1} = 3\\
\left( {n + 2} \right){v_n} + n = 2\left( {n + 1} \right){v_{n + 1}}
\end{array} \right.\]

Với CTTH của dãy $\{v_{n} \}$,ta thực hiện thêm chút biến đổi để có :
\[\left( {n + 2} \right)\left( {{v_n} - 1} \right) = 2\left( {n + 1} \right)\left( {{v_{n + 1}} - 1} \right)\]

Như vậy,ta sẽ tiếp tục đặt $v_{n}-1=x_{n}$,khi đó :

\[{\left\{ {{x_n}} \right\}_{n \ge 1}}:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = 2\\
{x_{n + 1}} = \frac{{n + 2}}{{2\left( {n + 1} \right)}}{x_n}
\end{array} \right.\]

Từ đó :
\[{x_n} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{x_{n - 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n}}{{{2^2}n\left( {n - 1} \right)}}{x_{n - 2}} = ... = \frac{{n + 1}}{{{2^{n }}}}{x_1} = \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\]

Suy ra :
\[{v_n} = 1 + \frac{{n + 1}}{{{2^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}};\forall n \ge 1.\]

sao phức tạp thế ạ, làm thế này có vẻ đơn giản hơn:
$2u_{n+1}=u_n+\frac{n}{n^2+3n+2}=u_n+\frac{2(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=u_n+\frac{2}{n+1}-\frac{1}{n+1}$ nhìn đến đây chắc cũng thấy đáp án rồi chỉ tiếc là bài này hôn nọ kiểm tra một tiết mà đến hôm nay mới làm ra

cho $\left\{\begin{matrix}u_1=\frac{3}{2}\\ u_n-2u_{n+1}=-\frac{n}{n^2+3n+2}\end{matrix}\right.$
xác định số hạng tổng quát của dãy số trên.

Sao $v_n=v_n+u_{n+1}$ ?

xin lỗi mình viết thiếu, đã sửa

tìm hai số a và b sao cho $1,a^2,b^2$ là cấp số cộng và 2,a+2,b-3 là cấp số nhân

cho: $(u_n): u_n=\frac{2}{n^2+4n+3}$ và $(v_n): \left\{\begin{array}{l}v_{n+1}=v_n+u_{n+1}\\v_1=u_1\end{array}\right.$ tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$

giải phương trình sau:
$1+2x+3x^2+4x^3+...=14884$ với $x\epsilon (0;1)$

tìm số hạng tổng quát của dãy số:
$(u_n): \left\{\begin{matrix}u_1=1\\ \pi u_{n+1}=-(n+1)u_n\end{matrix},n\geq 1\right.$

Ta có: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }[(\sqrt{x^2+2x}-x)+(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x)]=L_1+L_2$

mình có góp ý cho bạn ở phần trên không được ghi ngay là $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }[(\sqrt{x^2+2x}-x)+(\sqrt[3]{x^3+3x^2}-x)]=L_1+L_2$ vì chưa biết biểu thức bên trong có giới hạn hữu hạn hay không nhưng ta vẫn tính như ở bên dưới rồi mới ghi lại, nếu chấm bài này chắc bị gạch ngay từ đầu đó.

bạn ơi có thể cho mình hỏi tại sao lại chọn con số 2 mà k phải là một số khác không?

theo mình thì lí do chọn con số 2 bởi vì bắt đầu từ 3! để đánh giá trở đi, chọn số 2 (không đổi) để áp dụng tổng của một cấp số nhân.

dễ ợt bài 1 nhìn là ra đáp số r. chia cả tử và mẫu cho x^2 đi
bài 2 thì ddem vào trong căn roòi chia x^3

bạn thử làm bài 1 một cách bài bản ra xem?!

$L=\lim_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt\frac{x+2}{x}+\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$
$\Leftrightarrow$ $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt{1+ \frac{2}{x}}+\sqrt[3]{1+ \frac{3}{x}}) = +\infty$

thành thực xin lỗi mình vẫn nhầm đề: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt\frac{x+2}{x}-\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$

Ta có: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }(\sqrt\frac{x+2}{x}+\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\lim_{x\rightarrow +\infty }\sqrt[3]{1+\frac{3}{x}}=2$

xin lỗi mình nhầm đề: $L=\lim_{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt\frac{x+2}{x}+\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$

tính
$\lim_{x\rightarrow +\infty }(\sqrt\frac{x+2}{x}+\sqrt[3]{\frac{x+3}{x}})$

Giả sử số cần tìm là $\overline{abcd}$
a) TH1:
Chọn số $5$ vào vị trí $a$. Có $1$ cách chọn.
Chọn $3$ số trong $5$ số còn lại và sắp thứ tự chúng vào $3$ vị trí còn lại, có $A^3_5$ cách.

TH2:
Chọn số $5$ vào vị trí khác $a$. Có $3$ cách chọn.
Chọn số ở vị trí $a$, có $4$ cách chọn.
Chọn $2$ số trong $4$ số còn lại và sắp thứ tự chúng vào $2$ vị trí còn lại, có $A^2_4$ cách.
Vậy có:
$A^3_5.3.4.A^2_4=8640$ số

đây là 2 truờng hợp thì phải là $A^3_5+3.4.A^2_4=204$ số chứ???

1) Cho dãy (Un) có hệ sô khác 0.
$\frac{1}{U_{1}.U_{2}}+\frac{1}{U_{2}U_{3}}+...+\frac{1}{U_{k-1}U_{k}}= \frac{k-1}{U_{1}.U_{k}},\forall k\geq 3$ (*)
Chứng minh rằng dãy số đã cho là cấp số cộng.

vậy bài 1 làm thế nào vậy bạn?

bài 1 mình chứng minh bằng quy nạp cũng được:
giả sử $(u_n)$ là csc có công sai d
với k=3 thì (*) đúng
ta phải cm (*) cũng đúng khi $K\geq 3$ tức là: $\frac{1}{u_1u_2}+\frac{1}{u_2u_3}+...+\frac{1}{u_{k-1}u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{k}{u_1u_{k+1}}$
thật vây: $VT=\frac{1}{u_1u_2}+\frac{1}{u_2u_3}+...+\frac{1}{u_{k-1}u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{k-1}{u_1u_k}+\frac{1}{u_ku_{k+1}}=\frac{(k-1)u_{k+1}+u_1}{u_1u_ku_{k+1}}=\frac{ku_k}{u_1u_ku_{k+1}}=\frac{k}{u_1u_{k+1}}$

tính
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2}{\sqrt[5]{1+5x}-x-1}$
$ \lim_{x\rightarrow -\infty }(x+5)\sqrt{\frac{5-x}{4-2x-x^3}}$

có bạn nào giải thích giùm mình hàm số liên tục là gì vậy, có hình ảnh nào trực quan về hàm số liên tục tại một điểm hay trên một khoảng để cho dễ tưởng tượng không và cuối cùng là học về hàm số liên tục để có ứng dụng gì?

Sử dụng quy tắc L-Bệnh viện (L-Hôpital) ta có:
$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x-1}+x^4-3x^3+x^2+3}{\sqrt{2x}-2}=\lim_{x\rightarrow 2}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}+4x^3-9x^2+2x}{\dfrac{1}{\sqrt{2x}}}=1$
$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}+x^3-3x}=\lim_{x\rightarrow 1}\dfrac{1}{\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+3x^2-3}=2$

quy tắc L- Hôpital là gì vậy?