Số trâu của bầy là $x \Rightarrow$ số gà là $x^2$...
Tham khảo bài chi tiết tại http://d3.violet.vn/...971/preview.swf

Tính $A=\frac{3(x+y)^2}{3(x-y)^2}$ biết $xy=\frac{1}{2}$

Ta sẽ có A = (-1) vì hai số trên và dưới đối nhau ( nếu ta phân tích thành hằng đẳng thức cũng vậy thôi)
em cũng chẳng biết cho x*y =1/2 để làm gì nữa mong là em đã sai

Hai số đấy không đối nhau đâu bạn, mà A chắc chắn phải lớn hơn 0

Mà bạn xem lại đầu bài có đúng không, mình thay $x = \frac{1}{2y}$ (dựa vào $xy = \frac{1}{2}$, thay số vào mỗi lúc một khác, y = 1 thì A = 9, y = 5 thì A = 2601/2401...

cho biểu thức $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}$, $x \neq -1$,tìm GTNN của A

Mình không chơi kiểu Delta đen nhiếc nhá, nhưng mà đi đường vòng:
$\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1} min$ khi $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1} max$
Có $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1}$ = 1 + $\frac{x}{x^{2}+x+1}$
=> $\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x+1}$ max khi $\frac{x}{x^{2}+x+1}$ max hay $\frac{x^{2}+x+1}{x}$ min
Lại có $\frac{x^{2}+x+1}{x} >=3$ (cô si cho 2 số $x^2$ và 1) => x = 1
Vậy cái bt kia có $min = 3/4$ tại $x=1$

b)$(x-1)^3(2x+5)$ (dài quá ngại gõ)
d)$(2 x+1) (x^2+x+1) (3 x^2+3 x+1)$

Giải phương trình:
$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16$.

Nếu làm bằng phương pháp bình phương, chuyển vế thì tốn mất tầm 1 tờ A4 và ra kết quả:
$x=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$ Nhưng cách này rất "vật vã", hi vọng còn pp hay hơn, ẩn phụ ?

Đây y chang 1 bài trong sách sáng tạo bất đẳng thức của P.K.H
bài phương trình này là trường hợp xảy ra dấu =
với TH $0\leq x\leq 1$
còn TH kia thì để mình xem đã

À à, BĐT, $13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}\leq \sqrt{(13+27)\left [ 13(x^2-x^4)+3(x^2+x^) \right ]}= \sqrt{80(8x^2-5x^4)}\leq 16$ dấu = xảy ra khi x=... mình viết rồi

$$13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4}=16\\\Leftrightarrow
(13\sqrt{x^2-x^4}+9\sqrt{x^2+x^4})^2=256\\
\Leftrightarrow 234\sqrt{x^4(1-x^4)}=256-250x^2+88x^4\\
\Leftrightarrow 54756x^4(1-x^4)=(256-250x^2+88x^4)^2\\
\Leftrightarrow -4(625x^4+560x^2+1024)(5x^2-4)^2=0\\
\Leftrightarrow x = \pm \dfrac{2}{\sqrt{5}}$$

Theo em thì lên làm cách BĐT chứ bình phương thế kia vật vã lắm

Làm tạm với $n = 3$ (chắc tổng quát thì cũng tương tự mình thay $a_?$ bằng b, c nhá, gõ $LaTeX$ cho nhanh)
$s^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{a b}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
$q=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{bc}=s\sqrt{a}-a+\sqrt{bc}=q$
$s\sqrt{a}+\sqrt{bc}=q+a\Rightarrow \sqrt{abc}=p\in\mathbb{Q}$
$q\sqrt{a}=p+a(s-\sqrt{a})\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{p+as}{a+q}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b}-\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}.$
----
Nếu n = 2,

$\Rightarrow a-b$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow 2\sqrt{a}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}$ là số hữu tỷ
Tương tự: $\sqrt{b}$ là số hữu tỷ

Dùng tính chất của liên phân số, phân tích 1719/3976 ra liên p.số -->done
$\frac{1719}{3976}=\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{5+\frac{1}{8+\frac{1}{13}}}}}$
Vậy
$a = 8$
$b =13$

3.$a^4+b^4 - (a^3b+ab^3) = (b-a)^{2}(a^2+ab+b^2) ≥ 0$ → đpcm
---
Ặc, đang gõ bài 3 thì đã bị mod Phạm Quang Toàn post rồi

1. $\sqrt{2x+5} = 32x^{2} + 32x$
2. $\left\{\begin{matrix}1 + \sqrt{x+y+1} = 4(x+y)^{2} + \sqrt{3(x+y)} & & \\ log_{4}(3x+2y)^{2} + log_{\sqrt{2}}\sqrt{x+1} = 4 & & \end{matrix}\right.$

Giúp mình 2 câu giải pt và hpt hóc này với mn!!

1. Bình phương, chuyển vế được:
$-1024 x^4-2048 x^3-1024 x^2+2 x+5=0$
hay: $-(16 x^2+14 x-1) (64 x^2+72 x+5) = 0$
...
tìm được 2 $n_o$ thỏa mãn là: $x = - (9+\sqrt{61})/16$ và $x = (\sqrt{65}-7)/16$
Bài 2 log log em chưa học

Bài 1, $x = a + b + c$, kết quả là thế, còn làm thế nào, để mình nhớ lại cái đã, lâu không động vào toán 8 (mới 1 năm), quên hết cả
$\frac{a+b-x}{c}+\frac{x}{a+b+c} + \frac{a+c-x}{b} + \frac{x}{a+b+c}+\frac{b+c-x}{a} + \frac{x}{a+b+c} + \frac{x}{a+b+c}-1=0$
biến đổi lôi thôi một hồi (1 dòng 3 biến đổi, 2 dòng "tương tự"):
x-(a+b+c)=0 =>...

mọi người ơi cho e hỏi với, ở cách giải câu thứ 2 của bạn ilovelife, e ko hiểu bước này bạn tách kiểu j vậy:

$-1024 x^4-2048 x^3-1024 x^2+2 x+5=0$
$-(16 x^2+14 x-1) (64 x^2+72 x+5) = 0$

Cái đấy em chơi trò hệ số bất định, còn xem cách tách như thế nào thì anh nhân ngược lên (Reverse Engine) thì sẽ ra cách tách

a ko rõ cái phần hệ số bất định này cho lắm, e nói rõ hơn cho a trong trường hợp này được ko?

$-1024 x^4-2048 x^3-1024 x^2+2 x+5=0$
sẽ cho ra được dạng: $(a x^2 + bx + c)(d x^2 + g x +f) = 0$
và kiên trì thần chưởng:
$a d x^4+a f x^2+a g x^3+b d x^3+b f x+b g x^2+c d x^2+c f+c g x = 0$
=>$ad = -1024$
$ a f + bg = -1024$
$ c f = 5$ => $c = 1, f =5$ hoặc $c=5, f=1$
...
Thử đủ các thể loại ... thì giải được
---
Bài này em ăn may, làm lần đầu đúng luôn chứ, chẳng may vào thứ 6 ngày 13 chắc không giải được
__________________
Em nghĩ, có cách tách đơn giản hơn (vẫn bậc 4):
đặt $t= \sqrt{2x+5}$ xong biểu diễn mấy cái kia theo t, làm như thế thì hệ số sẽ đỡ to, xin phép không giải ngay (phải đi ngủ)

Dùng bđt Nessbit, CM bđt đấy:
Có:
$\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} \geq \frac{(a+b+c)^2}{2(ab+ac+bc)}\geq 3/2$. (áp dụng AM-GM)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
----
Ấy ấy, bài của mình chưa chặt chẽ, đây là TH $a, b, c \geq 0$

Tìm x biết:
$$\frac{a+b-x}{c}+\frac{a+c-x}{b}+\frac{b+c-x}{a}+\frac{4x}{a+b+c}=1$$

Mong được sự giúp đỡ của các bạn nhé!
Mình thank các bạn nhiều!

Bài làm tại đây $x=a+b+c$

có thể nói a=b và c bất kì. a=c và b bất kỳ. b=c và a bất kỳ

Theo em nghĩ thì đầu bài phải có điều kiện $a ,b, c > 0$, rồi sau đó giải dựa vào bất đẳng thức

e xem lại BDT Nessbit nhé. anh nghĩ nó không phải Nessbit. Nessbit là: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geqslant \frac{3}{2}$

À vâng, không đọc kĩ đầu bài , phải có thêm điều kiện gì chứ nhỉ

không thể đưa ra kết quả cho tát cả được vì cái còn lại phía sau mặc dù chứng minh được chúng có nghiệm nhưng không thể đưa ra nghiệm vì chúng phức tạp,

Giải được đó anh biến đổi một hồi thì $(a-b)(b-c)(a-c)=0$ =>...đợi e xuống ăn cơm, tí em gõ tiếp

a,So sánh: \[\begin{array}{l}
A = 1981 - \frac{{1980}}{{1981}} + 1980\\
B = {1981^2} - \frac{{{{1980}^2}}}{{{{1981}^2}}} + {1980^2}
\end{array}\]

b, So sánh: \[\begin{array}{l}
C = {10^{1979}} + \frac{1}{{{{10}^{1980}}}} + 1\\
D = {10^{1980}} + \frac{1}{{{{10}^{1981}}}} + 1
\end{array}\]

c, Phân tích đa thức thành nhân tử:
$a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2) +c(a^2+b^2)+2abc$

1a. $B - A = 1981(1981-1) + 1980(1980-1) - 1980/1981(1980/1981+1) > 1981(1981-1) + 1980(1980-1) - 2*1980/1981 > 0$
=>B>A
b. Tương tự, $D>C$

Tìm Min $y=\frac{x^2+x}{3x^2+3x+1}$

Có thể làm bằng cách y min khi 3y min, nhưng còn cách y min khi 1/y max:
$1/y=\frac{3(x^2+x)+1}{x^2+x} = 3 + \frac{1}{x^2+x}$
$1/y$ max khi $\frac{1}{x^2+x}$ max mà cái $\frac{1}{x^2+x}$ max = -4 tại x = -1/2 (tự cm)
vậy x=-1/2 thì min y = ...(em cậu tự thay vào tính, anh tớ lười lắm)
---
Cách làm của mod WWW là phương pháp chung, ta tùy cơ ứng biến sử dụng

Cho a+b+c=1.Tìm Min của P=$a^3+b^3+c^3+a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)$

dễ dàng phân tích bt đó thành:
$(a+b+c) (a^2+b^2+c^2) = (a^2+b^2+c^2)$
bây giờ chỉ việc tìm min $a^2+b^2+c^2$,... tìm thế nào nhỉ ?
$(a+b+c)^2 = 1 => a^2 + b^2 + c^2 = 1 - 2(ab+bc+ac)$
$=> a^2 + b^2 + c^2 $ min khi 2(ab+bc+ac) max mà lại có 2(ab+bc+ac) nhỏ hơn/bằng $a^2+b^2+c^2$ => a=b=c=1/3 thì ...
không biết đúng chưa, mọi người check lại nhá

Tìm Max của M=$\frac{x}{(x+1995)^2}$

Sao bạn hỏi nhiều thế
lộn ngược lại, tìm min, áp dụng co-si hoặc dùng PP của mod WWW sẽ ra max cái đó = 1/7980 tại x = 1995

$\frac{1}{3}$(11...1-33...3 00...0)

Do chưa biết chính xác đề bài, cứ cho là có n số 1, 3, 0 thì:
11...1-33...3 00...0 = $\frac{10^n-1}{9}-\frac{10^n-1}{3}*10^n$, quy đồng, rút gọn.

Cho a,b,c khác 0.Tính D=$x^{2003}+y^{2003}+z^{2003}$
Biết x,y,z thỏa mãn $\frac{x^2+b^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$

Mình tưởng phải là: $\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$, đề có vấn đề gì không ấy nhỉ ?
b = c hoặc b=-c và a=-ic và x = 0
mấy TH khác nữa
....
nghe có vẻ không khả thi lắm, toàn nghiệm ảo tung chảo