Chứng minh rằng: nếu $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và $\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}+...+\sqrt{a_{n}}$ đều là số hữu tỉ thì $\sqrt{a_{1}},\sqrt{a_{2}},...\sqrt{a_{n}}$ cũng là số hữu tỉ.
$\sqrt{a_{1}},\sqrt{a_{2}},...\sqrt{a_{n}}$ cũng là số hữu tỉ.
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi yellow, 03-10-2012 - 22:14
#1
Đã gửi 03-10-2012 - 22:14
yellow
-
- Pre-Member
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 04-10-2012 - 21:53
ilovelife
-
- Thành viên
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Làm tạm với $n = 3$ (chắc tổng quát thì cũng tương tự mình thay $a_?$ bằng b, c nhá, gõ $LaTeX$ cho nhanh)
$s^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{a b}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
$q=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{bc}=s\sqrt{a}-a+\sqrt{bc}=q$
$s\sqrt{a}+\sqrt{bc}=q+a\Rightarrow \sqrt{abc}=p\in\mathbb{Q}$
$q\sqrt{a}=p+a(s-\sqrt{a})\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{p+as}{a+q}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b}-\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}.$
----
Nếu n = 2,
$\Rightarrow a-b$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow 2\sqrt{a}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}$ là số hữu tỷ
Tương tự: $\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$s^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{a b}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
$q=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{bc}=s\sqrt{a}-a+\sqrt{bc}=q$
$s\sqrt{a}+\sqrt{bc}=q+a\Rightarrow \sqrt{abc}=p\in\mathbb{Q}$
$q\sqrt{a}=p+a(s-\sqrt{a})\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{p+as}{a+q}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b}-\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}.$
----
Nếu n = 2,
$\Rightarrow a-b$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow 2\sqrt{a}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}$ là số hữu tỷ
Tương tự: $\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 04-10-2012 - 22:04
- BlackSelena và yellow thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
#3
Đã gửi 05-10-2012 - 11:39
yellow
-
- Pre-Member
-
- 371 Bài viết
Sĩ quan
Với $n = 2$ và $n =3$ thì mình cũng đã chứng minh được. Tuy nhiên chưa thể dựa vào đó để nhận định dạng tổng quát đượcLàm tạm với $n = 3$ (chắc tổng quát thì cũng tương tự mình thay $a_?$ bằng b, c nhá, gõ $LaTeX$ cho nhanh)
$s^2=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2=a+b+c+2(\sqrt{a b}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
$q=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{a}(\sqrt{b}+\sqrt{c})+\sqrt{bc}=s\sqrt{a}-a+\sqrt{bc}=q$
$s\sqrt{a}+\sqrt{bc}=q+a\Rightarrow \sqrt{abc}=p\in\mathbb{Q}$
$q\sqrt{a}=p+a(s-\sqrt{a})\Rightarrow \sqrt{a}=\frac{p+as}{a+q}\in\mathbb{Q}$
$\sqrt{b}+\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b}-\sqrt{c}\in\mathbb{Q}\Rightarrow \sqrt{b},\sqrt{c}\in\mathbb{Q}.$
----
Nếu n = 2,
$\Rightarrow a-b$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\sqrt{a}+\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}-\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow 2\sqrt{a}$ là số hữu tỷ
$\Rightarrow \sqrt{a}$ là số hữu tỷ
Tương tự: $\sqrt{b}$ là số hữu tỷ
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#4
Đã gửi 06-10-2012 - 12:14
temuop
-
- Thành viên
-
- 15 Bài viết
Binh nhì
Hình như bài này giống 1 bài trong quyển Toán Nâng cao và 1 số chuyên đề 9.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
