Đề của duaconcuachua98
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}-y^{3}=7$

Đáp án:
Giả sử $(x_{0};y_{0})$ là một nghiệm nguyên dương của phương trình
Ta có: $x_{0}^{2}-y_{0}^{3}=7$$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+1=y_{0}^{3}+8\Leftrightarrow x_{0}^{2}+1=(y_{0}+2)(y_{0}^{2}-2y_{0}+4)$
Xét các trường hợp sau
$1)$ $y_{0}$ chẵn:
Khi đó $y_{0}+2$ và $y_{0}^{2}-2y_{0}+4$ đều chẵn
Suy ra $(x_{0}^{2}+1)\vdots 4$ (không thể xảy ra)
$2)$ $y_{0}$ lẻ nên $y_{0}$ có dạng $y_{0}=4m+1$ $(m\in \mathbb{Z}^{+})$
Khi đó $y_{0}+2=4m+3$
Mà $y_{0}+2\geq 3$ nên tồn tại $p$ nguyên tố có dạng $4m+3$
Mà $p\mid y_{0}+2$
Nghĩa là tồn tại $p$ nguyên tố dạng $4m+3$ mà $q\mid x_{0}^{2}+1$ (điều này vô lý)
$3)$ $y_{0}$ lẻ có dạng $4m+3$.
Khi đó $y_{0}^{2}-2y_{0}+4$ có dạng $4n+3$
Mà $y_{0}^{2}-2y_{0}+4\geq 3$ nên tồn tại số nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$
Mà $p\mid y_{0}^{2}-2y_{0}+4$
Suy ra $x_{0}^{2}+1$ có ước nguyên tố $p$ có dạng $4k+3$
Điều này vô lý.
Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

mn thấy có xinh k?

Bài 16. Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^4+4x^3+7x^2+6x+4=y^2$$

Mình xin giải bằng phương pháp kẹp:
Với $x< -2$ và $x> 0$ ta có: $(x^{2}+2x+1)^{2}< x^{4}+4x^{3}+7x^{2}+6x+4< (x^{2}+2x+2)^{2}$
$\Rightarrow (x^{2}+2x+1)^{2}< y^{2}< (x^{2}+2x+2)^{2}$
Nên trường hợp này không xảy ra
Suy ra $-2\leq x\leq 0$ và $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left \{ -2;-1;0 \right \}$
+) Với $x=-2$ ta có: $y=\pm 2$
+) Với $x=-1$ ta có $y=\sqrt{2}$ (không thỏa mãn)
+) Với $x=0$ ta có: $y=\pm 2$
Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(-2;-2);(-2;2);(0;2);(0;-2)$

Bài 26. Tìm nghiệm nguyên dương phương trình $$5(x+y+z+t)+15=2xyzt$$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z\geq t> 0$
phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2=\frac{5}{yzt}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyzt}\leq \frac{35}{t^{3}}$
$\Rightarrow t^{3}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow t\leq 2\Rightarrow t\in \left \{ 1;2 \right \}$
+) Với $t=1$ ta có $2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{5}{xy}+\frac{5}{xyz}+\frac{15}{xyz}\leq \frac{35}{z^{2}}$
$\Rightarrow z^{2}\leq \frac{35}{2}\Rightarrow z\in \left \{ 1;2;3;4 \right \}$
Với $z=1$ ta có $5(x+y)+25=2xy$$\Leftrightarrow (2x-5)(2y-5)=75\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5 & \\ y=10& \end{matrix}\right.$
hoặc $\left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=15 & \end{matrix}\right.$
Ta có nghiệm là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng
Với $z=2;z=3;z=4$ phương trình vô nghiệm nguyên dương
+) Với $t=2$ ta có $5(x+y+z)+25=4xyz$
$\Leftrightarrow 4=\frac{5}{xy}+\frac{5}{yz}+\frac{5}{xz}+\frac{25}{xyz}\leq \frac{40}{z^{2}}\Leftrightarrow z^{2}\leq 10\Leftrightarrow z\in \left \{ 1;2;3 \right \}$
Với $z=1$ ta có $t\leq z\Rightarrow t=1$ (vô lý)
Với $z=2$ ta có $(8x-5)(8y-5)=305$
Vì $x\geq y\geq z\geq t\geq 2$ nên $8x-5\geq 8y-5\geq 11$
Mà $305$ không viết được thành tích 2 số nguyên thỏa mãn ĐK trên
Vơi $z=3$ cũng không có số nguyên nào thỏa mãn
Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương là $(5;10;1;1);(4;15;1;1)$ và tất cả các hoán vị của chúng

Bài 72:

Tìm $x,y,z$ nguyên để $xyz=x^{2}-2z+2$

Bài 18. Tìm $x,y \in \mathbb{N}^*$ sao cho $6x+5y+18=2xy$.

Ta có phương trình đã cho $\Leftrightarrow 2x(3-y)-5(3-y)=-23\Leftrightarrow (2x-5)(3-y)=-23$
Vì $x;y\in \mathbb{N}^{*}$ nên $(2x-5)(3-y)$ là tích 2 số nguyên
Mà $-23$ viết thành tích của 2 số nguyên có các trường hợp là $-23=1.(-23)=-1.23=23.(-1)=-23.1$
Tới đây thử các trường hợp ta tìm được phương trình có 2 nghiệm tự nhiên $(x;y)$ là $(3;26);(14;4)$

Nhận xét. Lời giải của bạn đang còn thiếu nghiệm. Bạn kiểm lại coi sao nhé!

Bài 86 : Chứng minh rằng phương trình $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0$ không có nghiệm nguyên với mọi số nguyên m

 

Ta có: $x^{2}-2mx+2.1993^{1994}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta '=m^{2}-2.1993^{1994}$

Ta có: $2.1993^{1994}\equiv 2(mod4)$

Vì $m^{2}$ là số chính phương nên ta có: $\begin{bmatrix} m^{2}\vdots 4 & \\ m^{2}\equiv 1(mod4) & \end{bmatrix}$

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\vdots 4$ ta có: $\Delta '\equiv 2(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương

$\bigstar$ Nếu $m^{2}\equiv 1(mod4)$ ta có: $\Delta '\equiv 3(mod4)$ nên $\Delta '$ không là số chính phương 

Vậy $\forall m\in \mathbb{Z}$ thì phương trình $(1)$ không có nghiệm nguyên

Bài 70. Tìm tất cả các cặp số nguyên $x,y$ thỏa mãn : $9x^{2}+3y=y^{2}+8$

Ta có: $9x^{2}+3y=y^{2}+8\Leftrightarrow y^{2}-3y+8-9x^{2}=0(1)$

Xét phương trình $(1)$ có $\Delta =36x^{2}-23$

Để phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta$ là số chính phương 

Đặt $36x^{2}-23=t^{2}\Leftrightarrow (6x-t)(6x+t)=23$

Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $(6x-t)(6x+t)$ là tích $2$ số nguyên 

Mà $23$ viết thành tích $2$ số nguyên có các trương hợp là $23=1.23=-1.(-23)$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=1 & \\ 6x+t=23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ t=11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

$\bullet$ Nếu $\left\{\begin{matrix} 6x-t=-1 & \\ 6x+t=-23 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ t=-11 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-2 & \\ \begin{bmatrix} y=-4 & \\ y=7 & \end{bmatrix} & \end{matrix}\right.$

Vậy phương trình có $4$ nghiệm nguyên $(x;y)$ là $(2;-4);(2;7);(-2;-4);(-2;7)$

Giải pt:$\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{7-x}=3$

Đặt $\sqrt[3]{x+2}=a;\sqrt[3]{7-x}=b$, ta có hệ $\left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ a^{3}+b^{3}=9 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=3 & \\ ab=2 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} a=1 & \\ b=2 & \end{matrix}\right. & \\ \left\{\begin{matrix} a=2 & \\ b=1 & \end{matrix}\right. & \end{bmatrix}$

Từ đây tìm được $\left\{\begin{matrix} x=-1 & \\ x=6 & \end{matrix}\right.$

Giải phương trình :
$\sqrt[n]{\left ( x + 1 \right )^{2}} - 3\sqrt[n]{\left ( x - 1 \right )^{2}} = -2\sqrt[n]{x^{2} - 1}$ (với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$)

Rõ ràng $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình
Chia $2$ vế phương trình cho $\sqrt[n]{(x-1)^{2}}$ ta được
$\sqrt[n]{\left ( \frac{x+1}{x-1} \right )^{2}}-3=-2.\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}$
Đặt $\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=y$
Ta có: $y^{2}-3=-2y\Leftrightarrow (y-1)(y+3)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=1\\ y=-3 \end{bmatrix}$
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=1\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}=1\Leftrightarrow 0x=-2$ (vô nghiệm)
$+)\sqrt[n]{\frac{x+1}{x-1}}=-3$
$\bullet$ Với $n$ lẻ ta có: $\frac{x+1}{x-1}=(-3)^{n}\Leftrightarrow x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
$\bullet$ Với $n$ lẻ thì vô nghiệm
Vậy nếu $n$ lẻ thì $x=\frac{3^{n}-1}{3^{n}+1}$
nếu $n$ chẵn vô nghiệm.

Chứng minh : $n^{4} - 14n^{3} + 71n^{2} - 154n + 120$ $\vdots$ $24$ với $n \in \mathbb{N}$.

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta phân tích đa thức đã cho thành
$(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$
Vì $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 4; ít nhất 1 số chia hết cho 2 nên tích chia hết cho 8; ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 3.
Mà $(3;8)=1$ nên $(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)\vdots 24$ (đpcm)

Chứng minh rằng :
$11^{10} - 1$ $\vdots$ $100$.

Ta có: $11^{10}-1=(11^{5}-1)(11^{5}+1)=10.(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1).12.(11^{4}-11^{3}+11^{2}-11+1)$
Vì $11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1$ tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
$\Rightarrow 12(11^{4}+11^{3}+11^{2}+11+1)\vdots 10\Rightarrow dpcm$

Trong mặt phẳng cho $8045$ điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn $1$. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được $2012$ điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của $1$ tam giác có diện tích không lớn hơn $1$

 

Ngày thi thứ nhất.

Câu 2. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng $$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq(a+b+c)^2.$$
 

$\star $ Ta có: $\sum \sqrt{ab}\leq \sqrt{3\left ( \sum ab \right )}$ 

Ta cần chứng minh $3\sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \left ( \sum a \right )\left ( \sqrt{3\left ( \sum ab \right )} \right )-2\sum ab\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq (a+b+c)\left ( \sqrt{3(a+b+c)} \right )\Leftrightarrow \left ( a+b+c \right )^{2}\geq 3(ab+bc+ca)$ (luôn đúng)

$\star $ $\left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum \left ( a-b \right )^{2}\geq \left ( \sum a \right )^{2}\Leftrightarrow \left ( \sum a \right )\left ( \sum \sqrt{ab} \right )+\sum a^{2}\geq 4\sum ab$ $(1)$

Đặt $\left ( \sum x^{2} \right )\left ( \sum xy \right )+\sum x^{4}\geq 4\sum x^{2}y^{2}$ 

Đặt $\left\{\begin{matrix} p=x+y+z & \\ q=xy+yz+zx & \\ r=xyz & \end{matrix}\right.$

$(1)$ trở thành $\left ( p^{2}-2q \right )q+p^{4}-4p^{2}q+2q^{2}+4pr\geq 4(q^{2}-2pr)\Leftrightarrow p^{4}-3p^{2}q+12pr\geq 4q^{2}$

Mặt khác ta có bđt quen thuộc $4q^{2}\leq p^{2}q+3pr$ $(2)$

Theo bđt Schur ta có: $a^{r}(a-b)(a-c)+b^{r}(b-c)(b-a)+c^{r}(c-a)(c-b)\geq 0$

Cho $r=1$ bđt Schur trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\Leftrightarrow p^{3}-4pq+9r\geq 0\Leftrightarrow p^{4}-4p^{2}q+9pr\geq 0$ $(3)$

Cộng theo vế $(2)$ và $(3)$ suy ra đpcm

Cho $(O;R)$ và dây $BC$ cố định $(BC< 2R)$. $A$ di chuyển thuộc cung $BC$ lớn $(A\neq B;C)$. $M$ là trung điểm của $AC$. $HM\perp AB$. Xác định vị trí của $A$ thuộc cung $BC$ lớn để $CH$ đạt $GTLN$

Cho $(O;R)$ và dây $AB$ cố định nhỏ hơn $2R$. $C$ chính giữa cung $AB$ nhỏ. $M$ thuộc cung $AB$ lớn. $CM\cap AB=\left \{ N \right \}$.

$a)$ Chứng minh $CM.CN$ không phụ thuộc vào vị trí của $M$.

$b)$ Xác định vị trí của $M$ thuộc cung $AB$ lớn để $AM-BM=\frac{1}{3}AB$