Đây là file bài viết của anh Nam trong topic này nè

1.Tìm max và min

$y=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt[4]{1-x}}+\frac{1+\sqrt[4]{x}}{2+\sqrt{1-x}}$

2. Cho $x,y,z >0$ thoả mãn $xyz= 1$. Chứng minh rằng

$\frac{9}{x^{2}(x+y+z)+1}+6\left [ \frac{1}{y^{2}(x+y+z)+1}+\frac{1}{z^{2}(x+y+z)+1} \right ]\geq 5$

Một bài đơn giản nữa nha

Cho $A=1+\frac{1}{{\sqrt{2}}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$

Chứng minh rằng $18< A< 19$

Ai có tạp chí Toán Tuổi Thơ thì post lên cho mọi người tham khảo, hay lắm đấy!

Đây nè!

Trong máy còn vài cuốn. Post trước một cuốn cho mọi ngươì đọc vâỵ

Không cấp gì hết bạn à, mình học để lấy lại phong độ làm hình thôi, thọt dữ quá

Cần gấp để bình đẳng hoá đại và hình         

Bách mua quyển Các bài toán hình học phẳng của Prasolov ấy.Học xong quyển ấy + Nâng cao phát triển$\rightarrow$ OK.

Mình có 1 file nhỏ trích từ quyển đó ra($\in$ tập 2)

Mình đang rất cần tài liệu đầy đủ, hay về Phương pháp giải phương trình vô tỉ , ai có thì post lên mình cám ơn trước

Thử cái này coi sao! Đó trích từ mục 1&2 của chương 2 trong cuốn pt vô tỷ của thầy Nguyễn Vũ Lương 

Ai cho em xin các định lí hình học nổi tiếng thường dùng trong THCS với!!

Bạn thử cái này coi sao!

ai có tài liệu về giải toán bằng cách lập pt thì cho mình nha

Hi vọng sẽ giúp ích cho bạn

Các thám tử vào đây giải quyết vụ án này nào!

1 con đà điểu ở 1 công viên nọ bị giết. Không những bị giết mà bụng của nó còn bị mổ phanh ra.Con đà điểu này vừa được nhập từ châu Phi về & rất thu hút khách tới xem. Hung thủ lợi dụng lúc đêm tối, lẻn vào chuồng đà điểu & ra tay.Có điều tại sao hung thủ lại ra thủ đoạn tàn nhẫn như vậy?

Mình xin đóng góp 1 bài

Tính $P=7+77+777+...+\underset{17 cs}{\underbrace{77...77}}-293972367^{2}$

Đóng góp thêm mấy bài

1. Giải phương trình

$\sqrt[3]{4x+2}+\sqrt[3]{6-x}+\sqrt[3]{2x-9}-\sqrt[3]{5x-1}=0$

2.Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} x^{3} -8=y^{3}+2y& \\x^{2}-3=3(y^{2}+1) & \end{matrix}\right. (x,y\in \mathbb{R})$

3.Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} y(1+2x^{3}y)=3x^{6} & \\ 1+4x^{6}y^{2}=5x^{6} & \end{matrix}\right.$

Bài 1

b,Ta có                                      $\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x-2}=\sqrt[3]{5x}$

$\Leftrightarrow x+2+x-2+3\sqrt[3]{(x-2)(x+2)}\left [ \sqrt[3]{x+2} +\sqrt[3]{x-2}\right ]=5x$(áp dụng $\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)$

$\Leftrightarrow 2x+3\sqrt[3]{x^{2}-4}.\sqrt[3]{5x}=5x$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{5x(x^{2}-4)}=x$

$\Leftrightarrow 5x(x^{2}-4)=x^{3}$$\Leftrightarrow 5\left ( x^{2}-4 \right )=x^{2}\Leftrightarrow x= \pm \sqrt{5}$

Đóng góp thêm cho topic mấy bài dùng phương pháp hữu tỷ hoá để rút gọn biểu thức chúa căn này

Bài 1Chứng minh rằng nếu $a,b> 0$ thì ta có

$\frac{a+2\sqrt{ab}+9b}{\sqrt{a}+3\sqrt{b}-2\sqrt[4]{ab}}-2\sqrt{b}=(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b})^{2}$

Bài 2. Chứng minh rằng nếu $ab\neq 0 ; a\neq b^{3}$ thì ta có

$(\sqrt[3]{a^{4}}+b^{2}\sqrt[3]{a^{2}}+b^{4}).\frac{\sqrt[3]{a^{8}}-b^{6}+b^{4}\sqrt[3]{a^{2}}-a^{2}b^{2}}{a^{2}b^{2}+b^{2}-b^{8}a^{2}-b^{4}}=a^{2}b^{2}$

Bài 3.Cho $a,b> 0$.Rút gọn

$T=\frac{\sqrt{a^{3}+2a^{2}b}+\sqrt{a^{4}+2a^{3}b}-\sqrt{a^{3}}-a^{2}b}{\sqrt{2a+b-\sqrt{a^{2}+2ab}}(\sqrt[3]{a^{2}}-\sqrt[6]{a^{5}}+a)}$

Bài 16

Ta có            $\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}=2\sqrt{a+1}$$\Leftrightarrow b+1+c+1+2\sqrt{(b+1)(c+1)}=4(a+1)$

                    $\Leftrightarrow b+c+2+2\sqrt{(b+1)(c+1)}=4a+4$

Ta lại có                            $2\sqrt{(b+1)(c+1)}\leq b+c+2$

Do vậy $2(b+c+2)\geq b+c+2+2\sqrt{(b+1)(c+1)}=4a+4 \Leftrightarrow b+c\geq 2a$

Bài 1a

        $\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{3x+2}=-2$

$\Leftrightarrow x-5+2x-1-3x-2+3\left ( \sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{2x-1} \right )(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{3x-2})(\sqrt[3]{x-5}-\sqrt[3]{3x-2})=-8$(áp dụng $\left ( a+b+c \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(c+a)$

$\Leftrightarrow 3(\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{2x-1})(\sqrt[3]{2x-1}-\sqrt[3]{3x-2})(\sqrt[3]{x-5}-\sqrt[3]{3x-2})=0$

Tới đây thì ngon rồi

Bài 2

Nhận thấy $x=2$ không phải là nghiệm của phương trình nên

$\sqrt[n]{(x-2)^{2}}+4\sqrt[n]{x^{2}-4}=\sqrt[n]{(x+2)^{2}}$$\Leftrightarrow 1+4\sqrt[n]{\frac{x+2}{x-2}}-\sqrt[n]{(\frac{x+2}{x-2})^{2}}=0$

Tới đây đặt ẩn phụ $y=\sqrt[n]{\frac{x+2}{x-2}}$ và giải thôi( lười không muốn gõ nữa  )

Giải bài 4 & bài 22

Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau

Với $a,b,c$ là các số thực $\neq 0$ thoả mãn $a+b+c=0$ ta có

$\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}}=\left | \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right |$( cái này chắc hẳn các bạn chứng minh được)

Áp dụng bài toán trên

4.Ta có

$M=\sqrt{1+999^{2}+\frac{999^{2}}{1000^{2}}}+\frac{999}{1000}$

$=\sqrt{999^{2}\left ( 1+\frac{1}{999^{2}}+\frac{1}{1000^{2}} \right )}+\frac{999}{1000}=999(1+\frac{1}{999}-\frac{1}{1000})+\frac{999}{1000}=1000$ 

22.(Câu này có trong đề thi HSG toán 9 của tỉnh Vĩnh Phúc)

Ta có

$A=\sqrt{1^{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1^{2}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+...+\sqrt{1^{2}+\frac{1}{1999^{2}}+\frac{1}{2000^{2}}}$

$=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000} =1998+\frac{1}{2}-\frac{1}{2000}=... \in \mathbb{Q}$

Đóng góp một bài , cho $x,y,z$ dương thỏa mãn $\sum x=2$ và $\sum \sqrt{x}=2$ . Tính $\sqrt{\prod (1+x)}(\sum \frac{\sqrt{x}}{x+1})$

Ta có

$\left ( \sqrt{x} +\sqrt{y}+\sqrt{z}\right )^{2}=x+y+z+2\left ( \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx} \right )$

$\Leftrightarrow \sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1$

Đến đay giải tương tự bài 15 ta được kết quả 

    $\sqrt{\prod (1+x)}\left ( \sum \frac{\sqrt{x}}{x+1} \right )=2(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=2$

Tổng quát bài toán số 13

Tính giá trị của biểu thức

$\sqrt{x+\sqrt{y+\sqrt{x+\sqrt{y+...}}}}$

Nếu lấy $x=y$ thì ta có bài toán đơn giản hơn

Tính giá trị biểu thức

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}$

Chém bài 13

Đặt $x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}}}$

Như vậy $x^{2}=5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}} \Leftrightarrow x^{2}-5=\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+...}}} \Leftrightarrow (x^{2}-5)^{2}=13+x \Leftrightarrow (x-3)(x^{3}+3x^{2}-x-4)=0$

Do $x> 2$ nên $x^{3}-x> 0; 3x^{2}-4>0$

Do vậy x=3

Lấy số 15=7+8 cho đẹp

Bài 15

Do $xy+yz+zx=1\Rightarrow x^{2}+1=x^{2}+xy+yz+xz=(x+z)(x+y)$

Tương tự

$y^{2}+1=(y+z)(y+x)$

$z^{2}+1=(z+y)(z+x)$

Do vậy

$P=x\sqrt{\frac{(1+y^{2})(1+z^{2})}{1+x^{2}}}+y\sqrt{\frac{(1+x^{2})(1+z^{2})}{1+y^{2}}}+z\sqrt{\frac{(1+x^{2})(1+y^{2})}{1+z^{2}}}$

=$x\sqrt{\frac{(y+z)(y+x)(z+x)(z+y)}{(x+y)(x+z)}}+y\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)(z+x)(z+y)}{(y+z)(y+x)}}+z\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)(y+x)(y+z)}{(z+x)(z+y)}}$

=$x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+xz)=2$

Bài 7

Ta có $\sqrt{931}=7\sqrt{19}$

Đặt $\sqrt{x}=a\sqrt{19};y=b\sqrt{19}$ $\left ( a,b\in \mathbb{N}* \right )$

Như vậy ta có 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=7\sqrt{19}$

$\Rightarrow a\sqrt{19}+b\sqrt{19}=7\sqrt{19}$

$\Leftrightarrow a+b=7$

Ta có

$\left\{\begin{matrix} a=1 & & \\ b=6 & & \end{matrix}\right.$            $\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=5& & \end{matrix}\right.$       $\left\{\begin{matrix} a=3 & & \\ b=4 & & \end{matrix}\right.$           $\left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ b=7 & & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm giá trị của x,y

Bài 8

Đặt $ax^{3}=by^{3}=cz^{3}=k \Rightarrow a=\frac{k}{x^{3}};b=\frac{k}{y^{3}};c=\frac{k}{z^{3}}$

$\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{k}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\sqrt[3]{k}$        (1)

Mà 

$\sqrt[3]{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}=\sqrt[3]{\frac{k}{x}+\frac{k}{y}+\frac{k}{z}}=\sqrt[3]{k}$  (2)

Từ (1) & (2) suy ra đpcm

Vừa đi học về.Chém tiếp

10.Do $xyz=4\Leftrightarrow \sqrt{xyz}=2$.Ta có

$P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$

$=\frac{\sqrt{xz}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{yzxz}+\sqrt{xyz}+\sqrt{zx}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}$

$=\frac{\sqrt{xz}}{2+\sqrt{xz}+2\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{z}+2+\sqrt{xz}}+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+2\sqrt{z}+2}=1$

*Xét k=0

$(1)\Leftrightarrow (n^{2}+1)(44n^{3}+11n^{2}+10n+2)=N^{m}$

+TH1:Nếu n là lẻ ta suy ra $2\mid n^{2}+1$ nhưng không chia hết cho 4

                                          $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ không chia hết cho 2 & $44n^{3}+11n^{2}+10n+2\geq 67$

Do đó $N^{m}$ khi phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ chứa 1 thừa số 2 và 1 số lẻ $\neq 1$ (lập luận chưa chặt chẽ)

Suy ra tồn tại (1)$\Leftrightarrow m=1$

+TH2:Nếu n chẵn:chứng minh tương tự TH1

*Xét $k\geq 1$ suy ra $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ là số chính phương

+TH3:Nếu n là chẵn ta suy ra $(n^{2}+1)^{2^{k}}$ là bình phương của 1 số lẻ

                                               $44n^{3}+11n^{2}+10n+2$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 ...

Điểm. 6

S = 1.7 + 6*3 = 19.7

Bài 1:

Giả sử $6n+5$ và $2n+1$ không là 2 số nguyên tố cùng nhau với mọi $n\in \mathbb{Z}$

Như vậy chúng phải có ước chung $d(\in \mathbb{Z})$

Do  $6n+5$ và $2n+1$ là các số lẻ nên d cũng là số lẻ 

Ta có $6n+5\vdots d$   (1)

          $2n+1\vdots d\Rightarrow 6n+3\vdots d$         (2)

Từ (1) & (2) $\Rightarrow 6n+5-(6n+3)\vdots d$

hay $2\vdots d$

Do d lẻ $\Rightarrow d=1$ hay $6n+5$ và $2n+1$ nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow$ đpcm

Họ tên: Ngô Lan Anh

Lớp 9A- Trường THCS Đoàn Thị Điểm

Tỉnh:Hưng Yên

Đề bài: Với $a,b,c> 0$, chứng minh rằng:

$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\geq 6$

Bài làm

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{a+3c}{a+b}+2+\frac{c+3a}{b+c}+2+\frac{4b}{c+a}+6\geq 16 \Leftrightarrow A=(3a+2b+3c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{2}{c+a})\geq 16$

Ta có $P\geqslant (3a+2b+3c)\frac{16}{(a+b)+(b+c)+2(c+a)}= 16$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a+b= b+c= 2a+2c$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} a= c & \\ b+c= 2a+2c \Leftrightarrow b=c+2a=3a & \end{matrix}\right.$

Em muốn đăng ký là thành viên của Crux Mathematics thì phải làm thế nào ạ?

Có ai có báo Crux mathematicorum số 36n5 và 36n6 thì share cho mình với