Cho bàn cờ vua $8 \times 8$. Theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, ta làm việc sau:

Trong ô cờ thứ nhất đặt 1 hạt ngô

Trong ô cờ thứ hai đặt 2 hạt ngô

Trong ô cờ thứ ba đặt 4 hạt ngô

...

Trong ô cờ thứ 64 đặt $2^{63}$ hạt ngô.

 

Một con mã ô đầu tiên của bàn cờ, nó đi lòng vòng và ăn các hạt ngô trong ô nó nhảy đến( con mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua) nhưng nó không ăn ở ô đầu tiên và không nhảy trở lại ô đầu tiên. Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô đầu tiên và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

 

Hãy CM rằng số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3.

MSS30 canhhoang30011999

Đầu tiên ta tô màu các ô có có số hạt ngô là số mũ chẵn là trắng có số mũ lẻ là đen thì theo cách đặt các hạt ngô ta được 1 bàn cờ vua có màu giống như 1 bàn cờ vua bình thường (đen trắng xen kẽ)

Ta lại dễ dàng thấy được con mã trong cờ vua khi di chuyển thì nó sẽ nhảy từ ô màu này sang ô màu khác 

Con mã của ta xuất phát ơ ô màu trắng nên dễ thấy để nó đi vào 1 ô màu trắng thì phải qua chăn nước đi (vì cứ sau 1 nước đi thì ô của nó lại đổi màu)

Từ đó ta thấy con mã cần chẵn nước đi để trở lại ô ban đầu 

Mà con mã lại đổi màu mỗi khi nó nhảy nên số ô màu trắng bằng số ô màu đen nó đi qua hay số ô có số hạt ngô có số mũ chẵn bằng số ô có số hạt ngô có số mũ lẻ (1)

Lại có $2^{2k}\equiv 1$ (mod 3)(2)

$2^{2q+1}\equiv -1$(mod 3)(3)

Từ (1) (2) (3) $\Rightarrow$ số ngô con mã ăn được chia hết cho 3

Bài làm của MSS 34:

 

Áp dụng bđt $4ab\leq (a+b)^{2}$ với mọi $a,b$:

$4xy\leq (x+y)^{2}$$\Leftrightarrow 2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=t$

Bpt trở thành: $t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}+2t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{2}(t-1)+2(t-1)(t+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)\geq 0$ (do $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1> 0$ mọi $t$ )

$\Leftrightarrow t\geq 1$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 1$

mà $2x^{2}+2y^{2}\geq (x+y)^{2}$ với mọi $x,y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}\geq 1$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:$A=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1= 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1$

Áp dụng bđt $ab\leq \frac{(a^{2}+b^{2})}{2}$ với mọi $a,b$

$3x^{2}y^{2}\leq \frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

nên $3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1\geq 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-\frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{9}{16}-2(x^{2}+y^{2})+1+\frac{9}{16}=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2})-2(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})+\frac{9}{16}=(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9}{4}x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}-\frac{7}{8})+\frac{9}{16}\geq \frac{9}{16}$

 (do $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$)

Vậy $Min A =\frac{9}{16}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}$ và $x=y$$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

 

Điểm 10 .

Đoạn đấu = bạn thiếu điều kiên x+y=1 (thiếu điều kiện này bạn không thể suy ra $x= y= \frac{1}{2}$ được )

Đoạn tô màu đỏ là bất đăng thức BCS

GPT: $\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{97-x}=5$

đặt $\sqrt[4]{x}= a$ 

$\sqrt[4]{97-x}= b$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & a+b =5 & \\ & a^{4}+b^{4}=97 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2}+2ab =25 & \\ & (a^{2}+b^{2})^{2}-2a^{2}b^{2}=97 & \end{matrix}\right.$

đặt $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & a^{2}+b^{2} =u & \\ & ab=v & \end{matrix}\right.$ là ra

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a² + b² + c² =3

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}}$ + $\frac{b}{\sqrt{c}}$ + $\frac{c}{\sqrt{a}}$  $\geq$  a + b + c

áp dụng bđt Cô-si ta có

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{a}{\sqrt{b}}+ab\geq 3a$

Tương tự ta có $\sum 2\frac{a}{\sqrt{b}}\geq 3(a+b+c)-ab-bc-ca$

ta cần cm

$a+b+c\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)+3\geq (a+b+c)^{2}$

$\Leftrightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+1)\leq 0$

lai có $a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}= 3$

nên bđt luôn đúng

vậy ta có đpcm

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

$\sum \dfrac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \dfrac{[\sum (b+c-a)]^2}{\sum [2a^2+(b+c)^2]}=\dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum (b+c)^2} \\ \geq \dfrac{(\sum a)^2}{2\sum a^2+\sum [2(b^2+c^2)]}=\dfrac{(\sum a)^2}{6\sum a^2} \\ \geq \dfrac{3 \sum ab}{6\sum ab}=\dfrac{1}{2}$

 

 

P/S: lần sau bạn chú ý đặt đề theo STT đã có trong pic bạn nhé!

bạn bị ngược dấu rồi 

Bài 1:Biết $x,y,z$ là độ dài các đoạn thẳng thỏa mãn

$\frac{x^2+y^2-z^2}{2xy}+\frac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2zx}> 1$

Chứng minh $x,y,z$ là độ dài các cạnh của 1 tam giác

Bài 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR:

$\sum \frac{a}{(b+c)^2}\geq \frac{9}{4(\sum a)}$

Bài 3: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c-a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\geq \frac{1}{2}$

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. CMR

$\sum \frac{(b+c+2a)^2}{2a^2+(b+c)^2}\leq 8$

P/s: HẾT!!!   

3 $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}\geq \sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

ta cần cm $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sum (b+c-a)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$(luôn đúng)

Đề thi hsg HY 2013-2014 mới thi sáng hơi kém

3.2

$a+b+c+\frac{3}{4a}+\frac{9}{8b}+\frac{1}{c}$

$= \frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{4}c+\frac{3}{4}a+\frac{3}{4}+\frac{1}{2}b+\frac{9}{8b}+\frac{1}{4}c+\frac{1}{c}$

$\geq \frac{1}{4}.10+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+1= \frac{13}{2}$

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow a=1,b=\frac{3}{2},c= 2$

Đề thi hsg HY 2013-2014 mới thi sáng hơi kém

2.2

nhân 2 vế của 2pt ta được 

$-9(4x^{3}-y^{3})= (x+2y)(52x^{2}-82xy+21y^{2})$

$\Leftrightarrow 88x^{3}+22x^{2}y-143xy^{2}+33y^{3}= 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)(4x-y)= 0$

đến đây xét các th là ra

 

SỞ GDĐT TỈNH PHÚ THỌ                                     ĐỀ THI HSG LỚP 9 TỈNH PHÚ THỌ 

 

Câu 1: $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

a) Giải phương trình nghiệm nguyên $x^2+5y^2-4xy+4x-8y-12=0$

b) Cho $p(x)=x^3-3x^2+14x-2$. Tìm các số tự nhiên $x< 100$ sao cho $p(x)\vdots 11$

Câu 2

a) Tính giá trị biểu thức $P=\frac{a^3-3a+2}{a^3-4a^2+5a-2}$ với $a=\sqrt[3]{55+\sqrt{3024}}+\sqrt[3]{55-\sqrt{3024}}$

b) Cho $x,y,z$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x^3=3x-1\\ y^3=3y-1\\ z^3=3z-1 \end{matrix}\right.$.

Tính $x^2+y^2+z^2$

Câu 3.

a) Giải phương trình : $3x-1+\frac{x-1}{4x}=\sqrt{3x+1}$

b) GHPT : $\left\{\begin{matrix} 3x^2+2y^2+x+8y-4-4xy=0\\ x^2-y^2+2x+y-3=0 \end{matrix}\right.$

Câu 4.

Cho đường tròn $(O;R)$ và dây cung $BC$ không đi qua tâm. Gọi $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $BC$. Gọi nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$ và cố định, sao cho $E,F$ nằm khác phía với $A$ so với $BC$, $AF,AE$ cắt $BC$ tại $M,N$. Lấy điểm $D$ sao cho tứ giác $MNED$ là hình bình hành.

a) Chứng minh : $MNEF$ là tứ giác nội tiếp

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MDF$. Chứng minh : $I$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi góc nội tiếp $\angle EAF$ quay quanh $A$.

c) Tìm min của $OI$ khi $\angle EAF=60^{\circ},BC=R$

Câu 5. Cho $x,y,z>0,x+y+z=3$ Chứng minh rằng :

 $\sum \frac{x^2+y^2+2z^2}{4-xy}\geq 4xyz$

 

3b 

$\left\{\begin{matrix} & 3x^{2}+2y^{2}+x+8y-4xy=0 &(1) \\ & x^{2}-y^{2}+2x+y-3=0& (2) \end{matrix}\right.$

nhân 2 vế của (2) rồi trừ vế vế ta có

$(x-2y)^{2}-3(x-2y)+2= 0$

đến đây xét các TH là ra

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

5

$gt\Leftrightarrow \frac{2}{c}+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}= 7$

đặt $\frac{1}{c}=x,\frac{1}{b}=y,\frac{3}{a}= z$

ta có $2(x+y+z)=7$

lại có

$C=\frac{4}{4y+\frac{2z}{3}}+\frac{9}{x+\frac{4z}{3}}+\frac{4}{x+y}$

$\geq \frac{(2+3+2)^{2}}{2(x+y+z)}= 7$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                                                 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
          HẢI DƯƠNG                                                                                          NĂM HỌC 2013-2014

                                                                THỜI GIAN: 150 '
                                                            NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$ với $-1\leq x\leq 1$
b. Cho $a,b$ thỏa mãn $a> b> 0$ và $a^3-a^2b+ab^2-6b^3=0$.
     Tính giá trị biểu thức $B=\frac{a^4-4b^4}{b^4-4a^4}$

Câu 2 (2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3 (2đ)
a. Tìm $x,y$ nguyên dương thỏa $xy^2+2xy+x=32y$
b. Cho 2 số tự nhiên $a,b$ thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$. CMR $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4 (3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
         a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$
         b. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O;R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. CMR               $OD.GF=OG.DE$ 
         c. Tìm GTLN của chu vi $\bigtriangleup MAB$ theo R.

Câu 5 (1đ)
Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $2ab+6bc+2ac=7abc$. 
Tìm GTNN của $C=\frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}$

P/s: công sức đằng đẵng 8 tháng trời ôn luyện quả là ko uổng phí 

3b

$gt\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)= b^{2}$

giả sử $(a-b,2a+2b+1)=k$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} & 2a+2b+1\vdots k& \\ & a-b\vdots k& \\ & b\vdots k & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 1\vdots k$

$\Rightarrow (a-b,2a+2b+1)= 1$

$\Rightarrow 2a+2b+1$ là số chính phương

Mọi người giúp nhanh cho mình nha thanks nhìu 

114. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $P=\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}$

 

115. Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=1$. Tính GTLN $s=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}$

 

116. Cho $a,b,c>1$. CMR: $\frac{4a^{2}}{a-1}+\frac{5b^{2}}{b-1}+\frac{3c^{2}}{c-1}\geq 48$

 

117.Cho $a,b,c>0$. CMR $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$

 

118. Cho $x,y>0$ và $x+y=1$. CMR $P=\frac{1}{x^{3}+y^{3}}+\frac{1}{xy}\geq 4+2\sqrt{3}$

115

3-s=$\sum \frac{1}{x+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}= \frac{9}{4}$

$s\leq \frac{4}{3}$

116 $\frac{4a^{2}}{(a-1)1}\geq \frac{16a^{2}}{a^{2}}= 16$

tương tự ta có đpcm

117$\frac{a^{3}}{b}+ab\geq 2a^{2$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b}\geq \sum 2a^{2}-\sum ab \geq \sum ab$}$

 

 

6) Cho ab,c là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$. CM:

 

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

 

 

 

6

$\sum \sqrt{a+b}\leq \sqrt{6}$

$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+b)\frac{2}{3}}\leq 2$

$\sum \sqrt{(a+b)\frac{2}{3}}\leq \sum \frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}$$= 2$

P/s: câu này nhầm dấu C/m à

Áp dụng BĐT $AM-GM$:

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.y^{2}\geq 2\left | xy \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{x^{2}}{2}+\frac{9-\sqrt{17}}{4}.z^{2}\geq 2\left | xz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

$\frac{\sqrt{17}-1}{4}.y^{2}+\frac{\sqrt{17}-1}{4}.z^{2}\geq 2\left | yz \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}$

Cộng theo vế $VT\geq 2(\left | xy \right |+\left | yz \right |+\left | zx \right |).\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}\geq 2.\left | xy+yz+zx \right |.\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{8}}=\sqrt{\frac{9-\sqrt{17}}{2}}$

$=\frac{\sqrt{17}-1}{2}$

nhầm rồi đề là xy+z+xz=-1

1) CM: $-\sqrt{\frac{31}{3}}\leq 3a-2b$ với $a^2+3b^2=1$ và $a,b$ là hai số thực.

 

2) Chứng minh rằng với mọi $x\in \left [ -1,1 \right ]$, ta có:

 

$-5\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq 5$

 

3) Cho $a,b,c>1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

 

4) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

 

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

 

Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

5) Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

 

P/s: mọi bài đều có thể áp dụng BDT bunyakovsky

2

áp dụng bđt bcs ta có

$(3x+4\sqrt{1-x^{2}})^{2}leq (9+16)(x^{2}+1-x^{2})= 25$

$\Rightarrow (3x+4\sqrt{1-x^{2}})\leq 5$

ta có $3x+\sqrt{1-x^{2}}\geq -3(x\geq -1)$

1) CM: $-\sqrt{\frac{31}{3}}\leq 3a-2b$ với $a^2+3b^2=1$ và $a,b$ là hai số thực.

 

2) Chứng minh rằng với mọi $x\in \left [ -1,1 \right ]$, ta có:

 

$-5\leq 3x+4\sqrt{1-x^2}\leq 5$

 

3) Cho $a,b,c>1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2$. Chứng minh rằng:

 

$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\leq \sqrt{a+b+c}$

 

4) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn:

 

$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1$

 

Chứng minh rằng: $a+b+c\geq ab+bc+ca$

 

5) Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

 

$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leq \frac{1}{2}$

 

P/s: mọi bài đều có thể áp dụng BDT bunyakovsky

5 đề là $\sum \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{1}{3}$

ta có $\frac{a^{3}}{(a^{2}+b^{2}+a^{2})(a^{2}+a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a^{3}}{(a^{2}+ab+ac)^{2}}$

$\Rightarrow \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a}{(a+b+c)^{2}}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{(2a^{2}+b^{2})(2a^{2}+c^{2})}\leq \frac{a+b+c}{(a+b+c)^{2}}= \frac{1}{3}$

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

MSS30 canhhoang30011999

Thay $x=1,y= 2$ vào phương trình trên ta có

$\sqrt{2025.1^{2}+2012.1+3188}=2013.1-2011.2+2094$

$\Leftrightarrow 85= 85$(khẳng định đúng )

Vậy tồn tại cặp số nguyên $\left ( x,y \right )$ thỏa mãn phương trình đã cho $(x=1,y=2)$

    d = 9

    S = 17+ 9x3= 44

124) Cho $S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ trong đó $ad-bc=1$. Cmr: $S\geq \sqrt{3}$

 

125) Cho $x;y;z$ thoả $\left\{\begin{matrix}x+y+z=5 & & \\ x^2+y^2+z^2=9 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $1\leq x,y,z\leq \frac{7}{3}$

 

126) Cho $x;y\neq 0$. Cmr: $\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$
 

127) Cho $a;b;c\in [-1;2]$ thoả mãn: $a+b+c=0$. Cmr: $a^2+b^2+c^2\leq 6$

 

128) Cmr: $\sum (x-y)^2\leq 3\sum x^2$

126$bdt\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+2\geq 0$

đặt $t= \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

ta có

$t^{2}\geq 4$

$\Leftrightarrow$ $t\geq 2$ hoặc $t\leq - 2$

lúc đó 

$bdt\Leftrightarrow (t-1)(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x=y$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

132 $bdt\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}(x-y)$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x-y)^{2}$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2})^{2}\geq 8(x^{2}+y^{2})-16$

$\Leftrightarrow (x^{2}+y^{2}-4)^{2}\geq 0$

132, Cho xy=1, x > y chứng minh $\frac{x^{2}+y^{2}}{x-y}$ $\geq 2\sqrt{2}$

133, Cho $x,y\geq 0$ và $x^{2}+y^{2}= 1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$

134, Cho a, b, c thoả mãn $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c= 3$

Chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 5$

134

Giả sử $0\leq a\leq b\leq c\leq 2$

khi đó $0\leq a\leq 1$

$1\leq c \leq 2$

$\Rightarrow a^{2}\leq a,c^{2}\leq 3c-2$

VT$= a^{2}+c^{2}+(3-a-c)^{2}$$\leq 2a(c-2)+5\leq 5$

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

20 đặt $\sqrt[3]{24+x}=a,\sqrt{12-x}=b$

ta có hệ

$\left\{\begin{matrix} & a^{3}+b^{2}=36 & \\ & a+b=6& \end{matrix}\right.$

đến đây rút thế là ra

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

23 Đặt $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=t$

ta có $t^{2}=4x-3+2\sqrt{3x^{2}-5x+2}$

pt trơt thành $t^{2}-t-6=0$

24 đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}= t$

pt trở thành

$5t= 2t^{2}+2$

đến đây xét các TH là ra

Các bài làm hầu như không ghi ĐKXĐ vào, các bạn chú ý nhé. (Nhớ trích dẫn đề nữa)

 

Giải pt:

19) $\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$

 

20) $\sqrt[3]{24+x}+\sqrt{12-x}=6$

 

21) $(x+1)(x+4)=5\sqrt{x^2+5x+28}$

 

22) $4\sqrt{(4-x)(2+x)}=x^2-2x-12$

 

23) $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}=4x-9+2\sqrt{3x^2-5x+2}$

 

24) $5\sqrt{x}+\frac{5}{2\sqrt{x}}=2x+\frac{1}{2x}+4$

 

25) $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$

 

26) $x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}$

25 $pt\Leftrightarrow x^{2}=(\sqrt{2x-1}+1)^{2}$

đến đây xét các TH là ra

26 đặt $\sqrt[3]{2x-1}=t$

ta có hệ $\left\{\begin{matrix} & t^{3}=2x-1 & \\ & x^{3}=2t-1 & \end{matrix}\right.$

đến đây trừ vế vế là ra

cái này chắc chắn hot girl Hiếu A (004) giật giải rồi

cặp mod 001,004 là cặp trai tài gái sắc của trường mình đấy