Đã gửi bởi
Lời giải. Ta thấy đường tròn $(P,PA)$ đi qua $G$ đối xứng $C$ qua $K$. Đường tròn $(Q,QA)$ đi qua $H$ đối xứng $B$ qua $L$. Dễ thấy $(P)$ cắt $(Q)$ tại $X$ là đối xứng của $A$ qua $N$. Đường tròn $(I,IA)$ đi qua $Z$ là đối xứng của $A$ qua $B$ và đường tròn $(J,JA)$ đi qua $Y$ đối xứng của $A$ qua $C$. Từ đó $(I)$ cắt $AG$ tại $U$ và $(J)$ cắt $AH$ tại $V$ ta phải chứng minh $\angle BUA=\angle CVA$. Sử dụng nghịch đảo cực $A$ ta chuyển về bài toán sau.
Bài toán. Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $BE,CF$ và đường đối trung $AD$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ tại $BM$ tại $P$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $AB$ cắt $CM$ tại $Q$. $AP,AQ$ lần lượt cắt $BE,CF$ tại $K,L$. Chứng minh rằng $\angle KCA=\angle LBA$.
Giải. Gọi $BS,CT$ là các đường đối trung của tam giác $ABC$. Gọi $U,V$ là đẳng giác của $K,L$ thì $U,V$ nằm trên $BS,CT$. Ta lại có $\angle UAB=\angle KAC=\angle MBA$. Theo bài Shortlist G5 thì $U$ là trung điểm $BS$. Tương tự $V$ là trung điểm $CT$. Vẫn theo bài G5 thì $\angle UCB=\angle VCB$ suy ra $\angle KAC=\angle LBA$.
Bài tổng quát giải tương tự chú ý rằng gốc gác của nó chính là tổng quát sau của bài G5 chuyển thành bài toán sau
Bài toán. Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $BE,CF$ và đường đối trung $AD$. $M$ bất kỳ trên $AD$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ tại $BM$ tại $P$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $AB$ cắt $CM$ tại $Q$. $AP,AQ$ lần lượt cắt $BE,CF$ tại $K,L$. Chứng minh rằng $\angle KCA=\angle LBA$.
