Chủ đề này có 1 trả lời

[baopbc]

$\boxed{\textrm{Bài toán}}$ (Thầy Trần Quang Hùng - Vietnam IMO Training 2016[1])

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O)$ và $M$ là trung điểm $BC,AM$ cắt $\odot (O)$ tại điểm thứ hai $N.D$ đối xứng với $A$ qua $M$. Trung trực $AC,AB$ cắt đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $AN$ lần lượt tại $P,Q.K,L$ lần lượt là hình chiếu của $P,Q$ lên $DC,DB.E,F$ lần lượt là trung điểm $CA,AB.I,J$ thuộc $OP,OQ$ sao cho $BI\perp BA,CI\perp CA$. Lấy $S,T$ sao cho $IS\perp SA\parallel EK$ và $JT\perp TA\parallel FL$. Chứng minh

$\angle FSA=\angle ETA$

Trong [1] mình có đề xuất một mở rộng như sau:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot (O)$ và $M$ là trung điểm $BC.D$ đối xứng với $A$ qua $M.N$ là một điểm bất kì trên $AD$.Trung trực $AC,AB$ cắt đường thẳng qua $N$ và vuông góc với $AN$ lần lượt tại $P,Q.K,L$ lần lượt là hình chiếu của $P,Q$ lên $DC,DB.E,F$ lần lượt là trung điểm $CA,AB.I,J$ thuộc $OP,OQ$ sao cho $BI\perp BA,CI\perp CA$. Lấy $S,T$ sao cho $IS\perp SA\parallel EK$ và $JT\perp TA\parallel FL$. Chứng minh

$\angle FSA=\angle ETA$

Hình vẽ bài toán mở rộng

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 06-05-2016 - 20:11

[quanghung86]

Lời giải. Ta thấy đường tròn $(P,PA)$ đi qua $G$ đối xứng $C$ qua $K$. Đường tròn $(Q,QA)$ đi qua $H$ đối xứng $B$ qua $L$. Dễ thấy $(P)$ cắt $(Q)$ tại $X$ là đối xứng của $A$ qua $N$. Đường tròn $(I,IA)$ đi qua $Z$ là đối xứng của $A$ qua $B$ và đường tròn $(J,JA)$ đi qua $Y$ đối xứng của $A$ qua $C$. Từ đó $(I)$ cắt $AG$ tại $U$ và $(J)$ cắt $AH$ tại $V$ ta phải chứng minh $\angle BUA=\angle CVA$. Sử dụng nghịch đảo cực $A$ ta chuyển về bài toán sau.

 

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $BE,CF$ và đường đối trung $AD$. Gọi $M$ là trung điểm $AD$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ tại $BM$ tại $P$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $AB$ cắt $CM$ tại $Q$. $AP,AQ$ lần lượt cắt $BE,CF$ tại $K,L$. Chứng minh rằng $\angle KCA=\angle LBA$.

 

 

Giải. Gọi $BS,CT$ là các đường đối trung của tam giác $ABC$. Gọi $U,V$ là đẳng giác của $K,L$ thì $U,V$ nằm trên $BS,CT$. Ta lại có $\angle UAB=\angle KAC=\angle MBA$. Theo bài Shortlist G5 thì $U$ là trung điểm $BS$. Tương tự $V$ là trung điểm $CT$. Vẫn theo bài G5 thì $\angle UCB=\angle VCB$ suy ra $\angle KAC=\angle LBA$.

 

Bài tổng quát giải tương tự chú ý rằng gốc gác của nó chính là tổng quát sau của bài G5 chuyển thành bài toán sau

 

Bài toán. Cho tam giác $ABC$ với trung tuyến $BE,CF$ và đường đối trung $AD$. $M$ bất kỳ trên $AD$. Đường tròn qua $A,B$ tiếp xúc $AC$ tại $BM$ tại $P$. Đường tròn qua $A,C$ tiếp xúc $AB$ cắt $CM$ tại $Q$. $AP,AQ$ lần lượt cắt $BE,CF$ tại $K,L$. Chứng minh rằng $\angle KCA=\angle LBA$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 07-05-2016 - 13:04
Bổ sung bài toán