2. Cho các số x,y thỏa mãn: $x^4+x^2.y^2+y^4=4; x^8+x^4y^4+y^8=8$

Tính: $A=x^{12}+x^2.y^2+y^{12}$

 

Đặt cho gọn vậy $x^2=a;y^2=b$ (a,b 

ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} a^2+ab+b^2=a & \\ a^4+a^2b^2+b^4=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2-ab=4 & \\ (a^2+b^2)^2-a^2b^2=8& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ((a+b)^2-2ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ (4-ab)^2-a^2b^2=8 & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)^2=4+ab & \\ ab=1& \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=\sqrt{5} & \\ ab=1 & \end{matrix}\right.$

Từ đó tìm được a,b tìm được x,y.

Tìm được $x^12+x^2y^2+y^12$

 

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

 

PT tương đương:

$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+4k^2-4k+1+k^2-2k+1+1]=2x+1$

$\Leftrightarrow (x^2+2)(x^2-2k+1)^2+(x^2+2)(k-1)^2+(x-1)^2=0$

khi $x=k=1$

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số: $y=\left | x^2+x+16 \right |+\left | x^2+x-6 \right |$ đặt min, tìm giá trị đó.

Bài 2. Tìm k để pt sau có nghiệm:$(x^2+2)[x^2-2x(2k-1)+5k^2-6k+3]=2x+1$

Bài 3. Cho góc nhọn xOy và điểm C cố định thuộc tia Ox. Điểm A di động trên tia Ox phía ngoài đoạn OC; điểm B di động trên tia Oy sao cho luôn có CA=OB.

Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

Bài 4. Tìm các chữ số a,b,c biết: $\sqrt{\overline{abc}}=(a+b)\sqrt{c}$

Bài 5. Một lớp học có số học sinh được xếp loại Giỏi ở mỗi môn học (trong số 11 môn học) đều vượt qua 50%. Chững minh rằng có ít nhất 3 học sinh được xếp loại Giỏi từ 2 môn trở lên (số học sinh của lớp không ít hơn 10)

________________________________

Mấy hôm nay bận túi bụi không kịp vào chém bài của mọi người . >.<

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

1) Cho phương trình: x² - 2mx + 2m - 1 = 0. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x₁, x₂ với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức  khi m thay đổi.

 

 

Ta có: $\Delta '=(m-1)^2 \geq 0 \rightarrow dpcm$

Theo Viet ta có: $P=\frac{4m+1}{4m^2+2}$

Xét $\frac{4m+1}{4m^2+2}-1=\frac{(m-\frac{1}{2})^2}{m^2+\frac{1}{2}}\geq 0$

Vậy $max_P=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

 

b, cho 3 số x ; y ; z thoả mãn đồng thời:

            $\left\{\begin{matrix} x^{2}+2y+1=0 & \\ y^{2}+2z+1=0& \\ z^{2}+2x+1=0 & \end{matrix}\right.$

CMR: biểu thức $A=x^{2006}+y^{2006}+z^{2006}$ là 1 số nguyên.

 

Cộng vế vế 3 DT trên suy ra $x=y=z=-1 \rightarrow A=3 \in Z$ 

 

Cầu 5: 1đ Giải phương trình :$2014x^{4}+x^{4}\sqrt{x^{2}+2014} +x^{2} = 2013.2014$

 

 

Bài 4 ( 3 điểm ) Giải phương trình : 

 $\sqrt{x+1}+2(x+1)=x-1+\sqrt{1-x}+3\sqrt{1-x^{2}}$

 

Đặt ẩn phụ.

$\sqrt{x+1}=a; \sqrt{1-x}=b$ (dk)

$PT \Leftrightarrow a^2+2a^2+b^2=b+3ab\Leftrightarrow (a-b)(2a-b+1)=0$

TH1:a=b, dễ rồi.

TH2: $2\sqrt{x+1}+1=\sqrt{1-x}$ 

bình phương

$\Leftrightarrow 5x+4+4\sqrt{x+1}=0\Leftrightarrow 5a^2+4a-1\Rightarrow a=\frac{1}{5}\Rightarrow x=\frac{-24}{25}$

 

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

 

Ta có: $\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}\leq 3+a+b+c$ (1)

Thật vậy:

Đặt $x=\sqrt{a} \geq 0;y=\sqrt{b} \geq 0;z=\sqrt{b} \geq 0$

(1) $\Leftrightarrow \frac{1+x}{1+y}+\frac{1+y}{1+z}+\frac{1+z}{1+x}\leq 3+x^2+y^2+z^2$

$=\frac{yz+zx+yx+{x}^{3}z+{x}^{2}y+{x}^{3}y+{y}^{2}z+{y}^{3}x+{y}^{3}z+{z}^{2}x+{z}^{3}x+{z}^{3}y+{z}^{3}y x+{y}^{2}zx +{x}^{2}yz+{y}^{3}zx+3\,yzx+{x}^{3}yz+{z}^{2}yx+{x}^{3}+{y}^{3}+{z}^{3} }{( 1+x ) ( 1+ y ) ( 1+z )} \ge 0$

(luôn đúng)

__________________

Khủng quá.

 

b. Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ac \leq abc$.

CMR: $\frac{8}{a+b}+\frac{8}{b+c}+\frac{8}{c+a}\leq \frac{b+c}{a^2}+\frac{c+a}{b^2}+\frac{a+b}{c^2}+2$

DỄ cm được BDT: $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2} \geq \frac{8}{(x+y)^2}(1)$

Từ (1) ta có: $\dfrac{8}{a+b}+\dfrac{8}{b+c}$ $+\dfrac{8}{c+a}\leq (a+b)(\dfrac{1}{a^2}$ $+\dfrac{1}{b^2})+(b+c)(\dfrac{1}{b^2} +\frac{1}{c^2})+(a+c)(\dfrac{1}{a^2} +\frac{1}{c^2})$

Mặt khác: $VP\geq 2(\sum  \frac{1}{a})$

Kết hợp với giả thiết là chứng minh được.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=3$

 

b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
 

 

Do $a,b,c$ nguyên nên 1 3 số luôn nhận các giá trị 1 hoặc -1 Do $abc=1$ nên trong 1 trong 3 số phải có 2 số cùng âm hoặc cả 3 số cùng dương.

xét:

TH1: 2 số cùng âm. Giả sử $a=b=-1;c=1$ ( do a,b,c có vai trò như nhau nên có thể tuỳ chọn biến). Thay vào ta tính dc: $Q=\frac{1}{2}$

Hoặc có thể do ở mẫu của các phân thức giá trị của a,b,c luôn dương nên có thể tìm luôn được $Q=\frac{1}{2}$ thay vì xét TH. Câu này nên đổi thành tính GT biểu thức luôn nhỉ.  

Thật chẳng hiểu cái đề câu 5 hình nó vẽ như thế nào. Thành thử không làm nổi nguyên cái bài hình.

Đăng tiếp được chứ chủ pic??

Đề Kiểm tra ĐT đợt 3 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa.

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)
Câu 3: a)Tìm các số nguyên dương n sao cho $P=\frac{n(n+1)}{2} -1$ là số nguyên tố 
b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
Câu 4:a) Cho tam giác ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của I trên AB,AC,BC và H là hình chiều của F trên DE. Chứng minh rằng $AD=\frac{(AB+AC-BC)}{2}$ và HF là tia phân giác của góc BHC
b)Cho tam giác ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=20^o$  ,BC=a,AB=b.Chứng minh rằng $a^3+b^3=3ab^2$
Câu 5:a) Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $S_n=a^n+b^n+c^n$ với n thuộc N* ,biết $S \leq 5; S_2\leq 11$.

Chứng minh $S_n=3^n+2$

b) Tìm các số x,y thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+x=2$ và $\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}$ .

________

Đề mới đọc ko có đáp án nên cho làm chung với nhé!

 

 

Câu 2 ( 6 điểm ) 

       a, Giải phương trình : $2x^{2} - 8x - 3 \sqrt{x^{2}-4x -8} =18$ (1)

      

 

DKXD: $x\geq 2(1+\sqrt{3});x\leq 2(1-\sqrt{3})$

$(1)\Leftrightarrow 2(x^2-4x-8)-3\sqrt{x^2-4x-8}-2=0$

Đặt $\sqrt{x^2-4x-8}=a\geq 0$

Ta có: $(1)\Leftrightarrow 2a^2-3a-2$

Dễ dàng giải dc pt này. Tìm a tìm x loại nghiệm.

Câu 3b. 

Ta có:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^3}}\geq \frac{1}{1+\frac{(b+c)^2}{2a^2}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

TT ta dc 2 BDT. Cộng vế vế ta dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Đề ôn hsg lớp 9

( vừa làm sáng nay giờ post lên cho mọi người làm )

Câu 1( 4 điểm) : 

a, Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì   $n^{5}-n \vdots 1 0$

b, Giải phương trình : $x^{2}+x+12\sqrt{x+1}=36$

 

 

1.

a. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) + 5n(n-1)(n+1)$ chia hết cho 10 => ĐPCM

b. Đặt $\sqrt{x+1}=a$ sau đó rút x theo a là được.

1.

a. $x+\sqrt{3}=2$. Tính $A=x^5-3x^4-3x^3+x^2-20x+2014$

b. Cho các số nguyên dương a,b,c ($b \neq1$) sao cho $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là 1 số hữu tỉ.

cm: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

2. 

1. Cho hàm số bậc nhất: $y=ax+b$ có đồ thị đi qua M(1;4). Biết đồ thị hàm số cắt Ox tại P có hoành độ dương, cắt trục Oy tại Q có tung độ dương. Tìm (a;b) sao cho OP+OQ đạt min.

2. cm: Mọi điểm M(x;y) luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi (x;y) là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix}(m-1)x+y=m & \\  x+(m-1)y=2& \end{matrix}\right.$

3.

1. Gpt: $2x(2+\sqrt{4x^2+1})=(x+1)(2+\sqrt{x^2+2x+2})$

2. Tìm x,y nguyên thỏa mãn $y^3=x^3+2x^2+3x+2$

4. Cho x,y dương. Tìm min:

---> --->

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(1;4;2); B(-1;2;4)$, đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{2}$.

Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất. 

____

Cho em hỏi cách không dùng phương pháp đại số ạ.

Tổng hợp các bài toán phương trình vô tỉ trong các kì thi Olympic 30 tháng 4

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

a. $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

d) $(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

a. (Lời giải khá dài)

ĐK:..

$PT\Leftrightarrow x(x-2)(x+2)+\frac{(x-2)(x+1)}{x+\sqrt{x+2}}=0 \Leftrightarrow (x-2)[x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}]=0$

Giải $x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}=0$

$\Leftrightarrow (x+2)(x^2+x\sqrt{x+2})+x+1=0$

$\Leftrightarrow x^2(x+2)+2x\sqrt{x+2}+x^2\sqrt{x+2}+x+1=0$

$\Leftrightarrow (x\sqrt{x+2}+1)(x\sqrt{x+2}+x+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\sqrt{x+2}+1=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}& \\ x\sqrt{x+2} +x+1(2)& \end{bmatrix}$

cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B. $\widehat{ACB}=30^o$. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết (SBC) tạo với mặt đáy một góc 45 độ. 

a. Tính góc giữa (SAC) và (SBC)

b. Gọi M là trung điểm AB. Tính góc giữa SM và (SBC)

                                                                             

Câu 4:(7 đ)

Cho đường tròn (O;R) có BC là dây cố định (BC<2R).E là điểm chính giữa cung nhỏ BC.Gọi A là điểm trên cung lớn BC và AB<AC(A khác B).Trên đoạn AC lấy điểm D khác C sao cho EC=ED.Tia BD cắt cắt (O;R) tại điểm thứ 2 là F

a)CMR:D là trực tâm của tam giác AEF

 

a. E là điểm chính giữa của cung BC nhỏ $\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{BFC}.. \Rightarrow PDQE$ nt.

$\Rightarrow \widehat{ADB}=\widehat{AEF}$ $=\widehat{ABF} \Rightarrow \triangle ABD$ cân tại A.

mà AE là phân giác góc BAD nên $\widehat{DPE}=90^o$ 

.. $\rightarrow đpcm$

?

Dòng đầu bạn chứng minh tiếp tam giác đồng dạng là chứng minh được ngay PDQE nt. dòng thứ hai mình ghi sai. đã fix.

$x+1+\sqrt{x^{2}-4x+1} = 3\sqrt{x}$

Đk: $x \ge 0$

Dễ thấy $x=0$ không là nghiệm của pt.

Chia hai vế cho $\sqrt{x}$ ta có pt:

$\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x-4+\dfrac{1}{x}}=3$ 

Đặt: $\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}=a$, ta có pt:

$a+\sqrt{a^2-6}=3$

..

$\Leftrightarrow a=\dfrac{5}{2}$

..

Cho 1 đa giác đều 30 đỉnh. Tính số tam giác cân được tạo thành bởi các đỉnh của đa giác.

Xét tam giác ABC có đường cao AH,BK có $\widehat{B}=\alpha ;C=\beta $

Xét 2 TH: 

TH1: $\alpha +\beta <90^o\rightarrow \widehat{BAC}$ tù.

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.ACsinBAK=\frac{1}{2}AB.ACsin(\alpha +\beta )$ (1)

Ta có: 

$AB.AC.(sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha )=AH(HC+BH)=AH.BC=2S_{ABC}(2)$

Từ (1) (2) suy ra đpcm. 

Tương tự vs TH2. lớn hơn 90 độ.

____________________________________

Đúng là tự sướng khủng khiếp mà Phương tưởng già lắm rùi

Già là già thế nào. Còn trẻ chán đấy.   

Mà cái này không gọi là tự sướng mà là nâng cao bản thân thôi.

VD:

Mấy bạn này nhìn lớn thế. Có khi lớn = già hơn mình đấy.