http://diendantoanho...-xứng-a-qua-mq/

Bạn xem kĩ lại đi. Bình phương rồi mà!

Thế thì biểu thức ban đầu lớn hơn hoặc bằng 9 à! Vậy dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Ta có

$a+b+c=abc\Leftrightarrow a^2+ab+ac=a^2bc\Leftrightarrow (a+b)(a+c)=bc(a^2+1)$

$\Leftrightarrow a^2+1=\frac{(a+b)(a+c)}{bc}$

Do đó$\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}=\sum \frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}$

$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b})=\frac{3}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$

câu 7,

áp dụng bđt schwars ta có

P=$\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{16}.32=2$

vậy Max P=2

dấu bằng  xảy ra khi $a=b=c=\frac{3}{8}$

A viết rõ hộ e phần $\sum \frac{1}{2x+y+z}\leq \frac{1}{16}\sum (\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})

vì e chưa học cái dấu $\sum$

Áp dụng $AM-GM$

$1.\frac{b+c}{a}\leq (\frac{1+\frac{b+c}{a}}{2})^2=(\frac{a+b+c}{2a})^2$

=>$\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}$

Làm tương tự với các phân thức còn lại ta có

$\sum\sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a=b+c & & \\ b=a+c & & \\ c=a+b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow a+b+c=0$ (vô lí vì $a,b,c>0$)

Vậy không xảy ra dấu $=$

1/ Ta có $\frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\geq \frac{3}{4}a$

Xây dựng các BDT tuơng tự ta được $\sum \frac{a^{3}}{\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )}\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )-\frac{3}{4}\geq \frac{1}{2}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$

2/ $P=2xy+\left ( x^{3}+y^{3} \right )=2xy+\left ( x+y \right )\left ( \left ( x+y \right ) ^{2}-3xy\right )=2xy+2011.\left ( 2011^{2} -3xy\right )=2011^{3}-6031xy\geq 2011^{3}-6031.\frac{\left ( x+y \right )^{2}}{4}=2011^{3}-\frac{6031.2011^{2}}{4}$

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

câu 1:

$\sum \frac{a^{3}}{(b+1)(c+1)}= \sum \frac{a^{4}}{a(abc+b)(abc+c)}= \sum \frac{a^{4}}{(bc+1)(ac+1)}\geq \sum \frac{4a^{4}}{(ac+bc+2)^{2}}\geq \frac{4}{3}(\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2})^{2}(1)$

 

áp dụng bđt schwars ta có

$\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+ac+bc+3)}$

vì 

$(a+b+c)^{2}\geq 9\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9$

$ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}(a+b+c)^{2}$

nên

$\frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ac+3)}\geq \frac{3}{4}$

suy ra $\sum \frac{a^{2}}{ab+ac+2}\geq \frac{3}{4}(2)$

từ (1)(2) ta được đpcm

Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

http://diendantoanho...28302430203041/

http://diendantoanho...-tròn-nội-tiếp/

http://diendantoanho...tính-bc-theo-r/

mọi người giúp mình mấy bài này nữa ,tks

Bạn ơi, câu 3 là $x^2+y^2+z^2=3$ hay $x+y+z=3$ vậy bạn?

là $x^2+y^2+z^2=3$

1. a,b,c dương thỏa mãn abc=1 chứng minh $\frac{a^3}{(1+b)(1+c)}+\frac{b^3}{(1+a)(1+c)}+\frac{c^3}{(1+b)(1+a)}\geq \frac{3}{4}$

2.x,y dương thỏa mãn x+y=2011 tìm Min,Max P=x($x^{2}+y$) +y($y^{2}+x$)

3.x,y,z >0 x^2+y^2+z^2=3 chứng minh $\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}+\frac{zy}{x}\geq 3$

4.I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC có diện tích S,nửa chu vi p chứng minh IA + IB + IC $\geq \frac{6S}{p}$

5.a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=abc tìm max  S=$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ac(1+b^2)}}+\frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}$

6.a,b,c >0 chứng minh $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{b+a}}> 2$

7.cho x,z,y là 3 số dương thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=8$ tìm Max $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+y+x}$

8.cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M nằm trên cạnh huyền BC.Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh AB,AC. chứng minh $\frac{AC}{MH}+\frac{AB}{MK}4$

Mình xin làm ngay câu này:

P/s: Cái này là làm trên word xong chụp ảnh đăng lên đây đấy mọi người!

cái chỗ =>xb=ya và yb=za vì sao lại => được từ x,y,z,a,b thuộc Q và $\sqrt{2011}$ thuộc I ?

Bài 6

Prove: $\sqrt{\frac{x}{y+z}}\geq \frac{2x}{x+y+z}$

 $\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z)\geq 2x\sqrt{y+z}$ is right because of AM-GM

Use:

$\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2$

mọi người rảnh giúp mình 1 số bài này nữa ( do mấy box kia chả có mấy người )

1.Một người điều khiển ô tô đi nửa quãng đường AB với vận tốc 40km/h và đi nửa còn lại với vận tốc 60km/h.Tính vận tốc trung bình của người đó đi được trên toàn bộ quãng AB

2.Tính N=$\frac{2.30^{30}+2.30^{26}+2.30^{22}+....+2.30^{2}}{45.(30^{28}+30^{24}+30^{20}+....+30^4+1)}$

3.giải phương trình $x^3+ax^2+bx+1=0$$x^3+ax^2+bx+1=0$ a,b là các số hữu tỉ và 1+$\sqrt{2}$ là 1 nghiệm của phương trình

4.Rút gọn $\sqrt[3]{\frac{x^3-3x+(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{x^3-3x-(x^2-1)\sqrt{x^2-4}}{2}}$ với x$\geq 2$

5.Phân tích đa thức 4(1+x)(1+y)(1+x+y)-3$x^{2}y^{2}$

6.giải phương trình $\sqrt{2x^2+7x+10}+\sqrt{2x^2+x+4}=3x+1$

7.giải hệ phương trình $\dpi{80} \LARGE \frac{4x}{1+4x}=\sqrt{y}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4y}{1+4y}=\sqrt{z}$ và $\dpi{80} \LARGE \frac{4z}{1+4z}=\sqrt{x}$

8.tìm các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn đồng thời $\dpi{80} \LARGE \frac{x-y\sqrt{2011}}{y-z\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $\dpi{80} \LARGE x^2+y^2+z^2$ là số nguyên tố

9.tìm nghiệm nguyên phương trình 4$\dpi{80} \LARGE x^2-8y^3+2z^2+4x-4=0$

Her, sai đề kìa, fix lại đi 

cái đấy thì chịu ,cô giáo cho thế,vậy còn bài đầu tiên,comment thứ 3 ấy

Mình giải như sau

Ta có:

$\sqrt{2a-1}\leq \frac{2a-1+1}{2}=a\rightarrow \frac{\sqrt{2a-1}}{a}\leq 1$$\sqrt{2a-1}\leq \frac{2a-1+1}{2}=a\rightarrow \frac{\sqrt{2a-1}}{a}\leq 1$

$\sqrt[3]{3b-2}\leq \frac{3b-2+1+1}{3}=b\rightarrow \frac{\sqrt[3]{3b-2}}{b}\leq 1$

$\sqrt[4]{4c-3}\leq \frac{4c-3+1+1+1}{4}=c\rightarrow \frac{\sqrt[4]{4c-3}}{4}\leq 1$

1.cho 0<a,b,c<\frac{1}{3}  

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{3}{64}$

cmr P=$\frac{1}{1-3a}+\frac{1}{1-3b}+\frac{1}{1-3c}\geq 12$

$\frac{\sqrt{2a-1}}{a}+\frac{\sqrt[3]{3b-2}}{b}+\frac{\sqrt[4]{4c-3}}{c}\leq 3$

? Vầy là sao 

p/s: Bạn Ruffer fix tiêu đề đi, công thức không hình thành kìa   

rồi đó

Đã được đâu? Bạn thêm dấu $ ở cuối đi nhé

ý mình ko phải cái tiêu đề mà bài mới thêm kìa,mà ko thêm đc $ lưu lại thì nó ra như cũ

Mình giải như sau

Ta có:

$\sqrt{2a-1}\leq \frac{2a-1+1}{2}=a\rightarrow \frac{\sqrt{2a-1}}{a}\leq 1$$\sqrt{2a-1}\leq \frac{2a-1+1}{2}=a\rightarrow \frac{\sqrt{2a-1}}{a}\leq 1$

$\sqrt[3]{3b-2}\leq \frac{3b-2+1+1}{3}=b\rightarrow \frac{\sqrt[3]{3b-2}}{b}\leq 1$

$\sqrt[4]{4c-3}\leq \frac{4c-3+1+1+1}{4}=c\rightarrow \frac{\sqrt[4]{4c-3}}{4}\leq 1$

công cả 3 vế lại ta ra đpcm QED

và bài này nữa a,b>0 $a^{2}+b^{2}=\frac{2}{3}$

cmr$\frac{a}{1+3b^{2}}+\frac{a}{1+3a^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Her, sai đề kìa, fix lại đi 

là $\frac{a}{1+3b^2}+\frac{b}{1+3a^2}\geq \frac{1}{\sqrt{3}}$ điều kiện như cũ

NX :

* $A=\{1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25\}$ là các SCP trong $X$ nên có 2 số có tích là SCP.

* $B=\{2,\ 8,\ 18\}$ 2 số bất kì trong $B$ có tích là SCP.

* $C=\{(3,\ 12)\ ;\ (5,\ 20)\ ;\ (6,\ 24)\}$ là các cặp 2 số có tích là SCP.

 

Gọi $Y$ là tập con gồm 17 phần tử bất kì của X. Ta chỉ có 4 TH sau đây :

* Nếu $Y$ có chứa 2 phần tử bất kì trong $A$ hoặc trong $B$ thì sẽ có 2 phần tử có tích là SCP.

* Nếu $Y$ chứa tối đa 1 phần tử trong $B$ và không có phần tử nào trong $A$ thì chắc chắn sẽ có chứa cặp số trong $C$ nên có tích là SCP.

* Nếu $Y$ chứa tối đa 1 phần tử trong $A$ và không có phần tử nào trong $B$ thì chắc chắn sẽ có chứa cặp số trong $C$ nên có tích là SCP.

* Nếu $Y$ chứa duy nhất 1 phần tử trong $A$ và duy nhất 1 phần tử trong $B$ thì chắc chắn sẽ có chứa cặp số trong $C$ nên có tích là SCP.

Vậy trong mọi TH ta đều có (đpcm).

http://diendantoanho...au-theo-2-cách/,

 

 

 

5.

Đặt $A=\left \{ a_1,a_2,...,a_p,c_1,c_2,...,c_m \right \};B=\left \{ b_1,b_2,...,b_q,c_1,c_2,...,c_m \right \}$

 

Trong đó những phần tử $a_i\neq b_i$

 

Khi đó 

 

$|A\cup B|=m;|A|+|B|-|A\cap  B|=m+p+m+q-(m+p+q)=m$

 

Nên ta có đpcm

 

$|A\cup B|$ phải bằng p+q và $|A\cap  B|$ bằng m chứ nhỉ ? cái bài này thầy giáo mình có (Nguyên lý thêm bớt) gì đó 

 

1. Đặt

 

$A=\left \{ a_1,a_2,...,a_p \right \};B=\left \{ b_1,b_2,... ,b_q\right \}$

 

Trong đó $p+q>2010$

 

Xét tập $C=\left \{ c_1,c_2,...,c_q \right \}$ mà $c_i=2010-b_i$ .Dễ thấy $C$ là tập conc của $X$

 

Khi đó ta có $p+q$ số tự nhiên nhỏ hơn $2010$ sau: $a_1,a_2,...,a_p,c_1,c_2,...,c_q$

 

Vì chỉ có $2010$ số tự nhiên nhỏ hơn $2010$ mà $p+q>2010$ nên tồn tại một phần tử của $C$ bằng $A$. Khi đó hiển nhiên có đpcm

 

5.

Đặt $A=\left \{ a_1,a_2,...,a_p,c_1,c_2,...,c_m \right \};B=\left \{ b_1,b_2,...,b_q,c_1,c_2,...,c_m \right \}$

 

Trong đó những phần tử $a_i\neq b_i$

 

Khi đó 

 

$|A\cup B|=m;|A|+|B|-|A\cap  B|=m+p+m+q-(m+p+q)=m$

 

Nên ta có đpcm

 

Bạn đã từng giải rồi à ? hay là áp dụng phần lý thuyết nào để giải ?

3) Chém câu $3$

Do $\sqrt{2}+\sqrt{3}\epsilon S=>\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\epsilon S(1)$

Mặt khác $\sqrt{2}+\sqrt{3}\epsilon S;-1\epsilon S=>-(\sqrt{2}+\sqrt{3})\epsilon S=>-(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\epsilon S=>-5-2\sqrt{6}\epsilon S=>10-5-2\sqrt{6}\epsilon S(10\epsilon S)=>5-2\sqrt{6}\epsilon S=>(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2\epsilon S(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có $\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\epsilon S=>\sqrt{3}-\sqrt{2}\epsilon S=>\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\epsilon S$

$Q.E.D$

A-T

Không liên quan nhưng cho mình hỏi bạn lấy bài những này ở đâu thế ???????

Bài tập về nhà bạn ạ

1.Cho X={1;2;3...;2009} và 2 tập con A,B có tổng số phần tử >2010.CMR tồn tại ít nhất 1 phần tử của A và 1 phần tử của B sao cho chúng có tổng =2010

2.cho S là tập con của R(tập hợp số thưc) thỏa mãn

+Z(tập hợp số nguyên) là tập con của S

+$(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \epsilon$ S

+với mọi x;y thuộc S có x+y thuộc S và x.y thuôc S

CMR $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ thuộc S

3.cho X={1;2;3;...;25} CMR với mọi tập con gồm 17 phần tử của X đều chứa 2 phần tử có tích là số chính phương

4.tồn tại hay ko 1 tập gồm 1000 số nguyên dương sao cho khi bỏ 1 phần tử bất kì thì 999 phần tử còn lại chia thành 2 tập con có tổng các phần tử bằng nhau

5.Khí hiệu |X| là số phần tử tập hợp X CMR.|A$\cup$B|=|A|+|B| - |A$\cap$B|

cho a,b,c >1 cmr $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\geq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}$

ngược dấu rồi bạn

cái đấy hoàn toàn đúng mà áp dụng $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

à mình nhầm

1.tìm tất cả các số nguyên dương n để A=$2^{9}+2^{13}+2^{n}$ là số chính phương

2.cho P(x) là đa thức bậc 3 với hệ số của $x^{3}$ là 1 số nguyên.Biết P(2012)=2013,P(2013)=2014 chứng minh rằng P(2014)-P(2011) là hợp số

Bài 2 tham khảo ở đây bạn nhé

http://diendantoanho...1998-là-hợp-số/

Sao lại nghĩ đến việc tìm g(x)=f(x)+ax+b và vì sao lại là +ax+b

$ax+b$ đề dẫn tới $f(x)$ có nghiệm thôi

vậy cho mình hỏi cách làm trên là sao,nhìn nó lạ quá ,làm thế nào nghĩ ra cách đấy hay là có công thức gì?

1.Tìm Min A=$\frac{x^{3}+2012}{x}$ (x>0)