Họ và tên: Nguyễn Trung Nhân
Đang học lớp: 11Toán, Trường chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
Đề bài:
Trong mặt phẳng cho năm điểm phân biệt không có ba điểm nào thẳng hàng. Lấy ba điểm bất kỳ lập thành một tam giác. Chứng minh rằng tấc cả các đường thẳng $d$ đi qua trọng tâm tam giác và trung điểm của đoạn được tạo bởi hai điểm còn lại đồng quy.
Bài giải:
Gọi năm điểm đã cho lần lượt là $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$. Gọi G là trọng tâm tam giác $A_1A_2A_3$, $M$ là trung điểm đoạn thẳng $A_4A_5$. Giả sử $G \not\equiv M$
Khi đó ta có:
$\overrightarrow{GA_1}+\overrightarrow{GA_2}+\overrightarrow{GA_3}=\overrightarrow{0}$ (1)
$\overrightarrow{MA_4}+\overrightarrow{MA_5}=\overrightarrow{0}$ (2)
Gọi $N$ là điểm thuộc đường thẳng $GM$, $N$ khác $M$ và $G$, khi đó tồn tại một số $k$ sao cho: $\overrightarrow{NG}=k\overrightarrow{NM}$.
Theo (1) và (2) ta suy ra:
$\overrightarrow{NA_1}+\overrightarrow{NA_2}+\overrightarrow{NA_3}+\overrightarrow{NA_4}+\overrightarrow{NA_5}=3\overrightarrow{NG}+2\overrightarrow{NM}$.
Vì các đỉnh $A_i$, $i=\overline{1,5}$ cố định. $G$, $M$ lại thay đổi tùy theo cách chọn ba đỉnh làm tam giác. Nên để $N$ không phụ thuộc vào cách chọn $G$ và $M$ thì $3\overrightarrow{NG}+2\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}$
Từ: $\overrightarrow{NA_1}+\overrightarrow{NA_2}+\overrightarrow{NA_3}+\overrightarrow{NA_4}+\overrightarrow{NA_5}=\overrightarrow{0}$, ta suy ra các đường thẳng $d$ đều đi qua $N$ là trọng tâm của hệ năm điểm đã cho.
Trường hợp $G \equiv M$, thì ta chọn cách khác để có $G \not\equiv M$. Từ đó ta được kết luận như trên.
Vậy các đường thẳng $d$ đều đi qua $N$ là trọng tâm của hệ năm điểm đã cho.