Chứng minh rằng với mọi 0<=x<=1, ta đều có:

$\x(9\sqrt{1+x^{2}}+13\sqrt{1-x^{2}})\leq 16$ (olympic 30/4, 1996)

$\left\{\begin{matrix}(a^2-ab+b^2-3)=0\\a^2+a+\sqrt{2b^2-2b^4}=0 \end{matrix}\right.$

Bạn nhắn tin qua mình hay các ĐHV khác để mở nhé!

Ok cám ơn bạn nhiều

Bài này không biết có vấn đề ở đâu không nữa

Hệ tương đương với

    $\left\{\begin{matrix} (2x)^3-6x+(2y+1)\sqrt{2y+1}-3\sqrt{2y+1}=0\\(2x)^2+2x+\sqrt{-2(2y+1)(2y+1)+2(2y+1)} =0 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x=a\\\sqrt{2y+1}=b \geqslant 0 \end{matrix}\right.$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} a^3-3a+b^3-3b=0\\a^2+a+\sqrt{2b^2-2b^4}=0 \end{matrix}\right.$

     $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a^2-ab+b^2-3)=0\\a^2+a+\sqrt{2b^2-2b^4}=0 \end{matrix}\right.$

Th1: $a+b=0$...

Th2: $a^2-ab+b^2-3=$, hệ này hơi khó, không có cách nào đánh giá được

Th2: $a^2-ab+b^2-3=$

cái chỗ này sao bạn giải chi tiết dùm mình được không, $\sqrt{2b^2-2b^4}=0\$ sao chỗ này bạn không xét điều kiện của b 

Đặt $t=xy+yz+2xz$, dễ dàng thấy được $P=t^2-\frac{8}{t+3}$

Ta luôn có $(x+z)^2+y^2+(x+y+z)^2\geqslant 0\Rightarrow 2(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+2xz)\geqslant 0$

          $\Rightarrow 2+2t\geqslant 0\Rightarrow t\geqslant -1$

Xét $P=f(t)=t^2-\frac{8}{t+3},t \geqslant -1$

$\Rightarrow f'(t)=2t+\frac{8}{(t+3)^2}=0\Leftrightarrow t=-4,t=-1$

Lập bảng biến thiên của $f(t)$ ta có được $f(t)\geqslant f(-1)=-3$

Vậy $P \geqslant -3$

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} y=0\\x+z=0 \\x^2+y^2+z^2=1 \end{matrix}\right.$

Bài này không dùng kiến thức dạo hàm, chỉ sử dụng phép biến đổi và kiến thức lớp 10 thì giải được không bạn, nếu có cho mình bài làm cụ thể 

Nếu báo tháng 9 thì cuối tháng 11 mới hết hạn.

Nếu đã qua hạn nộp thì khi minh muốn đăng lại bài này, thi mình phải đăng bài khác hay ad mở khoá cho mình

Bài này không biết có vấn đề ở đâu không nữa

Hệ tương đương với

    $\left\{\begin{matrix} (2x)^3-6x+(2y+1)\sqrt{2y+1}-3\sqrt{2y+1}=0\\(2x)^2+2x+\sqrt{-2(2y+1)(2y+1)+2(2y+1)} =0 \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x=a\\\sqrt{2y+1}=b \geqslant 0 \end{matrix}\right.$

Hệ trở thành $\left\{\begin{matrix} a^3-3a+b^3-3b=0\\a^2+a+\sqrt{2b^2-2b^4}=0 \end{matrix}\right.$

     $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (a+b)(a^2-ab+b^2-3)=0\\a^2+a+\sqrt{2b^2-2b^4}=0 \end{matrix}\right.$

Th1: $a+b=0$...

Th2: $a^2-ab+b^2-3=$, hệ này hơi khó, không có cách nào đánh giá được

uk dánh giá thì cũng êm, nhưng cách này cũng được rồi bài này chác không có vấn đề, thanks bạn vì đã giải đáp dùm mình, mình còn một bài đăng trong bất đẳng thức và  cực trị bạn xem thử có thể giải đáp dùm minh được không, chứ đăng mấy bữa nay không thấy ai trả lời

Nhưng hết hạn rồi bạn.

Cho mình hỏi nếu qua 2 tháng kể từ lúc phát hành báo là minh được hỏi phải không , sao có một bài  phương trình hàm của tháng 9 mình đăng thì lại bị khoá

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

$P=(xy+yz+2xz)^{2}-\frac{8}{(x+y+z)^{2}-xy-yz+2}$;

trong đó x,y,z là các số thực thoả mãn điiều kiện $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Tìm tất cả các hàm số f: R $\rightarrow$ R; g: R $\rightarrow$ R  thoã mãn đồng thời hai điều kiện sau

1) f(x)-2g(x)=g(y)+4y, với mọi x,y $\epsilon$ R;

2)f(x)g(x) $\leq 33x^{2}$, với mọi x $\epsilon$ R

Bạn chú ý lại cách đặt tiêu đề nhé.

$(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^{2}-1}=\frac{729}{32}(x-1)^{5}$

$\Leftrightarrow x-\frac{5}{3}+\frac{x^2-\frac{25}{9}}{\sqrt{x^{2}-1}+\frac{4}{3}}=\frac{729}{32}(x-1)^{5}-3=\frac{3}{32}(3^{5}(x-1)^{5}-2^{5})$

Đặt $3x-3=a$

Phương trình thành $\begin{bmatrix} x-\frac{5}{3}=0 & \\ 1+\frac{x+\frac{5}{3}}{\sqrt{x^{2}-1}+\frac{4}{3}}=\frac{9}{32}(a^{4}+2a^{3}+4a^{2}+8a+16) (2)& \end{bmatrix}$

Nếu $x\neq \frac{5}{3}$

Ta chứng minh được $VT(2)\leq 3$, $VP(2)\geq \frac{9}{2}$ nên (2) vô nghiệm.

cảm ơn bạn đã giải đáp, mình là lính mới nên không rành, tiêu đề mình có gì sai sót hả

$\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}(x-1)^{2}\sqrt{x-1}$

Nhờ mọi người cho hướng làm

 Mọi người chỉ mình hướng giải với