Với a,b,c là 3 cạnh tam giác,giải hệ sau với ẩn x,y,z:

$\left\{\begin{matrix}y^{3}+z^{3}=2a(xy+yz+xz) \\ z^{3}+x^{3}=2b(xy+yz+xz) \\ x^{3}+y^{3}=2c(xy+yz+xz) \end{matrix}\right.$

với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. Giải hệ sau với ẩn x,y,z:
$\left\{\begin{matrix}x^{3}+y^{3}=2c(xy+yz+xz) \\ y^{3}+z^{3}=2a(xy+yz+xz) \\ z^{3}+x^{3}=2b(xy+yz+xz) \end{matrix}\right.$

bài 1:tìm nghiệm dương của hệ:

$$\left\{\begin{matrix}x_1+x_2- \dfrac{2013}{x_1.x_2} &=x_3\\x_2+x_3- \dfrac{2013}{x_2.x_3} &=x_4\\........\\x_{2012}+x_{2013}- \dfrac{2013}{x_{2012}.x_{2013}} &=x_1\\x_{2013}+x_1- \dfrac{2013}{x_{2013}.x_1} &=x_2\end{matrix}\right.$$

bài 2:giải hệ:

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=10\\x^7+y^7+z^7=350\end{matrix}\right.$$

bài 3:giải hệ với $x,y,z,t>0:$

$$\left\{\begin{matrix}x+y+z+t=12\\xy+xz+xt+yz+yt+zt=xyz-27\end{matrix}\right.$$

Cho (O) và đường thẳng d đi qua O.vẽ đường thẳng m là 1 tiếp tuyến của (O) sao cho m//d.tìm điểm A trong phần mặt phẳng giới hạn bởi 2 đường m và d(A nằm ngoài (O)) sao cho khi kẻ 2 tiếp tuyến từ A đến(O),2 tiếp tuyến này cắt d ở B và C thì  S_ABC min.

ux³+py³=14

ux²+py²=5

ux+py=2

u+p=1

giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} ux³+py³=14\\ ux²+py²=5\\ux+py=2 \\u+p=1 \end{matrix}\right.$

Ta viết lại BĐT của "ảnh" cho dễ thay nhé!

$(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y) \leq xyz$. Ta thay: $x=a, y=\frac{1}{b}, z=1$ thì

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\leq \frac{a}{b}$

Chia cả 2 vế cho $\frac{a}{b}$ ta được:

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )b\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )\frac{1}{a}\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (1+ \frac{1}{b}-a \right )\frac{1}{a}\left ( 1+a-\frac{1}{b} \right )b\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{ab}-1 \right )\left ( b+ab-1 \right )\leq 1$

$\left ( a-1+\frac{1}{b} \right )\left (b-1+\frac{1}{c} \right )\left ( c-1+\frac{1}{a} \right )\leq 1$ (Do $abc=1$)

Suy ra đpcm nhé

À,bài này ấy ạ,mi=3,max=1 ạ?em thấy sao sao?

à nhầm,em cần ý a anh ơi.

_________

Chiếm đất tý: Ý a,b như nhau mà. Xây dựng BĐT ý B áy

Có ĐK là cạnh của tam giác thì các biểu thức trong căn mới tồn tại được.

Ý b mình làm ra VT $\geq \sum \sqrt{a}$(1). Bạn áp dụng ĐK chứng minh tiếp.

$\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\sqrt{b+c-a}\geq 2\sqrt{a}$

cmtt...

=>VT$\geq \sum 2\sqrt{a}-\sum \sqrt{b+c-a}$

Áp dụng bđt: $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2x+2y}$

=>$\sum \sqrt{b+c-a}\leq \sum \sqrt{a}$

=>(1)

Em cảm ơn ạ.Nhg em cần ý b.

nhg có điều kiện xyz=1 mà anh?

Ví dụ như $x=1,y=2,z=\sqrt{2}$

Theo mình nghĩ đề bài đúng phải là .Tìm Min của :$A=\sum \frac{x^9}{x^6+x^3y^3+y^6}$

Đặt $x^3=a,y^=b,z^3=c= > abc=(xyz)^3=1$

Ta có :$A=\sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\sum (\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}-a)=\sum (\frac{-ab(a+b)}{a^2+b^2+ab})\geq \sum (\frac{-ab(a+b)}{3ab})=\sum (\frac{-(a+b)}{3})= > \sum \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\geq \sum (a-\frac{a+b}{3})=\frac{\sum a}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{3.1}{3}=1$

$= > A$ Min=1 khi a=b=c=1 hay x=y=z=1

Dạ.Em cảm ơn anh.Vậy tức là đề của em có nhầm lẫn phải ko ạ?Anh chỉ giúp em 1 giá trị nhầm đc ko?

À ko,ý em muốn hỏi áp dụng vào bài ntn ấy?

uhm

Anh có cách ko?em cũng đang nghĩ.

Ta có :$A=(ab+1)^2+(bc+1)^2+(ac+1)^2\geq 1^2+1^2+1^2=3$(Do $a,b,c\geq 0= > ab\geq 0,bc\geq 0,ac\geq 0$)

$= > A$ Min = 3 $< = > ab=bc=ac=0<= > a=b=0,c=1$

Max ấy ạ?Có phải khi a=b=c đúng ko ạ?Nhg cách làm ntn ạ?

Thế thì dùng bdt tam giác là $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc$

Cái bđt này mà áp dụng,để đc như cái mình cần,thì nhân hết ra ạ?

Thay $abc=1$ vào biểu thức cần CM .Ta có :

 $A=(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a})=(a-1+ac)(b-1+ab)(c-1+bc)=ab+bc+ac-a^2b-b^2c-c^2a+a+b+c-2$

Ta sẽ CM : $A\leq 1< = > a^2b+b^2c+c^2a+3\geq ab+bc+ac+a+b+c$(1)

Do $abc=1$ nên tồn tại các số thỏa mãn :$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$(2)

Thay (2) vào (1) .BĐT cần CM $< = > \frac{x^2}{y^2}.\frac{y}{z}+\frac{y^2}{z^2}.\frac{z}{x}+\frac{z^2}{x^2}.\frac{x}{y}+3\geq \frac{x}{y}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}.\frac{z}{x}+\frac{z}{x}.\frac{x}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}< = > x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+xz(x+z)$(đúng vì đây là bất đẳng thức Schur bậc 3) 

$= > A$ Max= 1 khi a=b=c=1

Anh ơi,có cách lớp 9 chỉ dùng bđt đơn giản ko ạ?Schur cm ko khó nhg vẫn phải cm lại. :/

Cho xyz=1.Tìm min:
A=$\frac{x⁹y⁹}{ x⁶+x³y³+y⁶}$    +      $\frac{y⁹z⁹}{y⁶+y³z³+z⁶}$        +             $\frac{x⁹z⁹}{x⁶+x³z³+z⁶}$

Cho a,b,c>0 thỏa mãn a² + b² +c² =3
C/m:
a,$\frac{a+b}{\sqrt{a+b-c}}$  +   $\frac{b+c}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{c+a}{\sqrt{c+a-b}}$ $\geq$ 6
b, $\frac{a}{\sqrt{b+c-a}}$  +     $\frac{b}{\sqrt{a+c-b}}$   +      $\frac{c}{\sqrt{a+b-c}}$  $\geq$ 3

Bài này còn cho thêm điều kiện là a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác,nhg em nghĩ ko cần,mọi người nhỉ?

Cho a,b,c $\geq$ 0 thỏa mãn a+b+c=1
tìm min,max: A=(ab+1)² + (bc+1)² +(ac+1)²


Cho a,b,c thỏa mãn abc=1.
(a-1+$\frac{1}{b}$)(b-1+$\frac{1}{c}$)(c-1+$\frac{1}{a}$)
Mọi người thử dùng điều kiện 3 số dương trước,rồi về sau thử xem nếu ko dương có đc ko,nhg em cần nhất vẫn là cái chỗ 3 số dương.

Gọi O là giao của EF và DK. cm OK=OD=OE=OF
xét $\Delta$ EBF vuông tại B suy ra EO=OF=OB suy ra OE=OK=OD suy ra $\Delta$ DBK vuông tại B.hay $\angle$ DBK=90 độ

Tam giác ABC nội tiếp (O) h là trực tâm,I là trung điểm BC ,HI giao (O)={D} ,E,F là chân đường vuông góc từ đỉnh B,C

a.Tứ giác BHCD là hình gì

b.cm OI=1/2AH

c.AO vuông góc EF

d.cho K là trung điểm EF cmr R(bán kính).AK=AI.OI

e.cmR(EF+a+b)=2S(ABC) xđ vị trí điểm A để (EF+a+b) max (a,b mình chép thiếu nên chưa biết là gì,ai cao siêu nghĩ hộ nhé )

Giải:

a,gọi D' là giao của AO với (O).dễ cm CD và BH cùng cuông góc AC nên CD//BH.tương tự BD//CH nên BHCD là hình bình hành suy ra I là trung điểm HD'.mặt khác HI cắt (O) tại D(gt) mà ta cm nó cắt (O) tại D' nên D trùng D'.suy ra BHCD là hình bình hành.

b,sử dụng đường trung bình: OI là đường trung bình của tam giác AHD nên OI=1/2AH
c,cm 2 tam giác AEF và ABC đồng dạng suy ra góc AEF=ABC.kẻ tiếp tuyến Ax của (O)(Ax thuộc nửa mặt phẳng bờ AC ko chứa B ấy).có góc CAx=ABC nên suy ra CAx=AEF mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên EF//Ax,lại có Ax vuông góc OA nên AO vuông góc EF

d,cm 2 tam giác AEF và ABC đồng dạng mà AK và AI là 2 đường trung tuyến tương ứng nên AI/AK=AB/AE=AC/AF(cm 2 tam giác ABE và ACF đồng dạng suy ra AB/AE=AC/AF). (1)
R/OI=OD/OI=AD/AH. (2)  
cm góc ADC=AHF(=ABC).suy ra 2 tam giác AHF và ADC đồng dạng nên AD/AH=AC/AF (3)

từ (1),(2),(3) suy ra AI/AK=R/OI suy ra AK.R=AI.OI
e, thực sự mình chịu

Cho (O;R), 2 đường kính AB,CD vuông góc.E trên OC và F trên OD sao cho EF=R,AF cắt (O) tại G.CMR tam giác AGE nhọn.

cho tam giác nhọn ABC và M chuyển động trên đường thằng BC.trung trực của MB,MC cắt AB,AC ở P,Q.cmr đường thẳng qua M vuông góc PQ đi qua 1 điểm cố định