75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

 

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Không bảo sai,chỉ là không xảy ra dâu = thôi vì có $x \leq 1;y \geq 2$ nên không thể có x = y = 0.

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ x+y=3+b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y=a+b+2$

($a\geq 0$;$a+b\geq 0$)

$\Rightarrow B=3x^2+y^2+3xy=3(1-a)^2+(a+b+2)^2+3(1-a)(a+b+2)=\frac{(2a-b-5)^2}{4}+\frac{3}{4}(b+3)^2\geq 0$

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

Chỗ ($a\geq 0$;$a+b\geq 0$) chưa chắc đúng vì nếu giả sử b < 0. a > b và $a\geq 0$thì a + b > 0, chỗ này cần chỉ ra cụ thể hơn là $b \geq 0$

Biến đổi để chỉ ra $B \geq 0$ tắt quá, dấu = thì k xảy ra, vì vậy chưa tìm đc Min B.

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

Cách khác: tham khảo cụ thể ở pic này

Dấu = tại $a=0; b=c$

 

Cả hai đều sai, xét hết các BĐT con ra thì dấu bằng khi a = b + c, b = c + a và c = a +b, tức a +b + c = 2(a + b + c), điều này k xảy ra vì a, b, c >0.

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ với x; y ; z > 0, từ abc = 1 ta cũng có xyz = 1.

Biến đổi $\frac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}.(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}$ (do xyz = 1)

$\Rightarrow  \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum(y+z)}(Schwarz) \\ =\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}(Cauchy)=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu = khi a = b = c = 1.

t chưa biết rõ cách chọn điểm rơi của bđt này,bn nói rõ hộ t với

Chọn điểm rơi ở đây tức là chọn giá trị của biến để biểu thức đạt Max - Min cần tìm hay thỏa mãn BĐT đã cho.

Đối với những bài có biểu thức đối xứng giữa các biến (như bài của bạn chẳng hạn) thì điểm rơi thường là các biến bằng nhau.

 

mã là gì thế, giải thích hộ tớ vs

 

 

Tại sao anh nhóm vào giỏi thế, có mẹo nào k, chỉ giúp e vs, e k đủ thông minh để tự nhóm đc như thế

 

Sao lại chọn $\frac{3}{2}$ ạ, a lấy ở đâu $\frac{3}{2}$  thế ạ?????

 

Rất mong đc nghe mọi người giải thích hộ ạ

 

 

Mã là max (lỗi gõ tiếng việt thôi )

Bạn chỉ cần nhân phá ra là đc, k cần mẹo gì ở đây cả.

Chỗ này là kĩ thuật giải BPT loại đơn giản (BPT bậc III).

Ta có $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=(6-2a)(6-2b)(6-2b)$

$=216-72(a+b+c)+24(ab+bc+ac)-8abc=24(ab+bc+ac)-216-8abc$

$\Rightarrow 9abc\geq 24(ab+bc+ac)-216\Leftrightarrow 2abc\geq \frac{16}{3}(ab+bc+ac)-48$

$\Rightarrow A\geq 3(a^2+b^2+c^2)+\frac{16}{3}(ab+bc+ac)-48$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}+\frac{8}{3}(a+b+c)^2-48$

$\geq 4+96-48=52$

Cách 2 bài 66/ 

Có thể dùng Cauchy: 

80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

80/

C/m BĐT $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$ (*):

Từ BĐT $\sum a^2 \geq \sum ab$ (đã c/m) ta có $\sum a^2 + 2\sum ab \geq \sum ab + 2\sum ab$, tức là $(a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca)$

(*) đc c/m.

Ta có $\frac{a}{pb+qc}=\frac{a^2}{(pb+qc)a}=\frac{a^2}{pab+qca}$

$\Rightarrow  \sum \frac{a}{pb+qc}=\sum \frac{a^2}{pab+qca} \geq \frac{(a+b+c)^2}{pab+qca+pbc+qab+pca+qab}$ (BĐT Schwarz)

Hay $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)(p+q)}$ (nhóm các số ở mẫu vào theo từng cặp thích hợp)

Áp dụng BĐT (*) ta có $\sum \frac{a}{pb+qc} \geq \frac{3(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca)(p+q)}=\frac{3}{p+q}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu = khi a = b = c > 0.

 

6)

 

$\sqrt{\frac{a^2+bc}{a(b+c)}.1}\leq \frac{a^2+ab+bc+ca}{2ab+2ac}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq \frac{2ab+2ac}{(a+b)(a+c)}$

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a(b+c}{a^2+bc}}\geq 2$

 

Bài này hình như dấu = cũng không xảy ra, vì lúc đó a = b = c >0, thay lại vào thì VT = 3  . Nói chung xem lại VP xem có phải là 2 không tại chỗ màu đỏ trên ấy, mình nghĩ thế nào cũng không suy ra thế được.

66) Cho $a;b;c$ là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng $6$. Tìm Min $A=3(a^2+b^2+c^2)+2abc$

Sao không phải là max????

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

Ta có $a+b+c+d \geq 2\sqrt{a(b+c+d)} \Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq \frac{2a}{a+b+c+d}$ (Cauchy cho 2 số dương)

$\Rightarrow \sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$ (cộng các phân số cùng mẫu lại)

Dấu = khi $\sum a = \sum(b+c+d)$, tức $a+b+c+d=3(a+b+c+d)$ (điều này k xảy ra khi a, b, c, d > 0)

Vậy $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}}>2$

12) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=3abc$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3}\geq 3$

 

Ta có $a+b+c=3abc \Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=3$

Có $\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+1 \geq \frac{3}{ab} \Rightarrow 2.\sum \frac{1}{a^3}+3 \geq 3.\sum \frac{1}{ab}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a^3} \geq 3$

Dấu = khi ... khi a = b = c = 1.

P/s: Ai post bài lần sau xét dấu = giúp vậy, vì nhiều T.h k xảy ra dấu =. 

9) Cho $a;b;c;d>0$. Cmr: $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c+d}} \geq 2$

14) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{c}{a+b+c}}\geq 2$

Áp dụng bài số 9 trên ta có: $\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}+\sqrt{\frac{b}{c+d+a}}+\sqrt{\frac{c}{d+a+b}}+\sqrt{\frac{d}{a+b+c}} \geq 2$

Cho d = c, thay vào các mẫu thì ta được $\sqrt{\frac{a}{b+2c}}+\sqrt{\frac{b}{a+2c}}+2\sqrt{\frac{a}{a+b+c}} \geq 2$

Tương tự 9 thì ở đây dấu = cũng k xảy ra.

cho em hỏi 1 bài 

Căn bậc 2 của 24 - căn bậc 2 của 23 + căn bậc 2 của 22 -......- căn bậc 2 của 3 +  căn bậc 2 của 2 -  căn bậc 2 của 1 

chứng minh nó <5/2

Ta có $\sqrt{24}-\sqrt{23}+\sqrt{22}-\sqrt{21}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}+\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} \\ \leq \dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{\sqrt{24}}+\dfrac{1}{\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}}+\dfrac{1}{\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1}} \Big) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{24}) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{25})=\dfrac{5}{2}$

Mân mê mãi mới up được cái hình lên VMF:

Ờ nếu đi 1 mình thì chán thật.
Thôi ở quê đi em =))

thôi em đi SP anh ạ :3

Chào mừng k48 :3

công nhận số 48 đẹp anh ạ =)))

Mọi người có đáp án chính thức KHTN năm nay chưa?

có điểm chính thức thôi bạn =)))))

Năm nay toán 1 khtn khoảng bao nhiêu điểm vậy mọi người . 

Thật ra đây là một câu hỏi khó :3

Trên 40 chắc chắn vào toán 1 :v

Cận chuyên cao hơn lớp chuyên hả mn

Ở Bắc Ninh thì tội gì không lên đây học :3

Cơ mà tùy e thôi

Căn bản là lớp em chả đứa nào đi, dù đỗ cả hk bổng đi một mình, chán ạ =)))

Vậy là SP với KHTN đều đã có điểm :3

Các em chọn trường gì nào ?

em chả biết nữa anh ạ, chắc về tỉnh là an toàn nhất :v

chỉ cần đáp án hay giải tắt ra luôn hả bạn?