Chủ đề này có 742 trả lời

[Hoang Tung 126]

Đăng bài đi Việt Hoàng

[angleofdarkness]

Đăng bài đi Việt Hoàng

 

Anh xử nốt bài 70 kia đi để em đăng bài lên vậy, làm cho xong rồi đăng bài mới luôn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 22-02-2014 - 18:07

[Viet Hoang 99]

70) Cho $x;y>0$ thỏa: $(x+y-1)^2=xy$. Tìm Min $P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

 

 

Đề tuyển sinh lớp 10 THPT Thái Bình đây
 

70) 

$\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}\leq 1\Rightarrow \frac{2xy}{(x+y)^2}\leq \frac{\sqrt{xy}}{x+y}$

$(x+y-1)^2=xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}$

$\Rightarrow x+y-1\leq \frac{x+y}{2}\Leftrightarrow x+y\leq 2$

Xét: $P=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\geq \frac{4}{(x+y)^2}+2\sqrt{\frac{\sqrt{xy}}{2xy(x+y)}}\geq 1+2\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{xy}(x+y)}}\geq 1+2\sqrt{\frac{1}{(x+y)^2}}=1+\frac{2}{x+y}\geq 1+1=$
Dấu = có khi: $x=y=1$

[Viet Hoang 99]

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$
 

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

75) Cho $x+y\geq 3$; $x\leq 1$. Tìm Min $B=3x^2+y^2+3xy$

 

76) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 15:59

[angleofdarkness]

Làm ngược từ dưới lên

 

 

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

 

 

Ta có $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{ab} \geq \frac{2}{b^2}$ (Cauchy 2 số) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}+\sum \frac{1}{ab} \geq 2\sum \frac{1}{a^2}$ (1)

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{2}{ab}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$ (2)

 

Mà có a + b + c = abc $\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=1$ 

 

Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3} \geq 1$ (bước này hơi tắt)

 

Dấu = khi a = b = c = $\sqrt{3}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 22-02-2014 - 20:57

[angleofdarkness]

76) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^3+b^3\leq a^4+b^4$

 

 

Xét tổng $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b) \\ =a^4-a^3-a+1+b^4-b^3-b+1 \\ =(a-1)(a^3-1)+(b-1)(b^3-1) \\ =(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)$

 

Dễ thấy $a^2+a+1>0;b^2+b+1>0$ nên có $(a^4+b^4-a^3-b^3)+(2-a-b)\geq 0$

 

Mà có $a+b \geq 2$ nên $2-a-b \leq 0$ $\Rightarrow a^4+b^4-a^3-b^3 \geq 0 \Rightarrow a^4+b^4 \geq a^3-b^3$ (đpcm) 

 

Dấu = khi a = b = 1.

 

P/S: toàn quên cái dấu = nên phải sửa bài viết suốt   

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 22-02-2014 - 21:11

[angleofdarkness]

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

 

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y \\ =(y^3-6y^2+9y)-(x^3+x^2) \\ =y(y-3)^2-x^2(x+1) \\ =(3-x)x^2-x^2(x+1) \\ =2x^2(1-x) \geq 0$ 

 

Dấu = khi x = 1; y = 2 hoặc x = 0; y = 3.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 23-02-2014 - 16:10

[hoctrocuanewton]

 

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

 ta có

$\sum (x^{2}+1)\geqslant 2(x+y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2$

áp dụng bđt cô si ta có :

$x^{5}+3x\geqslant 4\sqrt[4]{x^{8}}=4x^{2}$

cmtt ta có  

$x^{5}+y^{5}+3(x+y)\geqslant 4(x^{2}+y^{2})\geqslant 8$

$\Rightarrow x^{5}+y^{5}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

[angleofdarkness]

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$

 

 

Cách 2: Cauchy 5 số

 

$x^5+4=x^5+1+1+1+1 \geq 5x \Rightarrow x^5+y^5 \geq 5x + 5y - 2.4 = 5.2 - 8 = 2$

 

Dấu = khi x = y = 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 22-02-2014 - 21:29

[angleofdarkness]

 

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

 

Ta có $(3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha)^2 \leq [3^2+(\sqrt{3})^2].(\sin \alpha^2+\cos \alpha^2)=12$

 

$\Rightarrow -12 \leq 3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha \leq 12$

 

$\Rightarrow Max P = 12$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 22-02-2014 - 22:19

[canhhoang30011999]

 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$

 

đặt $x=4-a(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

[canhhoang30011999]

 

 

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

 

$a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$

ta cần cm $\frac{(a+b)^{2}}{2}\geq a+b$(1)

đặt t=a+b ta có $t^{2}\geq 4ab\geq 4$

$\Rightarrow$$t\geq 2$hoặc $t\leq - 2$

ta có $(1)\Leftrightarrow t(t-2)\geq 0$(luôn đúng)

[angleofdarkness]

77) Cho $ab\geq 1$. Cmr: $a^2+b^2\geq a+b$

 

 

đặt $x=4-a(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

 

Cách khác: tham khảo cụ thể ở pic này

[Viet Hoang 99]

 

71) Tìm Max $P=3sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha$

 

72) Cho $x+y=2$. Cmr: $x^5+y^5\geq 2$
 

73) Cho $x\leq 4$. Tìm Min $A=x^2(2-x)$
 

 

 

 

Ta có $(3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha)^2 \leq [3^2+(\sqrt{3})^2].(\sin \alpha^2+\cos \alpha^2)=12$

 

$\Rightarrow -12 \leq 3\sin \alpha+\sqrt{3}\cos \alpha \leq 12$

 

$\Rightarrow Max P = 12$ 

khi $\alpha =60^o$

 

 

 ta có

$\sum (x^{2}+1)\geqslant 2(x+y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}\geqslant 2$

áp dụng bđt cô si ta có :

$x^{5}+3x\geqslant 4\sqrt[4]{x^{8}}=4x^{2}$

cmtt ta có  

$x^{5}+y^{5}+3(x+y)\geqslant 4(x^{2}+y^{2})\geqslant 8$

$\Rightarrow x^{5}+y^{5}\geqslant 2$

vậy ta được đpcm

 

 

Cách 2: Cauchy 5 số

 

$x^5+4=x^5+1+1+1+1 \geq 5x \Rightarrow x^5+y^5 \geq 5x + 5y - 2.4 = 5.2 - 8 = 2$

 

Dấu = khi x = y = 1.

72)
Cách 3: 
Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1+a & & \\ y=1-a & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=2$ 
($a\geq 0$)

$\Rightarrow x^5+y^5=(1+a)^5+(1-a)^5=10a^4+20a^2+2\geq 2$

Dấu = có khi: $a=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=1 & & \end{matrix}\right.$

 

 

73) đặt $x=4-a$ $(a> 0)$

$A= (4-a)^{2}(2-4+a)$

$A= a^{3}-10^{2}+32a-32$

$A= a(a^{2}-10a+32)-32\geq -32$

$a\geq 0$ nha bạn.

Dấu = xảy ra khi: $a=0\Leftrightarrow x=4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 16:10

[Viet Hoang 99]

 

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

 

78) Cho $a;b;c>0$ thỏa: $a+b+c=abc$. Cmr: $\sum \frac{a}{b^3}\geq 1$

 

 

 

Làm ngược từ dưới lên 

 

 

 

 

Ta có $\frac{a}{b^3}+\frac{1}{ab} \geq \frac{2}{b^2}$ (Cauchy 2 số) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3}+\sum \frac{1}{ab} \geq 2\sum \frac{1}{a^2}$ (1)

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} \geq \frac{2}{ab}\Rightarrow \sum \frac{1}{a^2} \geq \sum \frac{1}{ab}$ (2)

 

Mà có a + b + c = abc $\Rightarrow \sum \frac{1}{ab}=1$ 

 

Kết hợp (1) và (2) $\Rightarrow \sum \frac{a}{b^3} \geq 1$ (bước này hơi tắt)

 

Dấu = khi a = b = c = $\sqrt{3}$.

Bắc cầu thì nên suy ra từ ngay 1 cái cầu, đừng để kiểu vậy, đơ đơ

 

 

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

 

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y$ $=(y^3-6y^2+9y)$  $=y(y-3)^2-x^2(x+1)$ $=(3-x)$ $(-x)^2$ $-x^2(x+1)$ $=2x^2(1-x) \geq 0$ 

 

Dấu = khi x = 1; y = 2.

 

Fix đi @@ 

Dễ hiểu tý.

Dấu = thiếu 

74) 

Cách 2:

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ y=2+a & & \end{matrix}\right.\Rightarrow x+y=3$

($a\geq 0$)

 

Có: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y=(2+a)^3-(1-a)^3-6(2+a)^2-(1-a)^2+9(2+a)=2a(a^2-2a+1)\geq 0 \forall a\geq 0$

Dấu = có khi: $\begin{bmatrix}x=1;y=2 & & \\ x=0;y=3 & & \end{bmatrix}$
 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 16:12

[Viet Hoang 99]

75) Cho $x+y\geq 3$; $x\leq 1$. Tìm Min $B=3x^2+y^2+3xy$

 

75) 

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ y=2+b & & \end{matrix}\right.$

($a;b\geq 0$)
Có: $B=3(1-a)^2+(2+b)^2+3(1-a)(2+b)=a^2-5a+13\geq \frac{27}{4}$

Dấu = có khi: $a=b=\frac{5}{2}\Leftrightarrow x=-\frac{3}{2};y=\frac{9}{2}$

 

P/s: Các bạn làm bài ghi số thứ tự bài vào giùm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 07-06-2014 - 10:53

[angleofdarkness]

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ x+y=3+b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y=a+b+2$

($a\geq 0$;$a+b\geq 0$)

$\Rightarrow B=3x^2+y^2+3xy=3(1-a)^2+(a+b+2)^2+3(1-a)(a+b+2)=\frac{(2a-b-5)^2}{4}+\frac{3}{4}(b+3)^2\geq 0$

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

Chỗ ($a\geq 0$;$a+b\geq 0$) chưa chắc đúng vì nếu giả sử b < 0. a > b và $a\geq 0$thì a + b > 0, chỗ này cần chỉ ra cụ thể hơn là $b \geq 0$

 

Biến đổi để chỉ ra $B \geq 0$ tắt quá, dấu = thì k xảy ra, vì vậy chưa tìm đc Min B.

[Viet Hoang 99]

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

80) Cho $a;b;c;p;q>0$. Cmr: $\sum \frac{a}{pb+qc}\geq \frac{3}{p+q}$

 

81) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{2}{x+y}\geq \frac{9}{x+y+z}$

 

82) Cho $a;b;c>0$. Cmr: $\sum \frac{a^2+b^2}{a+b}\geq a+b+c$

 

83) Cho $x;y;z>0$. Cmr: $\sum \frac{x}{x+2y+3z}\geq \frac{1}{2}$

 

84) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c>0 & & \\ 3(ab+bc+ca)=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\sum \frac{a}{a^2-bc+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 22:54

[Viet Hoang 99]

Chỗ ($a\geq 0$;$a+b\geq 0$) chưa chắc đúng vì nếu giả sử b < 0. a > b và $a\geq 0$thì a + b > 0, chỗ này cần chỉ ra cụ thể hơn là $b \geq 0$

 

Biến đổi để chỉ ra $B \geq 0$ tắt quá, dấu = thì k xảy ra, vì vậy chưa tìm đc Min B.

 

 

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

Đặt $\left\{\begin{matrix}x=1-a & & \\ x+y=3+b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow y=a+b+2$

($a\geq 0$;$a+b\geq 0$)

$\Rightarrow B=3x^2+y^2+3xy=3(1-a)^2+(a+b+2)^2+3(1-a)(a+b+2)=\frac{(2a-b-5)^2}{4}+\frac{3}{4}(b+3)^2\geq 0$

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

P/s: Các bạn làm bài ghi số thứ tự bài vào giùm.

 

 

Bài 75: Đã fix

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-02-2014 - 22:36

[angleofdarkness]

75) 

$x\leq 1\Rightarrow y\geq 2$

 

Dấu = có khi: $\left\{\begin{matrix}a=1 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.$

 

 

 

1. $a\geq 0; a+b\geq 0$ là do: $1-a\leq 1;a+b+2\geq 2$ . Nếu $b\geq 0$ mới là chưa chắc.

2. Dấu = đã đúng.

 

 

Không bảo sai,chỉ là không xảy ra dâu = thôi vì có $x \leq 1;y \geq 2$ nên không thể có x = y = 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi angleofdarkness: 23-02-2014 - 16:29