BÀI TẬP LUYỆN THI SỐ 1

Câu 2: (3đ) a. Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ $\geq 9$
b. Cho a, b dương và a²⁰⁰⁰ + b²⁰⁰⁰ = a²⁰⁰¹ + b²⁰⁰¹ = a²⁰⁰² + b²⁰⁰²

Tinh: a²⁰¹¹ + b²⁰¹¹

ở câu a rất dễ sử dụng bdt bu-nhi-a-cop-xki viết dưới dạng phân thức là xong 

ở câu b ta dễ dàng chứng minh được a=b=1 sau đó tính tổng là bằng 2

Bài 1: Tìm các số nguyên tố p sao cho 2p+1 bằng lập phương của 1 số tự nhiên

Bài 2: Tìm các số nguyên tố p sao cho 13p+1 bằng lập phương 1 số tự nhiên

gọi 2p+1=a³

$\Rightarrow$ 2p=a³-1

$\Rightarrow$ 2p=(a-1).(a²+a+1)

$\Rightarrow$ a-1=2;1

                      a²+a+1= p;2p

$\Rightarrow$ a=3;2 $\Rightarrow$ p=13

x=-5 vi phạm điều kiện xác định

trước đây mình cũng từng sai thế này rồi

x= -5 là sai, để tránh lỗi này bạn nên tìm đkxđ ngay đầu phương trình, sau khi tìm được nghiệm thử lại và kết luận    

 Tìm lỗi sai trong bài  giải phương trình :

$\frac{x}{x+7}-\frac{7}{x+5}+\frac{14}{(x+5)(x+7)}=0$

$\frac{x^{2}+5x-7x-49}{(x+7)(x+5)}+\frac{14}{(x+7)(x+5)}=0$

$\frac{x^{2}-2x-35}{(x+5)(x+7))}=0$

Vì vậy $x^{2}-2x-35=0$ 

           $(x+5)(x-7)= 0$ nên ta có x=7 , x= -5

Cho các số thực dương a,b Chứng minh rằng :

a, $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

b, $\frac{2}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}\geq \frac{9}{(a+2b)^{2}}$

tiếp nhé:

Cho các số thực dương a,b chứng minh rằng:

d, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{9ab}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{13}{2}$

 

 

 Bài d sai đề  

tiếp nhé:

Cho các số thực dương a,b chứng minh rằng:

e, $\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

$\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3b}+1-\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}$$\geq 1$

$\Leftrightarrow \frac{a}{3b}-\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{3ab}-\frac{a^{2}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 0$

$\Leftrightarrow 3ab\leq a^{2}+ab+b^{2}$

            Bất đẳng thức luôn đúng 

Bài 1: Ta có $\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\geq \frac{4}{a(b+c)}\geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}}=16\Rightarrow b+c\geq 16abc$

sử dụng bất đẳng thức bunhia à, lỡ may a, b , c có một số bằng 0 thì sao     

Ta có : $S=\left ( \frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a} \right )+\left ( \frac{b}{a+c+d}+\frac{a+c+d}{9b} \right )+\left ( \frac{c}{a+b+d}+\frac{a+b+d}{9c} \right )+\left ( \frac{d}{a+b+c}+\frac{b+c+d}{9a} \right )+\frac{8}{9}\left [ \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\left ( \frac{a}{d}+\frac{d}{a} \right )+\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+\left ( \frac{b}{d}+\frac{d}{b} \right )+\left ( \frac{c}{d}+\frac{d}{c} \right ) \right ]\geq \frac{40}{3}$

 

cách làm được đấy, vấn đề là làm sao khi gặp các dạng này mà có thể biết  tách các số để biết tách để giải như ở trên:

$\frac{b+c+d}{a}= \frac{b+c+d}{9a}+\frac{8}{9}\frac{b+c+d}{9a}$

          chỉ hộ với            

Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+y=2 và hằng số k thuộc $z^{+}$. CMR: $x^{k}y^{k}(x^{k}+y^{k})$ $\leq$ 2

                Bài này hơi khó, mọi người thử sức xem             

2, phương pháp dùng bđt cô si

1, Cho a,b,c,d > 0. CMR:

S= $\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c} +\frac{a+b+d}{c}+\frac{a+d+c}{b}+\frac{a+b+c}{d}+\frac{b+c+d}{a}$            $\geq$ $\frac{40}{3}$

Cho các số thực dương a,b Chứng minh rằng :

a, $\frac{a}{4b^{2}}+\frac{2b}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+2b)}$

b, $\frac{2}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}\geq \frac{9}{(a+2b)^{2}}$

 a,Đặt$\left\{\begin{matrix} a+b=x & \\ b=y & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \frac{x-y}{y^{2}}+\frac{8y}{x^{2}}\geq \frac{9}{x+y}\geq 9$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{8y}{x}+\frac{8y^{2}}{x^{2}}\geq 10$

áp dụng bất đẳng thức côsi

$\left ( \frac{x^{2}}{2y^{2}}+\frac{8y^{2}}{x^{2}} \right )+\left (\frac{x^{2}}{2y^{2}}+\frac{4y}{x}+\frac{4y}{x} \right )\geq 10$

 Bài được làm bởi nguyên trung phuc

tiếp nhé:

Cho các số thực dương a,b chứng minh rằng:

a, $\frac{5a^{3}-b^{3}}{3a^{2}+ab}\leq 2a-b$

 

 

$\frac{5a^{3}-b^{3}}{3a^{2}+ab}\leq 2a-b$

$\Leftrightarrow \frac{5a^{3}-b^{3}-6a^{3}-2a^{2}b}{3a^{2}+ab}+b\leq 0$

$\Leftrightarrow\frac{a^{2}b+ab^{2}-a^{3}-b^{3}}{3a(a+b)}\leq 0$

$\Leftrightarrow \frac{-(a+b)(a-b)^{2}}{3a(a+b)}\leq 0$

 tới đây thì dễ rồi 

Cho các số thực dương a,b CMR:

$\frac{a}{2b}+\frac{2b}{a+b}+\frac{ab^{2}}{2(a^{3}+2b^{3})}\geq \frac{5}{3}$

tiếp nhé:

Cho các số thực dương a,b chứng minh rằng:

a, $\frac{5a^{3}-b^{3}}{3a^{2}+ab}\leq 2a-b$

b, $\frac{a^{3}-11b^{3}}{4b^{2}+ab}\geq a-3b$

c, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{ab}{a^{2}-ab+b^{2}}\geq 3$

d, $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{9ab}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{13}{2}$

e, $\frac{a}{3b}+\frac{b(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq 1$

Bất đẳng thức

1, phương pháp biến đổi tương đương

Ở dạng này có một số bài rất hay ,các bạn kham khảo

Bài 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh:b+c $\geq$ 16 abc

Bài 2:Cho các số thực x, y thỏa mãn x khác y và x;y khác 0

$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}$

    lần đầu chỉ 2 bài đã mong các bạn ủng hộ (giải bằng cách nào cũng được nhưng tốt nhất là giải bằng phương pháp biến đổi tương đương)

thêm 1 đề típ 

 Bài 1:(4 điểm)

a) Cho $a;b$ là hai số nguyên dương khác nhau, thoả mãn $2a^2+a=3b^2+b$. Chứng minh $\dfrac{a-b}{2a+2b+1}$ là phân số tối giản.

b) Tìm các cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn: $15x^2-7y^2=9$

Bài 2: (4 điểm)

a) Cho $\dfrac{-3}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}; x \ne 0$ và $\sqrt{3+2x}-\sqrt{3-2x}=a$. Tính theo $a$ giá trị biểu thức $$P=\dfrac{\sqrt{6+2\sqrt{9-4x^2}}}{x}$$

b) Cho $a,b,c$ là 3 số dương thoả mãn $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của $Q=abc$

Bài 3: (4 điểm)

a) Giải phương trình: $(x-1)(x+2)+4(x-1)\sqrt{\dfrac{x+2}{x-1}}=12$

b) Giải hệ phương trình: $2\sqrt{x}(1+\dfrac{1}{x+y})=3$ và $2\sqrt{y}(1-\dfrac{1}{x+y})=1$

Bài 4: (6 điểm)

CHo nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ cố định. $EF$ là dây cung di đông trên nửa đường tròn đó, sao cho $E$ thuộc cung $AF$ và $EF=\dfrac{AB}{2}=R$. Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BE; C$ là giao điểm của $AE$ và $BF; I$ là giao điểm của $CH$ và $AB$.

a) Tính số đo $\widehat{CIF}$

b) Chứng minh rằng biểu thức $AE.AC+BF.BC$ có giá trị không đổi khi $EF$ di động trên nửa đường tròn.

c) Xác định vị trí của $EF$ trên nửa đường tròn để tứ giác $ABFE$ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó theo $R$.

Bài 5: (2 điểm)

Tìm cạnh của hình vuông nhỏ nhất, biết rằng: hình vuông đó chứa 5 đường tròn có bán kính bằng 1 và 5 đường tròn này đôi một không có quá 1 điểm chung

ở đây mình có vài đề thi cấp tỉnh  9 mong các bạn kham khảo và giải đáp 

 đề thi tỉnh Hà tĩnh

Câu $1$

a) Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=x^2+1.$

b) Giải hệ phương trình

$$\begin{cases}3x^3+xy^2=2y \\ y^3+x^2y=-2x. \end{cases}$$

Câu $2$

a) Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $$a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3=1.$$ Tính $$\mathbb{P}=a^{2012}+b^{2013}+c^{2014}.$$

b) Cho $x,y>0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$\mathbb{P}=\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+\dfrac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

Câu $3$

Giả sử phương trình $\dfrac{x^2}{yz}+\dfrac{y^2}{zx}+\dfrac{z^2}{xy}=3$ có 3 nghiệm không đồng thời bằng nhau $(a;b;c); (p;q;r); \left(\dfrac{a}{p};\dfrac{b}{q}; \dfrac{c}{r}\right).$ 

Chứng minh $(ap^2;bq^2;cr^2)$ cũng là nghiệm của phương trình đó.

Câu $4$

Tam giác $ABC$ có $AB=AC=a; \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\alpha \in (0^0;90^0).$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Góc $\widehat{xMy}$ quay quanh điểm $M$ sao cho $Mx, My$ cắt $AB, AC$ tại $D, E.$

a) Tính tích $BD.CE$ theo $a; \alpha.$
b) Gọi $d_{(M;DE)}=R.$ Chứng minh rằng $AB, AC$ là các tiếp tuyến của $(M;R).$
c) Tìm vị trí của $D; E$ sao cho $S_{ADE}$ lớn nhất.

Câu $5$

Lấy 2014 điểm phân biệt trên đường tròn bán kính $R=1$ sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ khác $\sqrt{3}.$ Chứng minh có thể chọn ra 672 điểm sao cho bất cứ bộ ba điểm nào cũng là 3 đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn $120^0.$

         bài làm rồi được tô màu đỏ 

có ai làm cho tớ bài hình cai

Câu 3 đề sai hay sao ấy

ko bít nữa t đề ra thế thì chịu thôi

Bài hình thiếu đề bài rồi$\widehat{xMy}= \widehat{ABC}$

bài hình ko thiếu đề đâu,  đề ko cho $\widehat{xMy}= \widehat{ABC}$

kho xơi quá    

So sánh 2012^2013 với 2013^2012 

   

ta đưa về tỉ số 

$\frac{2013^{2012}}{2012^{2013}}$

= $\frac{2013^{2012}}{2012^{2012}}.\frac{1}{2012}$

= $(\frac{2013}{2012})^{2012}.\frac{1}{2012}$

= $(1+\frac{1}{2012})^{2012}.\frac{1}{2012}$

  mà $(1+\frac{1}{2012})^{2012}$ < 3 nên biểu thức < $\frac{3}{2012}$ 

                         vậy 2013²⁰¹²<2012²⁰¹³