cho a,b là những số thực thỏa mãn $a+b=ab$ và $a,b> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ CMR: $\frac{1}{a^{2}+a-1}+\frac{1}{b^{2}+b-1}\geq \frac{2}{5}$

Ta có:$b=1=>a=0$ vô lí vì $a> \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Nếu $b\neq 1$ có:$a(1-b)=-b <=>a=\frac{b}{b-1}$ từ đó thay vào điều phải chứng minh có

$\frac{1}{(\frac{b}{b-1})^2+\frac{b}{b-1}-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b(b-1)-(b-1)^2}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$\frac{(b-1)^2}{b^2+b-1}+\frac{1}{b^2+b-1}\geq \frac{2}{5}$

<=>$5\left [ (b-1)^2+1 \right ]\geq 2(b^2+b-1)$

<=>$3(b-2)^2\geq 0$ đúng

Dấu bằng xảy ra:$a=b=2$

Bài 1: Cho a,b>0; a+b=1. Chứng minh:

a) $\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq 6$

b) $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geq 14$

a,

Ta có:$\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{2}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\geq \frac{4}{(a+b)^2}+\frac{1}{\frac{(a+b)^2}{2}}=4+2=6$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=\frac{1}{2}$

b,Bạn tách với làm tương tự nhé

 

Lưu ý:Khi tách để ý dấu bằng xảy ra nhé!

Cho a,b,c dương. CMR:

$(\frac{4a}{c+b}+1)(\frac{4b}{a+c}+1)(\frac{4c}{a+b}+1)> 25$

Ta có:BĐT pcm<=>$(4a+b+c)(4b+a+c)(4c+a+b)> 25(a+b)(b+c)(c+a)$

<=>$a^3+b^3+c^3+7abc>ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$

BĐT trên đúng vì $a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ là bđt schur

$a,b,c>0$=>$4abc>0$ => đpcm

Cho a,b,c dương, abc=1.CMR:

   $\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+a+c}\leq 1$

Đặt $a=x^3,b=y^3,c=z^3,abc=1=>xyz=1$

Áp dụng bất đẳng thức $x^3+y^3\geq xy(x+y)$ bạn tự chứng minh nhé biến đổi tương đương

=>$\frac{1}{x^3+y^3+1}\leq \frac{1}{xy(x+y)+1}=\frac{xyz}{xy(x+y+z)}=\frac{z}{x+y+z}$

Tương tự ta có:$\frac{1}{y^3+z^3+1}\leq \frac{x}{x+y+z},\frac{1}{z^3+x^3+1}\leq \frac{y}{x+y+z}$

Từ đó có:$VT\leq \frac{x+y+z}{x+y+z}=1=>Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c=1$

 

Bài toán mở rộng của bài toán thi USA MO

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Sai rồi, BDT Schur bậc 3 là $a^3+b^3+c^3+3abc \geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

 

Chứng minh:

 

$f(a;b;c)=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$

 

Giả sử $a=\text{min{a;b;c}}$, đặt $2t=b+c$

 

Khi đó $f(a;b;c)-f(a;t;t)=\left[b+c-\dfrac{5}{4}a \right](b-c)^2 \geqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(a;b;c) \geqslant f(a;t;t)=a^3+at^2-2a^2t=a(a^2-2at+t^2)=a(a-t)^2 \geqslant 0$

Tớ chỉ tính toán sai thôi mà!Mà đề bài cho $a,b,c>0$ có dấu bằng à bạn.Nếu có chỉ giáo xem

Đặt $u=x^2+1$,$v=y$. Ta có:$PT(1)\Leftrightarrow \sqrt{uv}+(u-1)v=u^2 \Leftrightarrow \sqrt{uv}-v=u^2-uv$

$\Leftrightarrow \frac{v(u-v)}{\sqrt{uv}+v}=u(u-v)\Leftrightarrow (u-v)(\frac{1}{\sqrt{\frac{u}{v}}+1}-u)=0\Leftrightarrow u=v$ (vì $u>1$)

Thế xuống PT (2) giải hệ

Bạn nên giải hết cả bài đi  thế mới hay,không nên giải như thế này vì chưa rõ nhiều bài đoạn xử lí phương trình như thế nào mà.Nhiều bài cho tưởng dễ nhưng không dễ đâu .Mong các bạn lần sau giải nên FULL lời giải + đáp số nhé mới được công nhận

Bài toán 24:  Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix}\sqrt{(x^2+1)y}+x^2y=(x^2+1)^2 & & \\ \sqrt{y}=\frac{(x^2+1)^3}{6xy^2-32x^3} & & \end{matrix}\right.$

Các anh ơi cho em hỏi anh nào có link đề thi tiếng anh chuyên ĐHSP,ĐHKHTN vòng 1 các năm không ạ

Phương trình có nghiệm bằng 1 nhé bạn

Mình chỉ trên mà bạn  .Chỗ phương trình vô nghiệm là chỉ biểu thức trong ngoặc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu II. (5,0 điểm).

1) Giải phương trình: 

2) Giải hệ phương trình: 

 

1.Điều kiện xác đinh:$x\neq +-1$.Phương trình tương đương "

$(\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1})^2-2\frac{x^2}{x^2-1}=\frac{10}{9}<=>(\frac{2x^2}{x^2-1})^2-\frac{2x^2}{x^2-1}-\frac{10}{9}=0$

Đặt $t=\frac{2x^2}{x^2-1}$ thay vào phương trình có:

$t^2-t-\frac{10}{9}=0<=>9t^2-9t-10=0<=>\begin{bmatrix}t=\frac{-2}{3} & & \\t=\frac{5}{3} & & \end{bmatrix}$

Nếu $t=\frac{5}{3}$ =>phương trình vô nghiệm

Nếu $t=\frac{-2}{3}<=>\begin{bmatrix}x=\frac{1}{2} & & \\ x=\frac{-1}{2} & & \end{bmatrix}$

2,Điều kiện:$y\neq 0$.Hệ phương trình 

<=>$\left\{\begin{matrix}x^2+\frac{1}{y^2}+x+\frac{1}{y}=4 & & \\x^3+\tfrac{1}{y^3}+\frac{x}{y}(x+\frac{1}{y})=4 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $u=x+\frac{1}{y},v=\frac{x}{y}$ ta có hệ trở thành

$\left\{\begin{matrix}u^2+u-2v=4 & & \\ u^3-2uv=4 & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}u^2-4u+4=0 & & \\ u^2+u-4=2v & & \end{matrix}\right.$

<=>$\left\{\begin{matrix}u=2 & & \\ v=1 & & \end{matrix}\right.$

thay vào rồi giải hệ ra có:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ y=1 & & \end{matrix}\right.$

2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: 

Chứng minh rằng:A= 

 

Áp dụng bất đẳng thức sau:$m+n\leq\sqrt{2(m^2+n^2)}$

Bất đẳng thức phải chứng minh

<=>$A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}+\frac{b^2}{\sqrt{2(c^2+a^2)}}+\frac{c^2}{\sqrt{2(c^2+a^2)}}$

Đặt $x=\sqrt{b^2+c^2},y=\sqrt{c^2+a^2},z=\sqrt{a^2+b^2}$=>$x+y+z=\sqrt{2011}$

Từ đó suy ra:$A\geq \frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}+\frac{z^2+x^2-y^2}{2\sqrt{2}y}+\frac{x^2+y^2-z^2}{2\sqrt{2}z}\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (\frac{(y+z)^2}{2x}-x)+(\frac{(x+z)^2}{2y}-y)+(\frac{(x+y)^2}{2z}-z) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (\frac{(y+z)^2}{2x}+2x-3x)+(\frac{(x+z)^2}{2y}-2y+3y)+(\frac{(x+y)^2}{2z}+2z-3z) \right ]\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (2(y+z)-3x)+(2(x+z)-3y)+(2(x+y)-3z)) \right ]$

Hay$A\geq \frac{1}{2\sqrt{2}}(x+y+z)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}=>Q.E.D$

Dấu bằng xảy ra <=>$a=b=c=\frac{\sqrt{2011}}{3\sqrt{2}}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
(Đề thi chính thức) KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2010- 2011
Ngày thi: 24/03/2011

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu I. (5,0 điểm).

 

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn . Chứng minh rằng là số hữu tỉ.

(b). Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:  là số hữu tỉ.

 

a,Từ giả thiết có:$c(a+b)=ab$.Thay vào biểu thức $A$ có:$=\sqrt{(a+b)^2-2ab+c^2}=\sqrt{(a+b)^2-2c(a+b)+c^2}=\sqrt{(a+b-c)^2}=\left | a+b-c \right |$ là số hữu tỉ

b,Xét:$(\frac{1}{x-y}+\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x})^2=\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}+\frac{2}{(x-y)(y-z)}+\frac{2}{(y-z)(z-x)}+\frac{2}{(z-x)(x-y)}=B^2+\frac{2(x-y)+2(y-z)+2(z-x)}{(x-y)(y-z)(z-x)}=B^2=>B=\left | \frac{1}{x-y} +\frac{1}{y-z}+\frac{1}{z-x}\right |$ là số hữu tỉ

Câu 3:

a. Giải phương trình: $4\sqrt{x+3}-\sqrt{x-1}=x+7$

a,Điều kiện để căn có nghĩa:$x\geq 1$

PT <=>$4\sqrt{x+3}-8-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\frac{4(x-1)}{4\sqrt{x+3}+8}-\sqrt{x-1}-(x-1)=0$

     <=>$\sqrt{x-1}(\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}-1-\sqrt{x-1})=0$

     <=>$x=1$

Vì xét biểu thức trong ngoặc đặt bằng A nhé:

$x\geq 1=>\frac{4}{4\sqrt{x+3}+8}\leq \frac{1}{4},\sqrt{x-1}\geq 0=>-\sqrt{x-1}\leq 0 =>A\leq\frac{1}{4}-1-0=-\frac{3}{4}$

=> phương trình vô nghiệm 

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp: Với n lớn hơn hoặc bằng 2 thì: $2^n>2.n$

Áp dụng: Với $x>y\rightarrow 2y=2^x>2^y$ (Mâu thuẫn) , x<y.

Do đó: x=y. Vậy x=y=1

Thiếu x=y=2!

1.

b. Cho các số nguyên dương a,b,c ($b \neq1$) sao cho $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}$ là 1 số hữu tỉ.

cm: $a^2+b^2+c^2$ là hợp số.

Đặt $\frac{a-b\sqrt{5}}{b-c\sqrt{5}}=\frac{m}{n}(m;n=1)$

Theo bài ra có:$an-b\sqrt{5}n=bm-c\sqrt{5}m$

<=>$an-bm=\sqrt{5}(bn-cm)$

Vế trái nguyên $\sqrt{5}$ vô tỷ suy ra :$bn=cm$=>$\frac{b}{c}=\frac{m}{n}$   (1)

từ đó suy ra:$an=bm$=>$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:$ac=b^2$

Ta có:$a^2+b^2+c^2=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac=(a+c)^2-b^2=(a-b+c)(a+b+c)$ là hợp số => điều phải chứng minh!

 

Câu 3( 2 điểm )

Cho a > 0;b > 0; a + b $\leq 1$.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = $\frac{a^{2}b^{2}}{a^{4}b^{2}+a^{2}b^{4}+a^{2}+b^{2}}$

Vì $a,b>0$ nên ta chia tử xuống mẫu có

$A=\frac{1}{(ab+\frac{1}{ab})(\frac{a}{b})+\frac{b}{a}}$

Ta có:$ab+\frac{1}{ab}=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\geq 2.\frac{1}{4}+\frac{15}{16ab}$

mà $1\geq a+b\geq 2\sqrt{ab}$ =>$\frac{1}{4}\geq ab$

Từ đó có $ab+\frac{1}{ab}\geq \frac{1}{2}+\frac{15}{16.\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}$

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

Từ đó có:$A\leq \frac{1}{\frac{17}{4}.2}=\frac{2}{17}$

Dấu bằng xảy ra $a=b=\frac{1}{2}$

Đề kiểm tra đội tuyển mình nhé!Khó choáng quá làm được 1 phần     (150 phút)

Câu 1(2điểm):Gỉa sử phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc $\left [ 0;1 \right ]$.Xác định $a,b,c$ để biểu thức sau có giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất :$P=\frac{(a-b)(2a-c)}{a(a-b+c)}$

Câu 2(2 điểm):Cho các số không âm a,b,c thỏa mãn:$a+b+c=2$.Tìm giá trị nhỏ nhất giá trị lớn nhất của biểu thức

$A=\frac{1+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}+\frac{1+\sqrt{b}}{1+\sqrt{c}}+\frac{1+\sqrt{c}}{1+\sqrt{a}}$

Câu 3(2 điểm):a,Cho 6 số thực $x_{1},x_{2},...,x_{6}\in \left [ 0;1 \right ]$.Tìm max:$(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})....(x_{6}-x_{1})$

b.Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:$\left\{\begin{matrix}2^x=2y & & \\ 2^y=2x & & \end{matrix}\right.$

Câu 4(3 điểm):Cho đường tròn $(O;r)$.Xét hình thang  $ABCD$ ngoại tiếp đường tròn nói trên,trong đó$BC\parallel AD,\angle BAD=\alpha ,\angle CAD=\beta (\alpha ,\beta \leq 90)$

a,Chứng tỏ rằng $\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}$

b,Tính $S_{ABCD }$ th$r,\alpha ,\beta$ với các góc $\alpha ,\beta$ bằng bao nhiêu thì hình thang có diện tích nhỏ nhất và tính diện tích đó theo $r$

Câu 5(1điểm):Trong các số tự nhiên từ $1->1997$ chọn $n(n\geq 2)$ số phân biệt sao cho $2$ số bất kì chọn được tổng chia hết cho $8$.Hỏi trong cách chọn số $n$ như thế thì $n$ lớn nhất là bao nhiêu

Gọi 1997 số tự nhiên đó lần lượt là $a_{1};a_{2};...;a_{1997}$ , số dư của $a_{1}$ cho 8 là $k$; số dư của $a_{2}$ cho 8 là $t$ ($0\leq k;t<8 và k;t \in N$) thì

$a_{1}+a_{2}\vdots 8 \Leftrightarrow B(8)+k+t\vdots 8\rightarrow k+t\vdots 8$

Mà $a_{1}+a_{3}\vdots 8 ; a_{2}+a_{3}\vdots 8 \rightarrow a_{1}\equiv a_{2}(mod 8)\rightarrow k=t$ mà $k;t\in N$ và $0\leq k;t < 8$ nên $k=t=0$ hoặc $k=t=4$

Số các số chia hết cho 8 từ 1 đến 1997 là 8;16;24;...;1992 có 249 số

Số các số chia cho 8 dư 4 từ 1 đến 1997 là 4;12;20;28;...;1996 có 250 số

Vậy $n$ lớn nhất bằng 250

P/s: đề khoai quá     , bạn ở tỉnh nào , lớp mấy v???  

Mình Phú Thọ lớp 9

Bài 10:(Đề thi trại hè hùng vương 2014)

Chứng minh rằng:tồn tại $16$ số tự nhiên liên tiếp sao cho không có số nào trong $16$ số có thể biểu diễn dưới dạng $\left | 7x^2+9xy-5y^2 \right |$($a,b\in R$)

Mọi người xem tại đây

Dùng Cauchy Schwarz có

$$ \left( a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \right) \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} \right) \ge \left( ab+bc+ca \right)^2 =1$$

Suy ra

$$ a^4b^2 +b^4c^2+c^4a^2 \ge \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{a^2b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2} +\frac{5}{9} \ge 2abc \left( a+b+c \right)  \quad{(1)}$$

Đặt 

$$ x=ab \ ; \ y=bc \; \ z=ca >0 $$

Có 

$$p= x+y+z=ab+bc+ca=1 \ ; \ q=xy+yz+zx \ ; \ r =xyz >0$$

Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ trở thành

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Dùng Schur có

$$ \frac{r}{1-2q}+\frac{5}{9} \ge \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} $$
Cần chứng minh

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9} \ge 2q $$

Điều đó đúng bởi

$$ \frac{4q-1}{9 \left(1-2q \right)}+\frac{5}{9}-2q=\frac{4 \left( 3q-1 \right)^2}{9 \left( 1-2q \right)} \ge 0 $$

Kết thúc chứng minh .

Co cach khac de hieu hon khong

Chào các bạn,trong thời gian vừa qua mình thấy trên diễn đàn toán khá nhiều bạn hỏi những bài toán về kỹ thuật chọn điểm rơi.Vì vậy hôm nay mình mở ra topic này để mọi người tìm hiểu và học thêm nhiều kiến thức.Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn gọi là cân bằng hệ số thường được dùng rất hay trong các kỳ thi học sinh giỏi,kỳ thi tuyển sinh vào cấp 3

Sau đây,các bạn hãy đến với những ví dụ đầu tiên

Ví dụ 1:

Cho $x\geq 1$.Tìm min của biểu thức:$P=3x+\frac{1}{2x}$

 

Chắc chắn gặp bài toán này nhiều bạn sẽ giải như sau:

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2\sqrt{3x.\frac{1}{2x}}=2.\sqrt{\frac{3}{2}}$

Dấu bằng xảy ra:$3x=\frac{1}{2x}$ từ đó giải được $x=\frac{1}{\sqrt{6}}$ nhưng lại không thỏa mãn điều kiện $x\geq 1$

 

Vì thế chúng ta không thể kết luận được min của biểu thức

 

Ví dụ 2:

Cho $a,b,c>0$.Tìm giá trị nhỏ nhất của 

$p=\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Lời giải 

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:$P\geq 2+2+2=6$

Nhưng lúc nhìn lại dấu bằng lại không có bội nào thỏa mãn

 

Qua đó,nhiều bạn sẽ đặt ra câu hỏi làm bài toán trên như thế nào

 

 

Xin quay trở lại ví dụ 1

Ta có:$P=3x+\frac{1}{2x}$

 

Lời giải của sách:

 

Ta cân bằng hệ số $3=k+(3-k)$

Vơi 0<$k<3$ ta sẽ có biểu thức viết lại như sau

$P=(3-k)x+kx+\frac{1}{2x}$

Đến đây sử dụng bất đẳng thức cô si ta được $(3-k)x\geq 3-k,kx+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{k}{2}}$

Suy ra $p\geq 3-k+\sqrt{2k}$

Xét dấu bằng xảy ra:$\left\{\begin{matrix}x=1 & & \\ kx=\frac{1}{2x} & & \end{matrix}\right.$

                        $<=>k=\frac{1}{2}$

Với $k=\frac{1}{2}$ là số thích hợp

Thay vào ta có:$P\geq 3-\frac{1}{2}+\sqrt{2.\frac{1}{2}}=\frac{7}{2}$.Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

Ta thay vào thỏa mãn đề bài.Bài toán như vậy đã được giải quyết

 

Chắc chắn khi đọc lời giải này nhiều bạn sẽ không hiểu tại sao lại giải như vậy.Vì vậy tớ sẽ làm theo ý hiểu của riêng mình,mong là mọi người dễ hiểu hơn

 

Trước hết ta đi phân tích ở một số giả thiết.Vì đề bài ra là $x\geq 1$ nên việc sơ cấp đầu tiên là mọi người đều nghĩ ra là dấu bằng xảy ra khi $x=1$

Gọi $y$ là số ta định chọn điểm rơi

Ta biết dấu bằng xảy ra tại $3x=y.\frac{1}{2x}$

mà ở trên dự đoán $x=1$ nên thay vào tính được $y=6$

 

Từ đó lời giải hoàn chỉnh là

Ta có $P=3x+\frac{1}{2x}=3x+\frac{6}{2x}-\frac{5}{2x}\geq 2.\sqrt{3x.\frac{6}{2x}}-\frac{5}{2x}=6-\frac{5}{2x}$

Mà $x\geq 1$ nên $2x\geq 2$

hay $\frac{5}{2x}\leq \frac{5}{2}$(vì $2x>0$)

suy ra $-\frac{5}{2x}\geq -\frac{5}{2}$

Từ đó:$P\geq 6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$

Dấu bằng xảy ra tại $x=1$

 

Đáp số vẫn ra như trên nhưng cách giải của mình hoàn toàn khác

 

Ta quay trở lại vídụ 2

 

Theo lời giải của mình và cách tách như mình nhé:

Ta có dấu bằng xảy ra:$k\frac{b+c}{a}=\frac{a}{b+c}$

Dự đoán $a=b=c$ nên ta chọn được $k=\frac{1}{4}$

Từ đó:Áp dụng bất đẳng thức cô si có

$\frac{1}{4}\frac{b+c}{a}+\frac{a}{b+c}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1$

Tương tự ta có:

$P\geq 3+\frac{3}{4}(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c})$

Trong ngoặc ta sẽ dễ dàng chứng minh $\geq 6$

Ta có:$P\geq 3+\frac{3}{4}.6=\frac{15}{2}$

Dấu bằng xảy ra $a=b=c$

 

Trên là những bài toán rất dễ dự đoán dấu bằng ,mình xin nêu một số bài toán khó dự đoán dấu bằng

Xét ví dụ sau

Ví dụ 3:

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+xz=1$.Chứng minh:

A=$10x^2+10y^2+z^2\geq 4$

 

Một số bạn dự đoán dấu bằng tại $x=y=z$ nhưng lại không thỏa mãn đề bài

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô si có:

$2x^2+2y^2\geq 4xy$

$8x^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4xz$

$8y^2+\frac{1}{2}z^2\geq 4yz$

Đến đây có

$A\geq 4(xy+yz+xz)=4$.Dấu bằng xảy ra

$\left\{\begin{matrix}x=y & & \\ 4x=z & & \\ 4y=z & & \end{matrix}\right.$

hay $\left\{\begin{matrix}x=y=\frac{1}{3} & & \\ z=\frac{4}{3} & & \end{matrix}\right.$

 

Bài toán tuy lời giải rất đơn giản nhưng ai nghĩ ra được dấu bằng như vậy không.Theo mình những bài trên đã là những bài rất hay và khó  rồi,mình không rõ lời giải tổng quát bài toán.

Bài toán trên sẽ khó hơn nếu đề ra là

Tìm min:$A=10x^2+10y^2+z^2$ vì dấu bằng xảy ra không tại x=y=z

 

 

Qua các bài toán trên,mình mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về kỹ thuật này.Bài viết này không tránh khỏi những chỗ sai nên mong các bạn góp ý cho topic.Mong các bạn ủng hộ topic mình nhé.Mình xin cảm ơn!

 

 

Dưới đây là bài tập vận dụng.Mình sẽ post từ dễ đến khó những bài khó mình sẽ tô màu đỏ.Mong các bạn làm hết rồi sẽ post bài khác kẻo tràn bài toán trên topic

 

1,Cho $a\geq 2$.Tìm min $A=2a+\frac{1}{a}$

2,Cho $a,b,c>0$,$a+b+c=2$.Tìm min:$P=\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}$

3,Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn:$0\leq a\leq 3$ và $a+b=11$.Tìm max $P=ab$

4.Cho ${\color{Red}a,b,c>0 }$ và ${\color{Red} a+b+c=1}$.Tìm max ${\color{Red} P=a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}$

5,Cho ${\color{Red} x,y\geq 0}$ thỏa mãn:${\color{Red} x^2+y^2=5}$.Tìm min:${\color{Red} P=x^3+y^6}$

6,Cho ${\color{Red} x,y,z\geq 0}$ và ${\color{Red} x+y+z=3}$.Tìm min ${\color{Red} P=x^4+2y^4+3z^4}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

 

 

Mình xin trình bày lời giải của mình

Áp dụng bổ đề.Nếu $a,b$ là 2 số dương thỏa mãn $ab\geq 1$ thì $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\geq \frac{2}{1+\sqrt{ab}}$

Ta có:

$P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}=\frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}$

Theo bổ đề có

$\frac{1}{1+\frac{z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{x}{z}}\geq \frac{2}{1+\sqrt{\frac{z}{y}.\frac{x}{z}}}=\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}$

Từ đó:$P\geq \frac{1}{2+3.\frac{y}{x}}+\frac{2}{1+\sqrt{\frac{x}{y}}}=Q$

Đặt $t=\sqrt{\frac{x}{y}}=>t\in \left [ 1;2 \right ]$

Khi đó $Q=\frac{t^2}{2t^2+3}+\frac{2}{t+1}=(\frac{t^2}{2t^2+3}-\frac{4}{11})+(\frac{2}{t+1}-\frac{2}{3})+\frac{34}{33}=\frac{3(t^2-4)}{11(2t^2+3)}+\frac{2(2-t)}{3(t+1)}\frac{34}{33}=\frac{(2-t)(35t^2-27t+48)}{33(2t^2+3)(t+1)}+\frac{34}{33}\geq \frac{34}{33}$

Dấu bằng xảy ra $t=2 =>x=4,y=1,z=2$

 

Bài toán này dùng kiến thức THCS hơi khó.Mâu chốt là dùng bất đẳng thức mình đã tô màu đỏ và đặt ẩn.Bài 6,7 đều là những bài dùng điểm rơi rất hay!

Mình nói không biết đúng hay sai nhưng mình thấy chỗ này hơi vô lý thì phải...

Ý tưởng của bạn là chia cả hai vế cho $ab$, nên chỗ đó thành là $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

Mình nói sai thì sr vậy...

Bạn nhầm à $\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ mà ?

Xin post tiếp một số bài hay nhé

6,Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của $P=\frac{2x^2-3x+3}{x+1}$ biết $x\in \left [ 0;2 \right ]$

7,Cho $a,b>0$ thỏa mãn $2(a^2+b^2)+ab=(a+b)(ab+2)$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=4(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{a^3})-9(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

8,Cho $x,y,z\in \left [ 1;4 \right ]$ thỏa mãn $x\geq y,x\geq z$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x}{2x+3y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}$

9,Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$

Chứng minh:$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}+a_{2}}+...+\frac{1}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}\leq 2(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}})$

 

Mong các bạn post bài trong topic thì đánh số thứ tự bài cho đỡ lẫn nhé.Cảm ơn.Ba bài màu đỏ rất hay

Lâu topic không hoạt động hôm nay mình xin post một số bài nhé.Mong các bạn học rồi thì cũng ôn lại

24,Cho $a,b>0;a+b\leq 1$.Tìm min:

a,$P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

b,$A=\frac{1}{1+a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}$

25,Cho $x,y,z> 0$ phân biệt thỏa mãn:$(x+z)(z+y)=1$.Tìm min:$\frac{1}{(x-y)^2}+\frac{1}{(y-z)^2}+\frac{1}{(z-x)^2}$

26,Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn :$ab+bc+ac>0$.Tìm min của:$\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2}+\frac{b^2+16ac}{c^2+a^2}+\frac{c^2+16ab}{a^2+b^2}$

 

P/S:Còn bài 21,22 mình gửi trên chưa bạn nào giải nhé các bạn giải quyết nốt