Hiện tại ngoài biến đổi tương đương thi vẫn chưa nhìn thấy cách làm khác

chú nào post tiếp lên làm đi         mình mem mới   

Nguồn : Sáng tạo BĐT 

Giả sử a,b,c,d là các số thức a,b,c,d thỏa mãn ab + bc + cd + da = 1.Chứng minh: 

$\frac{a^{3}}{b + c + d} + \frac{b^{3}}{a + c + d} + \frac{c^{3}}{a + b + d} + \frac{d^{3}}{a + b + c} \geq \frac{1}{3}$

$\frac{1}{a+1} = 1 - \frac{1}{b+1} + 1 - \frac{1}{c+1}$

 $= \frac{b}{b+1} +  \frac{c}{c+1}$ $\geq$ $\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự rồi nhân vế theo vế 

2. (a-2)² $\geq$ 0

Nên a² $\geq$ 4a -4

Tương tự với b²,c²

3. $\frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{a+2b}$  

4. Đang suy nghĩ 

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác.CMR

$\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Áp dụng $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a+b}.$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hay đó là tam giác đều.

Áp dụng Cauchy $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + bc \geq 3ab$

Tương tự với các cái còn lại

Áp dụng cái $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}$

Cảm ơn nha.

 

 

ở câu 1 này sử dụng bất đẳng thức cauchy phải là :

 

$2\sqrt{\frac{ab}{\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )}}$ chứ 

Đúng rồi. Bài 4 mình chịu rồi

 

 

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a.a.b}{b.c.b}}=3\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$

Thiết lập các bđt tương tự và cộng lại ta có đpcm

 

Quên. Đi thi kiểu này thì nát mất

Đề BĐt hsg huyện mình

Tìm Min,Max của A=3x + x$\sqrt{5-x^{2}}$

1.Cho $f(x)$ là đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(1)=2$ . CMR $f(2011)$ không phải là số chính phương

2. Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Câu 1: Mình sẽ chém gió theo những gì mình hiểu

Đa thức f(x) = ax + b.

Nếu x = 0 mà f(x) = 0 nên b = 0.

Nếu x = 1 mà f(x) = 2 nên a = 2.

Vậy f(x) = 2x . Mà 2001 là số lẻ nên f(x) không thể là số chính phương

Topic mình bị bỏ quên nên đăng vào đây luôn

bai nay nua

                      cho m,n thuoc N tm 24m⁴ +1 =n²

                                        ^{Chung minh m.n chia het 5}

Nếu m chia hết cho 5 thì m.n chia hết cho 5

Nếu m không chia hết cho 5 thì m⁴ $\equiv$ 1(mod 5)

                                      $\Rightarrow$ n² = 24m⁴ + 1 chia hết cho 5

                                      $\Rightarrow$ m.n chia hết cho 5

1.Cho $f(x)$ là đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn $f(0)=0$ và $f(1)=2$ . CMR $f(2011)$ không phải là số chính phương

2. Tìm các số nguyên không âm $x,y$ thỏa mãn: $x^2=y^2+\sqrt{y+1}$

Bài 2:  $x^{2} = y^{2} + \sqrt{y+1} \geq y^{2}$

Do y không âm nên   $x^{2} = y^{2} + \sqrt{y+1} < (y+1)^{2}$

Vậy x² = y² hay $\sqrt{y+1}$ = 0 .

Vậy phương trình vô nghiệm.

Thành viên ẩn danh là Votruc à

210 : $\frac{1}{1+a} = 1 - \frac{1}{1+b}+1 - \frac{1}{1+c}$

                                = $\frac{b}{b+1} + \frac{c}{c+1} \geq \sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Tương tự $\frac{1}{1+b} \geq \sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

                 $\frac{1}{1+c} \geq \sqrt{\frac{ba}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân vế theo vế ta có abc $\leq \frac{1}{8}$

BÀI 129: (mở file)

Cái này có trong TTT nè

Nếu nó ăn một quả vàng và một quả xanh thì lượng quả xanh giảm đi 0.

Nếu nó ăn 2 quả vàng thì lượng quả xanh giảm đi 0.

Nếu nó ăn 2 quả xanh thì lượng quả xanh giảm đi 2.

Mình lập ra $\boxed{{Topic}}$ nhằm mục đích ôn đội tuyển đi thi học sinh giỏi lớp 9

Mọi người làm bài nhiều vào nhé chứ thấy toàn đề bài thế này

Vì lập $\boxed{{Topic}}$ lần đầu nên lời lẽ nó không hay lắm mong mọi người thông cảm nha.

Trước hết là ôn lại 1 vài bài lớp 8(ai có bài nào thì post hết vào nha mình không có nhiều bài lắm đâu )

Bài 1: Cho đa thức $A(x)=ax^{2}+bx+c$. Tìm b để đa thức $A(x)$ chia cho $(x+1)$ và $(x-1)$ có cùng số dư

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $4x^{2}+3y^{2}-4x+30y+78=0$

Bài 3: Một người đi xe máy trên quãng đường có chiều dài $S$ km. Trong nửa thời gian đầu, người đó đi đoạn đường $S_{1}$ với vận tốc $40km/h$. Trên đoạn đường còn lại, người đó đi nửa quãng đường đầu với vận tốc $V_{2}=80km/h$ và trong nửa quãng đường cuối đi với vận tốc $V_{3}$. Biết vận tốc trung bình trên cả quãng đường $S$ là $60km/h$. Tính $V_{3}$

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có $\widehat{BDC}=30^{\circ}$. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt tia phân giác của $\widehat{ADB}$ tại M. Từ M kẻ MN vuông góc với AD, MK vuông góc với AB.

Chứng minh rằng:

a) $\widehat{MBC}=120^{\circ}$

b)Tứ giác $AMBD$ là hình thang cân

c)N,K,E thẳng hàng.

Bài 5:Tìm x

$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=-\sqrt[3]{x+3}$

Bài 4 : Điểm E ở đâu nhỉ

Bài 31:(Nguyên lí Dirichlet)

Có 1 nhóm 50 người đi xem phim buổi sáng.  Hàng dọc của rạp có 7 ghế, hàng ngang có 8 ghế. Chiều hôm đó cũng 50 người đó đi xem phim ở rạp này. Chứng minh rằng có ít nhất 2 người ngồi cùng 1  hàng ngang cả sáng lẫn chiều. 

MÌnh còn chả hiểu cái đề nó ghi gì nữa.

Đọc trên Wiki thì có lẽ cách của bạn Votruc đúng rồi

Thêm một bài nữa 

Bài 35:Goi p là nửa chu vi chu vi của tam giác, a,b,c là độ dài 3 cạnh tương ứng. 

C/m $\sqrt{p} \leq \sqrt{p -a} + \sqrt{p - b}+ \sqrt{p - c } \leq \sqrt{3p}$

Bài 30:

​Cho $a_{1};a_{2};a_{3};a_{4};a_{5}\in Z$

C/m rằng $P=(a_{1}-a_{2})(a_{1}-a_{3})(a_{1}-a_{4})(a_{1}-a_{5})(a_{2}-a_{3})(a_{2}-a_{4})(a_{2}-a_{5})(a_{3}-a_{4})(a_{3}-a_{5})(a_{4}-a_{5})\vdots 144$

Với 5 số bất kì thì ta sẽ có :

          + 1 cặp số chia hết cho 4

          + 2 cặp số chia hết cho 2

          + 2 cặp số chia hết cho 3 ( Bạn tự chứng minh mệnh đề này)

Vậy tích trên chia hết cho 144 

Bài 58: Quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông

Cho hinh thoi ABCD , $\widehat{A}$ = 120 độ.

Tia Ax tạo với tia AB góc $\widehat{ABx} = 15 độ$ và cắt BC tại E cắt CD tại F.

Cmr $\frac{1}{AE^{2}} + \frac{1}{AF^{2}} = \frac{4}{3AB^{2}}$

Bài 57: 

BĐT cần c/m tương đương với (b + c)(a + b + c)² $\geq  16abc$

Áp dụng BĐT Cauchy dạng (a + b)² $\geq $ 4ab

$\Rightarrow$ VT $\geq $ 4a(b + c)²$\geq $  16abc

Bài 58: Quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu trong tam giác vuông

Cho hinh thoi ABCD , $\widehat{A}$ = 120 độ.

Tia Ax tạo với tia AB góc $\widehat{ABx} = 15 độ$ và cắt BC tại E cắt CD tại F.

Cmr $\frac{1}{AE^{2}} + \frac{1}{AF^{2}} = \frac{4}{3AB^{2}}$

Ai làm hình đi.

Còn không làm được thì để mình làm     

Bạn làm kĩ lưỡng hơn thì sẽ thấy chứng minh đã bị sai

Bài mình sai ở chỗ nào nhỉ.

Cộng 2 BĐT đầu lại thì trừ đi so với cái cần chứng minh sẽ là BĐT thứ 3

Bài 44,45 thì mình đăng lên để bạn nào siêu siêu chém hộ mình  còn bài 46 thì tự chế đăng lên xem ai giải được không thôi 

Spoiler

Mà topic tối nay vui ghê ha nhận thông báo mệt nghỉ luôn   

Công nhận. Mà max thông báo là 30 phải không nhỉ ??    

Bài 56:

$\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1 \geq 2\frac{x}{y}; \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1 \geq 2\frac{y}{x}$

Mà $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} -2 \geq 0 $.

Cộng 3 BĐT trên ta có đpcm

mình ko hỉu lắm

Áp dụng công thức $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$