Cho $\Delta ABC$ có $\angle C$ không nhọn. Đặt $BC = a, CA = b, AB = c$. Hãy tìm GTNN của:
$P = (1 + \frac{a}{b})(1 + \frac{b}{c})(1 + \frac{c}{a})$
Vì $\angle C \geq 90^{o}$ nên $c^{2} \geq a^{2} + b^{2} \geq \frac{(a + b)^{2}}{2} \Rightarrow c \geq \frac{a + b}{\sqrt{2}}$
Ta có:
$P = 2 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + (\frac{c}{a} + \frac{c}{b}) \geq 4 + \frac{4c}{a + b} + \frac{a + b}{c} = 4 + (\frac{2c}{a + b} + \frac{a + b}{c}) + \frac{2c}{a + b} \geq 4 + 2\sqrt{2} + \frac{\frac{2(a + b)}{\sqrt{2}}}{a + b} = 4 + 3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại $C$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhxtanh1879: 26-09-2015 - 13:16