ý tưởng trâu quá ! 

bài 1 thực ra rất dễ , thay y bởi x thì 2xf(x)=2xf(x)^2 suy ra f(x)= 0 hoặc bằng 2 với mọi x khác 0 

cho x=0 vào bài thì có ngay f(0)=0 hoặc 1
néu f(1)=1 thay y=1 thì có x+f(x)=(x+1)f(x) suy ra f(x)=1 với mọi x khác 0
và f(0)=0 hay 1 đều ok , thử lại thấy đung
nếu f(1)=0 cho x=1 thì được f(y)=0 với mọi y 

hôm trc vừa có thằng hỏi a bài này , đây là một dạng dồn biến của a cẩn , bài này phải dồn về hai biến bằng nhau 

cách 2 cho bài 1 rất ngắn gọn 
giả sử trong 3 số abc có 2 số a và b cùng phía với 1 khi đó ab+1 >= a+b tức là a+b <= 1/c+1 
do vậy ta chỉ cần chứng minh 
sigma 1/a^2 + 3>= 2/c +2c+2 
áp dụng am gm 1/a^2+1/b^2 >= 2/ab =2c vậy ta chỉ cần cm 1/c^2 +3 >= 2/c +2 đúng theo am gm

 bài 2 cũng dùng dirichlet thôi

bài này sai đề , phải có điều kiện nữa 

p(0)=0.f(0)-1 =-1

đề chắc là f(n)=1/n 
xét p(x)=xf(x)-1 thì có bậc 2001 có 2001 nghiệm nên p(x)=q(x-1)(x-2)...(x-2001) thay x=0 thì p(x)=-1 =-q.2011! thì q =1/(2011)! thay vào tính đc p(2002) thì cũng tính đc f

(2002)

bài 1 có liên quan đến hàm phần nguyên , mình cũng ko nhớ rõ nhưng chỉ cần biết hàm còn bước quy nạp đơn giản

thanh niên viết nhầm đề rồi

đạo hàm suy ra hiển nhiên

a có một đống nhưng toàn trong vở thôi , e hỏi mấy bạn học thêm thầy đức thì có đấy

bạn có thể tìm hiểu về số e , e là giới hạn của số này khi cho m tiến đến vô cùng 
 

quên mất , xin lỗi bạn 
bài này chỉ là 1 dạng của phương trình hàm cauchy thôi 
dễ thấy f là toàn ánh suy ra tồn tại t sao cho f(t)=0 thay x=y=t đc ngay f(0)=0
cho x=0 thì được f(f(y)=y

đặt f(y)=m thì f(m+x)=f(m)+f(x) 
trong tiêu chuẩn hàm cauchy thì f cộng tính bà f bị chặn khi x bị chặn đủ kết luận f(x)=ax thử lại được f(x)=+-x

bày này dụng cộng tình và bị chặn là xong , f(x)=x là hàm duy nhất

dễ thấy f(1)=2 khi thay y=1 
nếu f(1/2)=t >1 thay y=1/2 thì ta có f(tx)=1/2f(2x) do t>1 nên f(tx)>f(x) suy ra 2f(x)<f(2x) thay x=1/2 ta có f(1)>2f(1/2) suy ra 2>2t suy ra t<1 vô lý

nếu t<1 cũng tương tự ta có f(x) >1/2f(2x)  suy ra 2t>2 vô lý vậy f(1/2)=1 chú ý do f(0)=0 mà f(1)=2 nên f(x) >0 với mọi x>0

đến đây dễ rồi cho y=1/2 ta có 2f(x)=f(2x)
có ngay f(2)=4 cho x=1 thì có f(f(y)=4y 
thay y bới f(y) vào đầu bài được f(x.4y)=2f(y).f(2x)

đặt f(x)=2.g(x) thì có g(xy)=g(x).g(y) hàm cơ bản đơn điệu thì có ngay g(x)=x suy ra f(x)=2x với mọi x thuộc R

http://diendantoanho...131500-fxfyyfx/

đề thi của nhật năm nay , cậu tự tìm hiểu thêm 

đạo hàm 

vâng ấn độ vs nhật giống nhau mà , bài này k=4 dùng cauchy schwarz

 với schur

trước tiên dễ thấy f là toàn ánh và tồn tại t để f(t)=0 thay x =y=t ta có f(t^3)=t=f(t)^3 =0 suy ra t =0 
vậy f(0)=0 , cho x=0 thì có ngay f(f(y)=y với mọi y thuộc R
từ đó tay y bởi f(y) vào bài được ngay hàm cộng tính trên R

cho y=0 thì đc f(x^3)= f(x) ^3 

cho x=1 y=0 thì có ngay f(1)=1 hoặc f(1)=-1
nếu f(1)=1 thì thay y=0 x bởi x +1 và sử dụng tính chất cộng tính thì có ngay f(x^2)=f(x)^2 suy ra f(x).=0 với mọi x>=0 
từ đây suy ra f(x)=x
nếu f(1)=-1 thì thay y =0 và x bởi x+1 suy ra f(x^2)=-f^2(x) suy ra f(x) <=0 với mọi x>=0 suy ra f(x)=-x

 

Giả sử $a=\max \{a;b;c\}$

Ta cm:

$\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge \sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

Thật vậy áp dụng Holder có:

$VT^2.[b^2(c+a)+c^2(a+b)]\ge (b+c)^3$

Cần cm: $a(b+c)^2\ge b^2(c+a)+c^2(a+b)\Leftrightarrow bc(2a-b-c)\ge 0$ (Luôn đúng)

 

$\Rightarrow \sum \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}\ge \sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}$

 

 

Tiếp theo $9\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{a+b+c}}\ge \dfrac{9\sqrt{a(b+c)}}{a+b+c}$

 

Ta cần cm $f(t)=t+\dfrac{9}{\sqrt{t+2}}\ge 6$

Trong đó $t=\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b+c}{a}}\ge 2$

 

 

Làm thế được không anh cachuoi Tuấn Anh

 

sao biết là a thế ?làm vậy ổn rồi  

 dbài toán quen thuộc
dồn biến về 1 số bằng 0
giả sử a>=b>=c 
cm f(a;b;c)>=f(a;b;0)
sau đó xét hàm 
chú ý sigma (căn (a/(b+c))>= căn (a/b)+căn (b/a) cái này rất đơn giản trong sách a cẩn có nhiều , bạn tự tham khảo hoặc tư chứng minh

xl bạn , viết nhầm , với mọi x>=0 thì f(x)>=0 (trong trường  hợp f(1)=1) từ đây sd pth cauchy thì có f(x)=x
tương tự trường hợp còn lại