Với $0 \leq x, y, z \leq 1$ . Chứng minh rằng : $2\left ( x^{3} + y^{3} + z^{3} \right ) - \left ( x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x \right ) \leq 3$

Vì $0\leq x,y,z\leq1$ nên $(x^2-1)(y-1)+(y^2-1)(z-1)+(z^2-1)(x-1)\geq0$$\Leftrightarrow -x^2y-y^2z-z^2x\leq 3-(x+y+z+x^2+y^2+z^2)\leq 3-2(x^3+y^3+z^3)\Rightarrow 3\geq 2(x^3+y^3+z^3)-x^2y-y^2z-z^2x$

sao lại có bđt : $2\left ( x^{3} + y^{3} + z^{3} \right ) \leq x + y + z + x^{2} + y^{2} + z^{2}$ hả bạn??

Vì $0\leq x,y,z\leq 1\Rightarrow x\geq x^3, x^2\geq x^3$ những cái còn lại tương tự

$Cho a , b , c thoả mãn : a + b + c = 3 . Chứng minh : A = \frac{a^{2}}{a + 2b^{2}} + \frac{b^{2}}{b + 2c^{2}} + \frac{c^{2}}{c + 2a^{2}} \geq 1$

$\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}= a+b+c-(\frac{2ab^2}{a+2b^2}+\frac{2bc^2}{b+2c^2}+\frac{2ca^2}{c+2a^2})\geq 3-(\frac{2(ab)^\frac{2}{3}}{3}+\frac{2(bc)^\frac{2}{3}}{3}+\frac{2(ac)^\frac{2}{3}}{3})$

Dễ CM được $(ab)^\frac{2}{3}+(bc)^\frac{2}{3}+(ac)^\frac{2}{3}\leq \frac{(a+ab+b)+(b+bc+c)+(a+ac+c)}{3}\leq 3$

Thay vào được đpcm

Rút gọn giúp ạ : $P = \frac{a^{2} + \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} + 1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1$ 

$\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a^3}+1)}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}(2\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+1=\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-2\sqrt{a}-1+1$

$=a-\sqrt{a}$

Bài 8 Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+2b-c>0 và $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac+2$.Tìm GTLN của biểu thức: 

P=$\frac{a+c+2}{a(b+c)+a+b+1}-\frac{a+b+1}{(a+c)(a+2b-c)}$

Cho a+b+c=3, a, b, c là các số không âm

CM $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c{2}}$+$\frac{2009}{ab+bc+ac}\geq 670$

 

Ta có:$ab+ bc+ ac\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac)\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\geq ab+bc+ac$

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{2009}{ab+bc+ac}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{2007}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2007}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=670$

Bài 14

Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn: x + y + z > 0.Tìm GTNN của biểu thức:

$P=\frac{x^3+y^3+16z^3}{(x+y+z)^3}$

Đặt  $\frac{x}{x+y+z}=a,\frac{y}{x+y+z}=b,\frac{z}{x+y+z}=c$, ta có

$a+b+c=1$

$a^3+b^3+16c^3= (a+b)^3-3ab(a+b)+16c^3\geq \frac{1}{4}(a+b)^3+16c^3=\frac{1}{4}(1-c)^3+16c^3$

Đến đây sử dụng đạo hàm  với $c\in [0;1)$ là xong

(D- 2007) Cho $a\geq b> 0$ . CMR: $\left ( 2^{a} +\frac{1}{2^{a}}\right )^{b}\leq \left ( 2^{b} +\frac{1}{2^{b}}\right )^{a}$

(Dự bị A- 2005) CMR $\forall x,y> 0$ ta có : $(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{y}{\sqrt{y}})^{2}\geq 256$

(B- 2005) CMR $\forall x\epsilon R$ ta có : $\left ( \frac{12}{5} \right )^{x}+\left ( \frac{15}{4} \right )^{x}+\left ( \frac{10}{3} \right )^{x}\geq 3^{x}+4^{x}+5^{x}$

Câu B-2005 

$(\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{10}{3})^x+(\frac{10}{3})^x+(\frac{12}{5})^x\geq 2(3^x+4^x+5^x)\Rightarrow (\frac{12}{5})^x+(\frac{15}{4})^x+(\frac{10}{3})^x\geq 3^x+4^x+5^x$

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn:$a+b+c=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

CM: $ab+bc+ca\geqslant \frac{-1}{8}$

$a+b+c=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow (a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc=a+b+c\Rightarrow ab+bc+ac=\frac{(a+b+c)^2-(a+b+c)}{2}$

Đặt a+b+c=t, ta có $\frac{t^2-t}{2}\geq -\frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{4t^2-4t+1}{8}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(2t-1)^2}{8}\geq 0$ (BĐT luôn đúng)

Bài 46.

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn, có các cạnh a,b,c và x,y,z là độ dài các đường phân giác trong tương ứng.CMR

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

 

Cho $\Delta ABC$ có độ dài 3 cạnh là $a,b,c$ , chu vi $2p$

C/m:

                                     $\frac{abc}{8}\geq (p-a)(p-b)(p-c)$

Theo BĐT Côsi, ta có $(p-a)(p-b)\leq (\frac{p-a+p-b}{2})^2=\frac{c^2}{4}$. Tương tự, làm như trên rồi nhân lại với nhau, ta được điều phải chứng minh

Bài 9, Cho các số tự nhiên $n>1$ và $n+2$ số nguyên dương $a_{1} ,a_{2} ,....a_{n+2}$ thỏa mãn điều kiện:

$1\leq a_{1}<a_{2}<...<a_{n+2} \leq 3n$

Chứng minh rằng luôn tồn tại hai số $a_{i},a_{j} (1\leq j<i \leq n+2)$ sao cho:

$n<a_{i}-a_{j}<2n$

Đang tập trung thi đầu năm nên không muốn nạp tiền thôi

Thi gì vây? 

em ném đá bác =)) không ném đá bức ảnh hay người trong ảnh =))

ném cẩn thận không vỡ màn hình máy tính đấy 

Ảnh từ hồi lớp 6  , khuôn mặt đáng thương 

nhìn cũng thấy handsome đấy   

ảnh mình chụp ở Tam Đảo với lớp tháng 6 vừa qua    

NẮNG     

Và CHÁY     

Sao chụp ảnh mà lại không có mặt vậy 

Một năm 1 lần thôi,mà đi máy bay chán chết đi được,ưu điểm là cô tiếp viên xinh thôi 

Sao đi nhiều vây, anh đến bây giờ mới chỉ được đi có 1 lần 

Nàng tiên cá phiên bản đuôi bằng chiếu   

cách đây vài hôm nó đòi set rela trên fb với anh =))

lúc đấy chả biết nó có âm mưu gì đen tối hay dâm dê bẩn bựa không nhưng vẫn chiều =))

 

ừ ._. thật ảm ảnh ._.

 

thế mà có bác béo nào đòi set rela ấy =))

chú phải cẩn thận đấy 

năm ngoái bay ra Bắc 1 lần ._. đúng lúc bị sổ mũi ._. đi 1 lần đó đủ ớn rồi ._.

đi máy bay ù hết tai 

Bài 5

Gọi N(a;10-4a)

Gọi điểm đối xứng với N qua E là F, F thuộc AB và E là trung điểm của FN

vậy F(6-a;4a-18)

Vì FE vuông góc với FM nên tích vô hướng của chúng bằng 0. Từ đây tìm ra a rồi tìm ra phương trình AB

Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình là x-3y=0 và x+5y=o. Đỉnh C nằm trên đường thẳng x+y-2=0 và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ C đi qua điểm E(-2;6)

Thôi, không được làm thì ủng hộ mấy bài.

Bài 6. Tính tổng

a,$S=\frac{1}{1.2.3.4}+\frac{1}{2.3.4.5}+...+\frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$

b, $S=1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)$

Bài 7 Tìm nghiệm tự nguyên dương của PT

a,$2^x=3^y+1$

b,$\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=3$

Bài 127: Cho 0< x< 1. CMR:

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{2}$

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+2\sqrt{2}\Leftrightarrow (\frac{2}{1-x}-2)+(\frac{1}{x}-1)\geq 2\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{2x}{1-x}+\frac{1-x}{x}\geq 2\sqrt{2}$

Luôn đúng theo BĐT Cô-si

Bài 104:Cho $a,b,c>0$ thỏa $abc=1$.Chứng minh

$\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\leq 1$

P/S:các bạn còn cách nào khác ngoài dùng bdt $a^3+b^3\geq ab(a+b)$ không?

Còn cách này nữa, nhưng dài lắm

Đặt $a^3=\frac{x}{y},b^3=\frac{y}{z},c^3=\frac{z}{x}$

$VT=\sum \frac{1}{\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+1}=\sum \frac{1}{\frac{xz+y^2+yz}{yz}}= \sum \frac{yz}{xz+y^2+yz}= \sum \frac{yz(xz+x^2+yz)}{(xz+y^2+yz)(xz+x^2+yz)}\leq \sum \frac{yz(xz+x^2+yz)}{(xz+xy+yz)^2}=\frac{(xy+yz+xz)^2}{(xz+xy+yz)^2}=1$

Đi thi mà làm cách này thì lâu lắm