2x^2 - 4xy +y^2 = -1
3x^2 + 2xy + 2y^2 = 7

Vt (1) nhân 7= (-1) nhân VT (2) suy ra hệ đẳng cấp

chính mình cũng thấy lạ khi thầy cho đề. Bởi nếu là x thì dùng hàm phát là ra, đằng này... ) Hỏi lại thì thầy bảo đề đúng :v

k chắc nữa. mình giải bài này rồi với x chứ k phải y bạn nhé. nếu là y thì bạn cứ hỏi thầy cách giải ntn xem sao       

Giải hệ: 

$\left\{\begin{matrix} (2x+\sqrt{1+4y^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}}=1 & & \\ x\sqrt{x-y-xy+1}=2xy+x-y+1& & \end{matrix}\right.$

bạn có nhầm chổ màu đỏ không? x hay y? nếu là x thì giải như sau :

$(1)<=>2x+\sqrt{1+4x^2}=-y+\sqrt{1+(-y)^2}=>2x=-y$      

ta quan tâm đến phương trình đầu của hệ có thể sử dụng pp hàm số, (ptr thứ 2 chẳng liên quan để có thể kết hợp và cũng không thể giải nó trước, chỉ có thể xử lí ptr đầu ) đưa được về tới đây :

  $f(x)\sqrt{x+2}+b.f(x)=g(y).\sqrt{y+1}+b.g(y)$         (*)         ,(trong 2 căn thức đã vd cụ thế hệ số và số không kèm theo biến, ghi tổng quát nhìn ngu ngu nên cho đại số, m.n thông cảm . Với x+2 và y+1 không thuộc hàm f(x) và g(y) )

giả sử ta nhẩm nghiệm được của hệ đã cho và ta suy ra được mối quan hệ như sau :

Giả sử hệ có nghiệm $\begin{cases} & x=2 & y= 3 \end{cases}$ 

suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi 

$\sqrt{x+2}=\sqrt{y+1}$ được không mấy huynh? 

ps: t đã thử dùng tổng quát đưa về f(u)=f(v) nhưng đã thất bại , chứng minh VT>= k ,VP<= k cũng out luôn .chỉ đưa được về dạng (*) thôi. mong được sự chỉ dẫn của a c e .      

Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:

Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$

 

cm bổ đề kĩ xíu dc k bạn? mình chưa rõ lăm. 

  Thế nào là bất đẳng thức thuần nhất?Nói nôm na nó là như thế nào?

  Kĩ thuật chuẩn hóa?

chuẩn hóa hình như là bậc của 2 vế bằng nhau, khi đó có thể đặt a+b+c=k , abc=m , ab+bc+ac=n.... tùy vào bai toán mà đặt cho dễ giải. chẳng bk có sai gì không nữa. xin chỉ giáo        

Mọi người cm chi tiết giùm mình bài này đi, và đừng dùng kí hiệu tổng nha, mình chưa quen.

Cho x, y, z > 0. Chứng minh:

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{{{\left(x+y+z\right)}^{2}}}{{{\left( xy+yz+zx \right)}^{2}}}$ 

$\frac{x^2}{xy+yz}+\frac{y^2}{yz+xy}+\frac{z^2}{xz+yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(xy+yz+xz)^2}$      

cho x,y,z >2 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.CMR:(x-2)(y-2)(z-2)\leq 1$

p/s: trong cuốn BDT của anh Cẩn giải, nhưng chổ màu đỏ này t chưa hiểu, m.n giải thích giúp t với. tks       

đặt x=a+2,y=b+2,z=c+2. a,b,c>0 suy ra ta có BDt sau: $abc\leq 1$

với a,b,c dương thỏa : $\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}=1<=>\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}=1$

cho a,b,c dương thỏa a+b+c=3.CMR:

$\sum \frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sum \sqrt{a})}$

cho a,b,c dương, a+b+c=3. CMR:

$\sum \frac{a(a-2b+c)}{ab+1}\geq 0$        (*)

p/s:giải vầy đúng không m.n?

+ ta có: (*) tương đương 

$\sum \frac{a^2}{ab+1}+\sum \frac{ac}{ab+1}+2\sum \frac{1}{ab+1}\geq 6$

+ theo gt, có :a+b+c=3 => ab+bc+ac<=3

+ mặt khác:

$\sum \frac{a^2}{ab+1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ac+3}=\frac{3}{2}$

$2\sum \frac{1}{ab+1}\geq \frac{18}{ab+bc+ac+3}=3$

 => cần CM: $\sum \frac{ac}{ab+1}\geq \frac{3}{2}$

 + ta có:

$\frac{ac}{ab+1}+\frac{ab+1}{4a}+\frac{c^2}{2}\geq \frac{3c}{2}$

$\frac{bc}{ac+1}+\frac{ac+1}{4c}+\frac{b^2}{2}\geq \frac{3b}{2}$

$\frac{ab}{bc+1}+\frac{bc+1}{4b}+\frac{a^2}{2}\geq \frac{3a}{2}$

 cộng vế theo vế có:

$\sum \frac{ac}{ab+1}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{a}+\sum \frac{a^2}{2}+\sum \frac{a}{4}\geq \sum \frac{3a}{2}=>\geq \sum \frac{ac}{ab+1}+\frac{3}{4}+\frac{3}{2}\geq \frac{15}{4}=>\sum \frac{ac}{ab+1}\geq \frac{3}{2},(dpcm))$

Mình cũng cauchy.schwarz 

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2=(\sum \sqrt {(a+c)\frac{a}{(a+b)(a+c)}})^{2}\leq( \sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})$

ờ hay.

Theo mình nghỉ thì nếu pt theo cách của bạn thì bđt

$(a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}$ ko đúng vì khi thay bộ (1,1,3)

Còn cách pt dưới thì cũng đối xứng hóa và cm đc bđt sau đúng

vậy đánh giá sao mà ra $\sum (a+c)\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)}$??

1 BDT hoán vị nổi tiếng giải = AM-GM.

Vs mọi a,b,c dương, ta luôn có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

p/s:

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}=>2(\sum (a(a+c)(a+b)))\leq 3(a+b)(b+c)(c+a)=3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

 tới đây bít rồi, heo mi!!!

Ta có

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (\sum (a+c))(\sum \frac{a}{(a+b)(a+c)})=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{(a+c)(b+c)(c+a)}$

Suy ra cần cm

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Bđt này đúng vì

$8(a+b+c)(ab+bc+ac)=8(a+b)(b+c)(c+a)+8abc\leq 9(a+b)(b+c)(c+a)$

Từ đó có đpcm

Đẳng thức khi a=b=c

có sự pt khác nhau, bạn nói rõ hộ mình cái. tks

1 BDT hoán vị nổi tiếng giải = AM-GM.

Vs mọi a,b,c dương, ta luôn có:

$\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}}\leq \frac{3}{\sqrt{2}}$

p/s:

$(\sum \sqrt{\frac{a}{a+b}})^2\leq (a+b+c)(\sum \frac{1}{a+b})\leq \frac{9}{2}=>2(\sum (a(a+c)(a+b)))\leq 3(a+b)(b+c)(c+a)=3(a+b+c)(ab+bc+ac)-3abc$

 tới đây bít rồi, heo mi!!!

vì $ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+ca^{2}+ac^{2}\geq 6abc$

oofh. sr bạn.       give you 1 like

Xét hiệu:

$8(a+b+c)(ab+bc+ca)-9(a+b)(b+c)(c+a)=8(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc)-9(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc)=6abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)\leq 0$

$\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)\leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$

bạn mần chưa rõ chổ này nhé.

Hình như cái đầu đúng vì cái thứ 2, 3 cho số vào thấy sai còn cái 4 chưa biết

2 đề nào ngược nhau đâu bạn

$\sum a.\sum ab\leq \frac{9}{8} (a+b)(b+c)(c+a).....\sum a.\sum ab\leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)........\sum a.\sum ab\geq \frac{9}{8} (a+b)(b+c)(c+a)...........\sum a.\sum ab\geq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

4 đề luôn bạn

Ta quy đồng lên đưa bất đẳng thức về chứng minh:

$\Leftrightarrow$ $(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab) \geq 4abc\sqrt[3]{(a^{3}+b^{3})(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3})}$

$\Leftrightarrow$ $[(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)]^{4} \geq 4a^{3}b^{3}c^{3}$$.(a^{3}+b^{3})$$(b^{3}+c^{3})(c^{3}+a^{3}).(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)$

Ta lại có $[(a^{2}+bc)(b^{2}+ca)]^{2}=[c(a^{3}+b^{3})+ab(ab+c^{2})]^{2} \geq 4abc(a^{3}+b^{3})(c^{2}+ab)$

Thiếp lập các bất đẳng thức tương tự và nhân lại ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

làm dc phân nữa.      

a,b,c dương tùy ý:

ta luôn có :

 $(a+b+c)(ab+bc+ac) \leq \frac{9}{8}(a+b)(b+c)(c+a)$chổ màu dỏ đúng hay sai? cả dấu luôn, vì có 2 đề ngược nhau nên k biết s đây???

Đề sai rồi.Tại $a=b=c=1$ thì $VT=1$ mà

     làm sn mấy ngày liền

Cộng xong là ra được $(a+b+c)^{2}=9$ đó bạn

má 9/9=1 mà ??? phải cm <=3/2 chứ?

cũng định tính đạo hàm nhưng lười quá :3 nghĩ xem có cách nào nhanh hơn k

      . học toán là k có lười dc bạn nhé  

được đấy :v nhưng nghe vẻ tính đạo hàm hơi vất bài này liên hợp được nhưng mình chưa chứng minh được pt sau vô nghiệm.

   thử xét đạo hàm của ptr sau khi liên hợp xem sao? hoặc biến đổi tương đương đưa về điều đúng

cho a,b,c dương. CMR:

$\sum \frac{1}{2a+b+c}\leq \sum \frac{1}{a+3b}$