Bài này cũng khá đơn giản thôi, nhìn qua hệ ta có thể suy ra từ phương trình $(1)$ để đưa ra mối quan hệ của $x$ và $y$ rồi thế vào hệ $(2)$

ĐKXĐ: $x\geq 0,y\geqslant 0$

Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}\Leftrightarrow \sqrt{x^2-xy+y^2}-y=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{x^{2}-xy+y^{2}-y^{2}}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=\sqrt{y}-\sqrt{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{a(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}+y}=-(\sqrt{x}-\sqrt{y})$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}\sqrt{x}=\sqrt{y} &  & \\ \dfrac{x(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}}}+1=0(*) &  & \end{bmatrix}$

Hệ $(*)$ vô nghiệm vì $x,y$ luôn dương, từ đó suy ra $x=y$ rồi chỉ việc thế vào $(2)$

Công việc đến đây đã nghẹ hơn hẳn 

 

 

đúng là rất dễ dàng cho ta tìm ra mối quan hệ x=y ngay ở ptr đầu. nhưng hãy làm nốt vế sau khi đã thay x=y vào ptr sau, điều quan trọng là đây,1 nghiệm thực và 1 nghiệm vô tỉ. và làm sao để bài giải dc đẹp,gọn. thân       

đóng góp:

3/ giải hệ :
$\sqrt{x^2-xy+y^2}+\sqrt{x}=y+\sqrt{y}$
$\sqrt{5x^2+4x}-\sqrt{x^2-3x-18}=5\sqrt{y}$

đóng góp :

18/ giải hệ :

$(x^2+x)y^2-4y^2+y+1=0$

$x^2y^3+x^2y^2-4y^2+xy+1=0$

19/ giải hệ :

$(x^2+y^2)(x+y+1)=25y+25$

$x^2+xy+2y^2+x-8y=9$

Lấy $(2)-(1)$ ta được: $x^{2}y^{3}-y^{2}x+xy-y=0\Leftrightarrow y(x^{2}y^{2}-xy+x-1)=0$

Tới đây ai có ý gì không

khúc sau làm ntn nhỉ? 

75) $2\sqrt{-2x^2+5x+7}=x^3-3x^2-x+12$ (1)
 

dk:  $x\epsilon \left [ -1;3,5 \right ]$

(1) tương đương : $6\sqrt{-2x^2+5x+7}=3(x^3-3x^2-x+12)$

ta có $-2x^2+5x+16\geq 6\sqrt{-2x^2+5x+7}=>-2x^2+5x+16\geq 3(x^3-3x^2-x+12)=>(x-2)^2(3x+5)\leq 0$ 

do dk nên 3x+5>0

dtxr khi -2x^2+5x+7=9 và $(x-2)^2=0$=>x=2

thử lại nhận nghiệm.      

88: giải hệ : 

 $\begin{cases} & (7x+y-2)\sqrt{xy+9}=3x(x+y)+11x+y+10 \\ & 2x+6=(xy-5x-y+5)\sqrt{x-1}y-6 \end{cases}$

Em khoái làm theo cách số phức. Lên google tìm mà chưa thấy bài nào nói kỹ về phương pháp này.
Em thấy nó khá độc đáo. Nhưng không biết còn dạng nào giải bằng số phức được? Anh Thành post lên cho mọi người tham khảo nhé .
Xin trình bày cách sử dụng số phức: ( Bài của anh Thành )

Nhân 2 vế PT 2 với $i$ rồi cộng lại ta được:

\[\begin{array}{l}
x + yi + \frac{{3x - y - \left( {x + 3y} \right)i}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow x + yi + \frac{{3\left( {x - yi} \right) - i\left( {x - yi} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow x + yi + \frac{{\left( {3 - i} \right)\left( {x - yi} \right)}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\
\Leftrightarrow z + \frac{{\left( {3 - i} \right)\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} - 3 = 0;\,\,\left( {x + yi = z} \right) \\
\Leftrightarrow z + \frac{{3 - i}}{z} - 3 = 0\,\,\,;(z.\overline z = {\left| z \right|^2}) \\
\Leftrightarrow {z^2} - 3z + 3 - i = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = 2 + i \\
z = 1 - i \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2;y = 1 \\
x = 1;y = - 1 \\
\end{array} \right. \\
\end{array}\]
@anh Thành :Anh ơi, sao em vào Bài #1 để xóa mấy cái Tag đi, xong Lưu thay đổi thì lại bị ghi là Tiêu đề quá dài. .

t thắc mắc ở chổ này tại sao không phải xi mà là yi? vì ở ptrinh 2 đâu có y đâu?

\[\begin{array}{l}
x + yi + \frac{{3x - y - \left( {x + 3y} \right)i}}{{{x^2} + {y^2}}} = 3 \\

thêm 2 cái dấu $ ở đầu và cuối là gõ đc công thức nha bạn!

s t thêm vào mà nó k có ra dc vậy bạn?       

 

sorry mọi người mình viết đề nhầm:4x^{2}=(\sqrt{x^{2}+1}+1)(x^{2}-y^{3}+3y-2) (1) .lời giải hoàn chỉnh của bài toán này như sau:

giải phương trình (2) đươc:y=2 hoặc:x^{2}+y^{2}=1

  thay y=2 vào (1) giải bình thường

  Còn:x^{2}+y^{2}=1.Xét:

.nếu x=0 thay vào(1) giải bình thường

.nếu x khác 0, ta có:0\leq x,y\leq 1 (do x^{2} +y^{2}= 1)

(1)tương đương:\frac{4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+1}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Rightarrow \frac{4x^{2}(\sqrt{x^{2}+1}-1)}{x^{2}}= x^{2}-y^{3}+3y-2

\Leftrightarrow 4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2= 0

ta c/m:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}>  4(cái này đúng với mọi x thuộc đoạn -1 đến 1)

Khi đó:4\sqrt{x^{2}+1}-x^{2}+y^{3}-3y-2> y^{3}-3y+2=(y-1)^{2}(y+2)\geq 0 với mọi y thuộc đoạn/-1,1/

suy ra vô nghiệm

một lần nữa sorry mọi người

 

để nguyên khỏi sửa đề thì ra bài mới       

 

 

 

ĐK: $y \not = 0$

 

(2) $\iff (y+2)(x^2+y^2-1)=0$

 

$\iff y=-2$   v   $x^2+y^2=1$

 

Với $y=-2$ thay vào (1) ta có: 

 

$\iff 4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2+4)$

 

$\iff 4(x^2+1)-4=(\sqrt{x^2+1}=1)(x^2+1+3)$

 

Đặt $\sqrt{x^2+1}=a$

 

$\iff 4a^2-4=(a+1)(a^2+3)$

 

=> ptr vô nghiệm với a>=0

 

 

 

p/s: mình gõ latex nhưng coppy vào k hiện được, bạn nào sữa latex giúp mình với. hóng       

 

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}4x^2=(\sqrt{x^2+1}+1)(x^2-y^3+3y+2) & \\ x^2+(y+1)^2 =2\left ( 1+\frac{1-x^2}{y} \right )& \end{matrix}\right.$

 

áp dụng bđt côsi ta có :

$(a+b)(b+c)(a+c)= (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc\geqslant (a+b+c)(ab+bc+ac)-\frac{1}{9}.(a+b+c)(ab+bc+ac)= \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$

bài 1 đề đã ngược dấu rồi với lại bạn xem lại chổ màu đỏ nhé

Bài 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương tùy ý.Chứng minh rằng

                                      $(a+b+c)(ab+bc+ca) \leq \frac{8}{9}(a+b)(b+c)(c+a)$

 

2x^2 - 4xy +y^2 = -1
3x^2 + 2xy + 2y^2 = 7

Vt (1) nhân 7= (-1) nhân VT (2) suy ra hệ đẳng cấp

Bạn ơi mình làm được $f(2x)=f(\sqrt{2y+1})$ như bạn nói với điều kiện $(y-1)\sqrt{2y+1}$ phải nằm bên vế phải, còn như đề chuyển vế thì nó cấn dấu "âm". Không biết mình có nhầm lẫn ở đâu không?

sr bạn nha . f(-2x)=f(căn 2y+1) bạn nha

Giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 4x^3-3x+(y-1)\sqrt{2y+1}=0\\2x^2+x+\sqrt{-2y^2-y} =0\end{matrix}\right.$

(1) nhân 2=> f(2x)=f(căn (2y+1))       

Hì, cảm ơn bạn nhiều. Chỉ cần thêm dấu âm vào chỗ 2x, thế mà mình nghĩ không ra

Trước hết ta có một bổ đề quen thuộc:

Với x,y,z>0 thì $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} \geq 3(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)$

 

cm bổ đề kĩ xíu dc k bạn? mình chưa rõ lăm. 

Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh

 

$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a}{2b+2c}}+\sqrt{\dfrac{b}{2c+2a}}+\sqrt{\dfrac{c}{2a+2b}}\ge 3$

thử cách này xem sao       

$a+b+c=3 => b+c=3-a => \frac{a}{b+c}=\frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{4}a-\frac{3}{4}$

tương tự với 2 cái b,c , cộng vế theo vế được :$\sum \frac{a}{3-a}\geq \frac{3}{2}$ (1)

$2b+2c=6-2a=>\sqrt{\frac{a}{2b+2c}}=\sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{8}a+\frac{1}{8}$

tương tự với b,c , cộng vế theo vế có : $\sum \sqrt{\frac{a}{6-2a}}\geq \frac{3}{2}$ (2)

cộng (1) với (2) ta có dpcm

Giải hệ PT:

$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x+y} +\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2} \\ \sqrt[3]{9xy+3x+6y+9}+2\sqrt[3]{6xy+2}=3x+4 \end{matrix}\right.$

p/s: đây là bài trong đề thi HSG lớp 12 môn Toán tỉnh Thanh Hóa

dk: x,y>0 hoặc x,y<0 

$(1)<=>\frac{(x-y)^2}{2(\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy})}=\frac{(x-y)^2}{2(x+y)}$

<=>x=y (*)

hoặc $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y,(**)$

xét (**), có : $+ x,y<0=>\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}>0>x+y,(loai)$

                  + x,y>0=> $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}+\sqrt{xy}=x+y=> x+y\geq 2\sqrt{xy}=>(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0$

DTXR khi và chỉ khi : $\left\{\begin{matrix} & x=y\\ & (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2=0 \end{matrix}\right.=>x=y$

   thay x=y vào (2), có :

     

Đến đây có suy ra được gì đâu bạn

dùng cosi là sai rồi

t chỉ rút gọn bước làm thôi bạn. để dùng bdt thì phải cm điều mình giả thuyết đúng .  t đã dùng cauchy thì t phải c/m suy luận t đúng. bạn quy đồng lên sẽ thấy ngay điều t suy ra, đánh máy lâu nên t rút bước làm, nếu thi trình bày ngắn vầy tạch là xác định       

Tìm tham số $m$ để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

$x^4-2x^3-(2m-1)x^2+2(m+1)x+m^2+m=0$

gợi ý:

pt đã cho tương đương :

$(x^{2}-x)^{2}=2mx^{2}-2(m+1)x-m^{2}-m$

xét f(x)=VP , ta có :

$\Delta '=2m^{3}+3m^{2}+2m+1=0<=>m=-1$ thay vào ta được pt suy biến :

$g^{2}(x)=f^{2}(x)$ sẽ thỏa mãn ycbt

  Thế nào là bất đẳng thức thuần nhất?Nói nôm na nó là như thế nào?

  Kĩ thuật chuẩn hóa?

chuẩn hóa hình như là bậc của 2 vế bằng nhau, khi đó có thể đặt a+b+c=k , abc=m , ab+bc+ac=n.... tùy vào bai toán mà đặt cho dễ giải. chẳng bk có sai gì không nữa. xin chỉ giáo        

Rõ ràng sai mà bạn thay $a = \frac{3}{2}, b = \frac{1}{2}, c = 1$ ==> VT =$\frac{13}{12}$ lớn hơn 1

thấy rồi.@@

Nhầm rồi bạn ơi

BĐT trên sai

.

Cho a,b,c > 0, a+b+c = 3. CMR: 

$\frac{2}{abc} + 3 \geq 5.(\frac{1}{2a+1} + \frac{1}{2b+1} + \frac{1}{2c+1}) $

ta có $\frac{2}{abc}\geq 2=>VT/5\geq1$. vậy quy bdt về cm: 

$\sum \frac{1}{2a+1}\leq 1$