1.$\Delta ABC\sim \Delta IBJ \Rightarrow BC.BI=BJ.BA$

$\Delta AKB$ vuông tại K $\Rightarrow BC.BI=BJ.BA=BK^{2}=BE^{2} \Rightarrow \widehat{BEI}=90$

a.ABOI nội tiếp

b.$\widehat{CED}=\widehat{CBD}=\widehat{BAO}$

c.$\widehat{CED}=\widehat{BAO}=\widehat{CAO}=\widehat{OIE}\Rightarrow$ OI song song ED nên AN song song EB 

nên OI vuông góc BE

d.gọi AQ cắt (O) tại J 

nên PJ vuông góc AQ gọi H là giao của AI và PJ nên H là trực tâm 

ta có $\widehat{AIC}=\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

gọi V là giao của AP và (O)

ta có AH.AI=AV.AP=$AC^{2} \Rightarrow \frac{AC}{AH}=\frac{AI}{AC}\Rightarrow \Delta ACH\sim \Delta AIC\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{AIC}$

vậy $\widehat{ACB}=\widehat{ACH}$ 

vậy B,H,C thẳng AI cắt BC tại H 

$H\equiv F\Rightarrow J\equiv T\Rightarrow A,T,Q$   thẳng hàng

số cần tìm là $\overline{abc}$ vậy tổng các hoán vị là 

$\overline{acb}+\overline{bca}+\overline{bac}+\overline{cab}+\overline{cba}=2536$

$\overline{acb}+\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{bac}+\overline{cab}+\overline{cba}=2536+\overline{abc}$

$222a+222b+222c=2536+\overline{abc} \Rightarrow 2536+100\leq 222(a+b+c)\leqslant 2536+999 \Rightarrow 12\leqslant a+b+c\leqslant 15$

thử các truong hợp thấy a+b+c=14 thão vậy $\overline{abc}=572$

$\widehat{MDB}=\widehat{PBD}=\widehat{MBD}\Rightarrow MD=MB$

CMTT$MB=ME$$\Rightarrow MD=MB=ME=MA\Rightarrow$ BD vuông góc với AP

CMTT BE vuông góc với AQ

b. vậy AEDB là hình chữ nhật vậy $\widehat{QAP}=90$

mà $\widehat{MAD}=\widehat{MDA}=\widehat{APB}\Rightarrow$ B là trung  điểm QP

c. do AEBD là hinh chữ nhật nên $AB=DE$

trên tia đối AM lấy điểm T sao cho IT=IP

vậy $\Delta IPO=\Delta ITO\Rightarrow OT=OP\Rightarrow \Delta AOT=\Delta BOP\Rightarrow \widehat{AOI}+\widehat{BOP}=\widehat{IOP}\Rightarrow \widehat{IOP}=45$

bài toán phụ chứng minh được

số lập phương chia 7 dư 0,1,6

xét 2 trường hợp

th1 3 số dư khác nhau $\Rightarrow abc\vdots 7\Rightarrow dpcm$

th2 có ít nhất 2 số dư giống nhau do có 3 số nên $(a^{3}-b^{3})(b^{3}-c^{3})(c^{3}-a^{3})\vdots 7\Rightarrow dpcm$

do chỉ có trận thắng hoặc thua nên số trận thắng bằng số trận thua 

$\Rightarrow x_{1}+...+x_{10}=y_{1}+...+y_{10}$

mà có 45 trận nên số trận thắng bằng số trận thua bằng 45

ta có mỗi người dấu với 9 người khác nên$x_{1}+y_{1}=9\Leftrightarrow x_{1}^{2}=81-18y_{1}+y_{1}^{2} \Rightarrow x_{1}^{2}+...x_{10}^{2}=810-18(y_{1}+...y_{10})+(y_{1}^{2}+...y_{10}^{2})=810-45.18+y_{1}^{2}+...y_{10}^{2}\Rightarrow dpcm$

$\Delta KBE\sim \Delta KCF\Rightarrow \frac{KE}{KF}=\frac{BE}{BF}$

gọi giao BD và AC  là O vậy O là trung điểm AC 

giao cua AB và OE là T

giao của AF và BD là J

$\Delta ABE\sim \Delta AJO \Rightarrow \widehat{BAE}=\widehat{JAO}$

tứ giác DJCF nội tiếp 

tứ giác AOBE nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{CFA}=\widehat{JDC}=\widehat{ABD}=\widehat{AEO} \Rightarrow \Delta ATF\sim \Delta ACF\Rightarrow \frac{ET}{CF}=\frac{AT}{AC}\Rightarrow \frac{ET}{AT}=\frac{CF}{AC}$

mà $\frac{ET}{AT}=\frac{BE}{AO}\Rightarrow \frac{CF}{AC}=\frac{BE}{AO} \Rightarrow \frac{KE}{KF}=\frac{BE}{CF}=\frac{1}{2}$

gọi giao cua IJ và DC là G vậy DEGI noi tiếp

$\Rightarrow \widehat{KIM}=\widehat{EDM}=\widehat{CAB}$

mà IAJC nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CAB}=\widehat{KIC}$

mà IG vuong góc với MC vậy $\Delta MIC$ cân tại I

$\Rightarrow \widehat{MKG}=\widehat{CKG}=\widehat{CDL}$

gọi giao của KM và DL là V

$\Rightarrow \Delta DVM\sim \Delta KGM\Rightarrow$ MK vuông góc với DL

ta có $AD.AE=AH.AO=AM^{2}=AB.AC$

mà AB cố định E cố định vậy D cố dịnh

vẽ trên tia đối tia Ox lấy V sao cho VO =OB

gọi T là giao của 3 đường trung trực của $\Delta BVA$

mà $\Delta BOV$ cân nên đường trung trực của BV trùng với phân giác của góc BOV

nên là phân giác ngoài góc xOy nên cố định

gọi TM là đưởng trung trực của VA vậy MV= MA 

ta có M nằm giữa OC nên MO + OV=MC+CA

vậy MC=MO mà C cố định do OC= OA-OB

vậy T cố định mà trung trực cùa BA đi qua T vậy dpcm

ta có$\widehat{PAN}=\frac{1}{2}\widehat{PCN}=\widehat{PCD}$

CMTT $\widehat{PBN}=\widehat{PDC}$

VẬY $\Delta CPD\sim \Delta ANB\Rightarrow \widehat{ANB}=\widehat{CPD}$

MÀ CPDO là hinh binh hành nên $\widehat{CPD}=\widehat{AOB}$ không đổi

vậy N di chuyen trên cung chứa góc AOB của đoạn AB

QUI ĐỒNG

$a^{3}c+a^{2}bd+b^{2}ac+b^{3}d+2a^{2}bc+2ab^{2}d$

+$c^{3}a+c^{2}bd+d^{2}ac+d^{3}b+2c^{2}ad+2cd^{2}b$=$a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+2a^{2}cd+2b^{2}cd+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abc^{2}+2abd^{2}+4abcd$

$MA^{4}+MB^{4}=(MA^{2}+MB^{2})^{2}-2MA^{2}MB^{2}=16R^{4}-2MH^{2}.4R^{2}=16R^{4}-8R^{2}MH^{2}$

CMTT $MA^{4}+MB^{4}+MC^{4}+MD^{4}=32R^{4}-8R^{2}OM^{2}=24R^{4}$

VẬY $4MA.MB.MC.MC\leqslant MA^{4}+MB^{4}+MC^{4}+MD^{4}=24R^{4}\Rightarrow MA.MB.MC.MD\leqslant 6R^{4}$

a.BOIA nội tiếp

b.DK song song AB $\widehat{IDH}=\widehat{BAI}=\widehat{ICH}$

c.HICD nội tiếp $\widehat{HID}=\widehat{HCD}=\widehat{BED}\Rightarrow HI$ song song KE 

vậy H là trung điểm KD

 

Cho đường tròn(O), điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn.Đoạn thẳng AO cắt đường tròn(O) tại M.Trên cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D.AD cắt đường tròn(O) tại điểm thứ hai E.I là trung điểm của DE.Đường thẳng qua D vuông góc với bO cắt BC tại H và cắt BE tại K.

Chứng minh:

a)4 điểm B,C,O,I cùng thuộc 1 đường tròn

b) góc ICB=góc IDK

c) H là trung điểm của DK

 

Mong mọi người vẽ hình và giải chi tiết giúp mình nhé!

 

a.BOIA nội tiếp

b.DK song song AB $\widehat{IDH}=\widehat{BAI}=\widehat{ICH}$

c.HICD nội tiếp $\widehat{HID}=\widehat{HCD}=\widehat{BED}\Rightarrow HI$ song song KE 

vậy H là trung điểm KD 

Các bạn ơi có bài hình khó mình làm được câu a,b rồi, các bạn giải giúp mình câu c nhé!

 

Cho đường tròn(O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d.Qua M kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB tới đường tròn.Hạ OH vuông góc với d tại H.Nối AB cắt OH tại K,cắt OM tại I.Tia OM cắt đường tròn(O;R) tại E

a)CM:OH.OK=OI.OM

b)CM:E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB

c) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d để tam giác OIK có S lớn nhất 

bài này dễ có thể tự làm được mà bạn