Sử dụng tính đơn điệu để giải nhen(để chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$). Biết nghiệm $x=2$

Tìm $\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}-2}{x^2-1}$

Ta có: 

$\lim_{x \rightarrow 1} (\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}-2)=-2$

$\lim_{x \rightarrow 1} (x^2-1)=0$

$x>1 \Rightarrow x^2-1>0$

Nên $\lim_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}-2}{x^2-1}=-\infty$

Ta có:
$\lim_{x \rightarrow 1} (\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}-2)=-2$
$\lim_{x \rightarrow 1} (x^2-1)=0$
$x<1 \Rightarrow x^2-1<0$
Nên $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{\sqrt{5-x^3}-\sqrt[3]{x^2+7}-2}{x^2-1}=+\infty$

 Từ trên ta đến kết luận không tồn tại giới hạn tại điểm $x=1$

Bạn thế $x=1$ vào tử thì tử số bằng -2. Bạn thế $x=1$ vào mẫu số thì mẫu số bằng 0. Bạn chỉ cần kiểm tra giới hạn bên trái 1 và bên phải của 1 thì em sẽ có ngay kết quả ah. Nếu bạn chưa hiểu thì mình sẽ gửi bài giải cụ thể cho bạn sau.

Câu 2: 

1)

$\begin{align}
    \begin{cases}
        2x-y &= 4 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        6x-3y &= 12 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        7x &= 7 \\
        y &= 2x-4
    \end{cases}
\end{align}$

$\begin{align}
    \begin{cases}
        x &= 1 \\
        y &= -2
    \end{cases}
\end{align}$

Câu 1: 

a) 

Điều kiện:$x>0$

$A=(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$

$=(\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

$=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}.\frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}}$

$=\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{x}$

$=\frac{1-x}{x}$

b)

Điều kiện: $x>0$

$A>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1-x}{x}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1-x}{x}-\frac{1}{2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{2-2x-x}{2x}>0$

$\Leftrightarrow 2-3x>0$ do $2x>0$

$\Leftrightarrow x<\frac{2}{3}$

Vậy: $0<x<\frac{2}{3}$ thì $A>\frac{1}{2}$

 

Cảm o

 

Câu b hồi sáng bạn ra kết quả $x+\tan x+C$ (mình có trích lại ở #6), bạn mới sửa lại lúc 12:16. Mình biết bạn nhầm nên sửa lại thôi, không có ý gì đâu.

Còn câu d, bạn làm vẫn đúng, nhưng phức tạp, và kết quả vẫn còn có thể rút gọn (gặp trường hợp này thì người ta gom lại thành tổng của 2 cái $\ln$ chứ ai để thế ). Mình làm câu này chỉ là giúp cho một số bạn biết thêm một phương pháp mới, thế thôi.ơn

Cảm ơn bạn nhiều

Câu 2:

2)

a) Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(1;-3)$ có hệ số góc $k$ là: $y=k(x-1)-3 \Leftrightarrow y=kx-k-3$

+ Điểm $A \in ox \Longrightarrow A(x_A;0) \Longrightarrow A(\frac{k+3}{k};0)$

+ Điểm $B \in oy \Longrightarrow B(0;y_B) \Longrightarrow B(0;-k-3)$

b) Với $k=2$ phương trình đường thẳng $d$: $y=2x-5$

+ Suy ra tọa độ điểm: $A(-\frac{5}{2};0)$ và  $B(0;-5)$.

+ Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên diện tích tam giác $OAB$ là: $S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\vert x_A\vert .\vert y_B\vert=\frac{25}{4}$

Câu 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức: $A=(\frac{1}{x+\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}):\frac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+1}$, với $x>0$

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để $A>\frac{1}{2}$.

Câu 2: (2 điểm)

1) Không dùng máy tính hãy trình bày cách giải của hệ phương trình sau:

$\begin{align}
    \begin{cases}
        2x-y &= 4 \\
        x+3y &= -5
    \end{cases}
\end{align}$

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có hệ số góc $k$ đi qua điểm $M(1;-3)$ cắt các trục $ox$, $oy$ lần lượt tại các điểm A và B.

a) Xác định tọa độ điểm A và B theo $k$.

b) Tìm diện tích tam giác $OAB$ khi $k=2$.

Câu 3: (2 điểm)

Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu và số đảo ngược  của nó bằng $18$ (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo một thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số ngược của nó bằng $618$.

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác đều $ABC$ có đường cao $AH$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ tuỳ ý($M$ không trùng với $B$, $C$, $H$). Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh rằng: tứ giác $APMQ$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.

b) Chứng minh: $OH$ vuông góc $PQ$

c) Chứng minh: $MP+MQ=AH$

Câu 5: (1 điểm)

Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Hai điểm M, N lần lượt di động trên đoạn thẳng AB, AC sao cho $\frac{AM}{MB}+\frac{AN}{NC}=1$. Đặt $AM=x$ và $AN=y$.

Chứng minh rằng: $MN=a-x-y$.

Câu 4.b: Chứng minh: $OH \perp PQ$

Ta có: $\widehat{AHM}=90^0 \Leftrightarrow \widehat{AHM}$ nội tiếp chắn nữa đường tròn đường kính $AM \Longrightarrow H$ thuộc đường tròn $(O)$.

Ta có: $\widehat{HPQ}=\widehat{HAC}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HQ$)

           $\widehat{HQP}=\widehat{HAB}$ (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HP$)

Mà: $\widehat{HAC}=\widehat{HAB} \Longrightarrow \widehat{HPQ}=\widehat{HQP} \Longrightarrow \Delta HPQ$ cân tại $H \Longrightarrow HP=HQ (1).$

Do: $P, Q \in (O) \Longrightarrow OP=OQ (2).$

Từ $(1)$, $(2) \Longrightarrow OH$ là trung trực của $PQ \Longrightarrow OH \perp PQ$

Cảm ơn bạn nhen.

Câu 4.c: Chứng minh: $MP+MQ=AH$

Ta có:

$S_{\Delta MAB}=\frac{1}{2}.MP.AB=\frac{1}{2}.MP.BC (do AB=BC)$

$S_{\Delta MAC}=\frac{1}{2}.MQ.AC=\frac{1}{2}.MQ.BC (do AC=BC)$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AH.BC$

Mà:

$S_{\Delta MAB}+S_{\Delta MAC}=S_{\Delta ABC}$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}.MP.BC+\frac{1}{2}.MQ.BC=\frac{1}{2}.AH.BC$

$\Longrightarrow \frac{1}{2}.BC(MP+MQ)=\frac{1}{2}.AH.BC$

$\Longrightarrow MP+MQ=AH$

 

 

d)

  Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)

  $\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$

  Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$

  Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$

  $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$

  $=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.

Cách  cua bạn là thực hiện đồng nhất thức. Còn mình đang giải bài b bằng cách thêm, bợt mà. Hai cách giải như nhau mà nên cách nào cũng ra kết quả cả...

Câu 4.a: Chứng minh rằng: tứ giác $APMQ$ nội tiếp đường tròn và xác định tâm của đường tròn này.

Xét tứ giác $APMQ$ có: $\widehat{APM}=\widehat{AQM}=90^0 (gt) \Longrightarrow \widehat{APM}+\widehat{AQM}=180^0 \Longrightarrow$ tứ giác $APMQ$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $AM$.

Gọi $o$ là trung điểm của $AM \Longrightarrow$ tứ giác $APMQ$ nội tiếp được trong đường tròn tâm $O$ đường kính $AM$.

Câu 3:

Gọi số có hai chữ số cần tìm là: $\overline{ab} (a\in \mathbb{N^*}, b\in \mathbb{N}, 0<a\leq9, 0\leq b \leq 9)$

Số nghịch đảo của số ban đầu: $\overline{ba}, b\ne0$

Theo đề bài ta có hệ phương trình sau: 

$$\begin{cases} 
\overline{ab}-\overline{ba} = 18 & \color{red}{(1)} \\
\overline{ab}+(\overline{ba})^2 = 618 & \color{red}{(2)}
\end{cases} .$$

 

$$\begin{cases} 
a-b = 2 & \color{red}{(1)} \\
10.a+b+100.b^2+20ab+a^2 = 618 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

$$\begin{cases} 
a = b+2 & \color{red}{(1)} \\
121.b^2+55b-594 = 0 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

 

$$\begin{cases} 
a = 4 & \color{red}{(1)} \\
b = 2 & \color{red}{(2)}
\end{cases} $$

 

Vậy: Số cần tìm: 42

Thông cảm nhen. Từ sáng đến giờ mình làm nhiều toán quá ah. Nên nhầm chỗ cơ bản thế. Cảm ơn bạn nhiều.

b)

  $\int \tan^2xdx=\int \left ( \frac{1}{\cos^2x}-1 \right )dx=\tan x-x+C$

 

d)

  Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)

  $\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$

  Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$

  Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$

  $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$

  $=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.

 

Câu b của mình và bạn cùng một kết quả đó. Bạn xem lại xem.

Câu a. $\frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}=\frac{4}{\sin^2{2x}}$ D0: $\sin{x}.\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$

$\int \frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}dx=\int \frac{4}{\sin^2{2x}}dx=-2\cot{2x}+C$

Câu c. $\int e^{5-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{5-3x}+C$

Câu b. $\tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}-1$

$\int \tan^2{x}dx=\int (\frac{1}{\cos^2{x}}-1)dx=-x+\tan{x}+C$

Câu d. Nhận xét: ta thấy $(2x^2+3x-5)'=4x+3$ nên $x=\frac{1}{4}(4x+3)-\frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{1}{4}\frac{4x+3}{2x^2+3x-5}-\frac{3}{4}\frac{1}{2x^2+3x-5}$

$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx-\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=I_1+I_2$

$I_1=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|+C_1$

$I_2=\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=\frac{3}{4}\int (\frac{1}{7}\frac{1}{x-1}-\frac{2}{7}\frac{1}{2x+5})dx=\frac{3}{28}\ln|x-1|-\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C_2$

Vậy: $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|-\frac{3}{28}\ln|x-1|+\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C$

(kiểm tra giúp mình nhen. Tính nhiều sẽ sai sót nhiều đó.)

Bạn có thể rút $b=2-a$ thế vào $$P=\dfrac{1}{2+6a^2+9a^4}+\dfrac{1}{2+6(2-a)^2+9(2-a)^4}$$

Tìm GTNN của hàm $$f(x)=\dfrac{1}{2+6x^2+9x^4}+\dfrac{1}{2+6(2-x)^2+9(2-x)^4}$$ trên $(0;2)$

Em tự tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và quan sát bảng biến thiên kết luận.

Câu a: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan{x}}{cos^2{x}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan{x}d\tan{x}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} d\frac{\tan^2{x}}{2}=\frac{1}{2}$

Câu e, g, h mình có thể lấy trực tiếp tích phân. Đây thuộc các bài toán đơn giản chúng ta có thể lấy ngay nguyên hàm.

Câu f, g chúng ta cũng làm như vậy cho nhanh.

Câu e. $\int_0^1 \frac{5x}{(x^2+4)^2} dx=5\int_0^1 \frac{1}{(x^2+4)^2} d\frac{x^2}{2}$

$=\frac{5}{2}\int_0^2 \frac{1}{(x^2+4)^2}d(x^2+4)$

$=-\frac{5}{2}\int_0^1 d\frac{1}{x^2+4}$

$=-\frac{5}{2} \frac{1}{x^2+4}|_0^1$

$=\frac{1}{8}$