Mình chưa hiểu là tại sao lại lớn hơn hoặc bằng 0   

Bài 7 : 

_ Gọi N là đa thức cần rút gọn.

_ Xét : $N = ... = \frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{b^{4}-a^{4}}{a^{4}b^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{4}}.\frac{b^{3}-a^{3}}{a^{3}b^{3}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{b^{2}-a^{2}}{a^{2}b^{2}}=\frac{1}{(a+b)^{3}}.\frac{(b^{2}+a^{2}).(a+b).(b-a)}{a^{4}b^{4}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2}{(a+b)^{5}}.\frac{(b-a)(a+b)}{a^{2}b^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b^{3}-a^{3})}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}+\frac{2(b-a)}{a^{2}b^{2}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2b^{3}-2a^{3}+2ab^{2}-2a^{2}b}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}$

$=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(a+b)^{2}(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{4}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}+\frac{2(b-a)}{a^{3}b^{3}(a+b)^{2}}=\frac{(b^{2}+a^{2})(b-a)+2ab(b-a)}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{(b-a)(a+b)^2}{a^{4}b^{4}(a+b)^{2}}=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}} \Rightarrow N=\frac{b-a}{a^{4}b^{4}}$

Bài 6 :

a/ $x+y=a+b\Rightarrow (x+y)^{2}=(a+b)^{2}\Rightarrow x^{2}+2xy+y^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \Rightarrow xy = ab$

Có :$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2} \Rightarrow (x-y)^{2}=(a-b)^{2}\Rightarrow x-y=a-b$ hoặc $x-y=b-a$

*Với x - y = a - b, có :

$x-y=a-b; x+y=a+b \Rightarrow x=a$ Từ đó có đpcm

*Với x-y = b-a thì ta cũng có điều tương tự

Từ đây ta có đpcm

Cách này ko tổng quát, nhưng đối với bài này thì mình áp dụng cách này

b/ Đặt ab = x; bc = y; ca=x. $\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz \Rightarrow (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=0\Rightarrow(ab+bc+ca)(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0$

* Với a²b² + b²c² + c²a² - ab²c - abc² - a²bc = 0. Ta có

$(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}-ab^{2}c-abc^{2}-a^{2}bc)=0 \Leftrightarrow (ab-bc)^{2}+(bc-ca)^{2}+(ca-ab)^{2}=0\Leftrightarrow a=b=c$ 

Từ đó ta có P=(1+1)(1+1)(1+1)=8

*Với ab + bc + ca = 0 (Trường hợp này mình chưa giải đc)

C = 2x² + 2xy  + y² - 2x -2y +2 = x² + 2x(y - 1) + (y - 1)² + x² + 1 = (x + y - 1)² + x² + 1

Đến đây là dễ rồi

Nhất là bài b đó

Cố gắng đi, bài b và cách 2 bài c là đều là những cách hay ko đó ...

Nếu đề bài giống như bạn I Love MC đã nói thì bài này rất thú vị.

Mình dùng phương pháp xét giá trị riêng để giải :

Vì đây là phép chia hết nên : $m(x)=n(x).q(x)\Leftrightarrow x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)+a=(x^{2}+7x+12).q(x)$

(trong đó q(x) là đa thức thương).

Tại x = -3, có :

$m(-3)=(-3).(-3+1)(-3+2)(-3+3)(-3+4)(-3+5)(-3+6)(-3+7)(-3+8)(-3+9)+a=[(-3)^{2}+7.(-3)+14].q(-3) \Leftrightarrow m(-3)=0 + a=0.q₁(x)\Leftrightarrow a=0$

Tại x= -4, ta cũng có điều tương tự.

Vậy với a = 0 thì $m(x)\vdots n(x)$

Trong bài này mình đặt q(x) là đa thức thương chung. Còn với hai trường hợp x = 3 và x = - 4 thì mình đặt lần lượt là q₁(x) và q₂(x).

 Sở dĩ đặt : x= -3 và x = -4 là vì : (x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4). Vì nghiệm của n(x) là -3 và -4 nên mới chọn x tại hai giá trị này.  

Mình gửi thêm bài 5 :

a/ Cho a, b, c là các số dương và x, y, z là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa : ax + by + cz = 0. Chứng minh rằng Giá trị biểu thức : 

$P=\frac{ax^{2}+by^{2}+cz^{2}}{ab(x-y)^{2}+bc(y-z)^{2}+cz^{2}(z-x)^{2}}$ không phụ thuộc vào x, y, z.

b/ Biết rằng : $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}\neq 0$. Rút gọn biểu thức sau bằng cách nhanh nhất (không cần nhân các đa thức):

$A=\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{(ax + by+ cz)^{2}}$ 

c/ Viết x, y, z đôi một khác nhau, chứng minh rằng :

$\frac{(y-z)}{(x-z)(x-y)}+\frac{(z-x)}{(y-x)(y-z)}+\frac{(x-y)}{(z-y)(z-x)}=\frac{2}{x-y}+\frac{2}{y-z}+\frac{2}{z-x}$ (Giải bằng 2 cách)

d/ Biết a³ + b³ = 3ab - 1. Tính giá trị biểu thức : A = a + b

Câu 4a : $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} =a^{3}+\frac{(2ab^{3}-a^{4})^{3}-(2a^{3}b-b^{4})}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{8a^{3}b^{9}-12a^{6}b^{6}+6a^{9}b^{3}-a^{12}-8a^{9}b^{3}+12a^{6}b^{6}-6a^{3}b^{9}+b^{12}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+\frac{(b^{3}-a^{3})(b^{3}+a^{3})^{3}}{(a^{3}+b^{3})^{3}}=a^{3}+b^{3}-a^{3}=b^{3}$

Bài 4 : Rút gọn các biểu thức sau bằng cách nhanh nhất :

a)  $a^{3}+\left [ \frac{a(2b^{3}-a^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3} + \left [ \frac{b(2a^{3}-b^{3})}{a^{3}+b^{3}} \right ]^{3}$

b) $\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}+\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Nếu các bạn có đề thì có thể đưa lên chủ đề này để cùng giải !   

Bài 3 : 

a/ Cho a + b + c = a³ + b³ + c³ = 1. Chứng minh rằng có ít một ba số a, b, c bằng 1.

b/ Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa : ab + bc + ca = 2015.abc và (a + b + c).2015 = 1.

Tính Giá trị bểu thức : M = a²⁰¹⁵ + b²⁰¹⁵ + c²⁰¹⁵

^{(Câu b/ là đề thi HSG cấp thành phố lớp 9, Bến Tre)} 

Bài giải câu c) :

+ Cách 1 : Ở câu e/ Nếu khai thác tiếp VP ta sẽ có :

$VP=2(-ab-bc-ca)= 2\left [-b(a+c)-ca \right ]=2(b^{2}-ac)$

Tương tự : 

$VP=2(c^{2}-ab)=2(a^{2}-bc)$

+ Cách 2 : 

$a+b+c=0\Rightarrow (b+c)^{2}=a^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(a^{2}-bc)$

Tương tự, có đpcm.

Cho Tam giác nhọn ABC có H là trực tâm. Chứng minh rằng :

$\frac{HA.HB}{CA.CB}+\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HC.HA}{BC.BA}=1$

(Giải với kiến thức diện tích lớp 8 và với kiến thức định lí Ta-lét (thuận, đảo, Hệ quả))

BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

_ Biến đổi đẳng thức  : là biến đổi các vế của đẳng thức ban đầu trở thành các vế của một đẳng thức khác bằng cách : lũy thừa, chuyển vế, ...

_ Biến đổi đồng nhất : là biến đổi phần điều kiện (nếu có) của đề bài trở thành phần mà đề bài yêu cầu bằng phép biến đổi đẳng thức.

_ Nếu trong bài toán biến đổi đồng nhất, có một đẳng thức điều kiện của bài toán thì mọi điều kiện của đẳng thức đó đc xem là điều kiện của bài toán.

Ví dụ : Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Chứng minh rằng : ab + bc + ca = 0.

Đối với bài này, ta thấy : ba số a, b, c đã có mối liên hệ thông qua đẳng thức này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Nhưng nếu để ý thì ta còn một lưu ý rất quan trọng thông qua đẳng thức này, đó chính là ĐKXĐ của đẳng thức. ĐKXĐ của đẳng thức này là $a;b;c\neq 0$. ĐKXĐ của đẳng thúc này cũng đc coi là điều kiện của đẳng thức trên. Từ đây, ta cũng nói $a;b;c\neq 0$ cũng là điều kiện của đẳng thức cần chứng minh và được phép sử dụng điều kiện này trong bài toán mà ko cần chứng minh lại.

Giải :  Nhân abc vào đẳng thức $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, ta có ĐPCM.

_ Các công cụ của bài toán này là các HĐT thông thường cũng như các HĐT đặc biệt sau :

1/ a³ + b³ + c³ = 3abc <=> a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

2/ Hằng đẳng thức Largrange (mình nhớ là vậy ) : (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad - bc)²

... cùng phép phân tích đa thức thành nhân tử, đa thức, ...

Trong chủ đề này, các bài toán đôi khi sẽ có quan hệ mật thiết với nhau nên các bạn có thể sử dụng kết quả của một bài toán nào đó đã được chứng minh đề áp dụng vào bài toán mới nhưng phải trình bày rõ. Đây là một kiến thức mà theo mình là nó rất thú vị.     

Bài 2 : Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa : a + b + c = 0

a/ Tìm giá trị của biểu thức :

$A=\frac{a}{c}.\frac{a^{2}-b^{2}-c^{2}}{b^{2}-c^{2}-a^{2}}.\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{b}$

b/ Chứng minh rằng : 2(ab + bc + ca)² = a⁴ + b⁴ + c⁴  

a) (Cách khác) TỪ giả thiết :$a+b+c=0\Rightarrow a+b = -c; b+c=-a; a+c=-b \Rightarrow (a+b)^{2}+(b+c)^{2}+(a+c)^{2}=(-a)^{2}+(-b)^{2}+(-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

c) Gợi ý : Có 2 cách :

+ Cách 1 : Áp dụng vế phải bài a/

+ Cách 2 : Khai thác giả thiết

Nếu ko có ai làm thì mình sẽ ... 

Bài 1 : Cho a, b, c là các số thực thỏa : a + b + c = 0. Chứng minh rằng :

a/ a² + b² + c² = (a + b)² + (b + c)² + (c + a)².

b/ (a² + b² + c²)² = 2(a⁴ + b⁴ + c⁴)

c/ a² - bc = b² - ac = c² - ab

d/ a⁴ + b⁴ + c⁴ > (ab + bc + ca)²  

e/ a² + b² + c² = -2(ab + bc + ca)

Có 4 số là : 153; 370; 371; 407. Phần này là mình nhờ Pascal

Mình giải tiếp nha :

a/ Có : $a^{4}+6a^{2}-7=0 \Leftrightarrow (a^{2}+7)(a^{2}-1)=0 \Leftrightarrow (a - 1)(a + 1) = 0 \Leftrightarrow a = 1$ hoặc $a = -1$

*Với a = 1 thì x = 8

*Với a = - 1 thì x = 6

Kết luận : ...

b/

Cách 1 (Cách trên) :

Khi đặt $a=x^{2}+2x-3\Rightarrow a+4=(x+1)^{2}\geq 0 \Rightarrow a \geq -4$

Vì vậy khi (a - 12)(a + 16) = 0 thì chỉ lấy a = 12 thôi.

Có : $a=x^{2}+2x-3=12\Leftrightarrow (x-3)(x+5)=0$

Kết luận : ...

Cách 2 (Mình có thêm một cách nữa) :

Khi đã nhân đến : $(x^{2}+2x-3)(x^{2}+2x+1)=192$

Đặt : $y=x^{2}+2x-1\Rightarrow y+2=x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}\geq 0\Rightarrow y\geq -2.$. Ta có :

$PT\Leftrightarrow (y+2)(y-2)=192\Leftrightarrow y^{2}-4-192=0\Leftrightarrow y^{2}-14^{2}=0\Leftrightarrow (y-14)(y+14)=0$

Vậy y = -14 hoặc y = 14. Nhưng theo điều kiện của y nên ta chỉ nhận y = 14.

Với y = 14 thì phương trình sẽ trở thành :

$y=x^{2}+2x-1=14\Leftrightarrow x^{2}+2x-15=0\Leftrightarrow (x-3)(x+5)=0$

Vậy nghiệm của pt này là 3 và  -5

Vậy nếu đề bài cho Q(x) = x² + 1 thì sao ạ ?

Mình chưa hiểu đề bài của bạn mdbshhtb2002 : Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi hình chữ nhật có diện tích lớn nhất ??

Bài 2 :

Có lẽ nên nói a là tham số thì hơn. Lúc này a phải khác cộng trừ 1, x khác 1

$PT \Leftrightarrow \frac{x-1}{x-1}+\frac{a+1}{x-1}+\frac{x}{a+1}-\frac{a}{a+1}=\frac{3a}{a^{2}-1} \Leftrightarrow \frac{a+1}{x-1}+\frac{x}{a+1} = \frac{3a}{a^{2}-1} +\frac{a}{a+1} - 1$

Đến đây bài toán đã đơn giản hơn. Sau đó áp dụng phần biện luận để biểu diễn x theo tham số a hoặc xét các trường hợp VSN, VN

Bài 1 : ĐKXĐ là : x khác 0 và x khác -1.

Ta nhân 2 vế của pt cho x² + x để được pt mới :

(x - 1)(x + 1) - x = 2x - 1

                                                                        <=> x² - x - 1 - 2x + 1 = 0

                                                                         <=> x(x - 3) = 0

                                                                        <=> x = 0 hoặc x - 3 = 0

                                                                         <=> x = 0 (loại vì ko thỏa ĐKXĐ) hoặc x = 3 (nhận).

Kết luận nghiệm ...

Thật sự mình đang rất cần một chủ đề phương trình lớp 8 như thế này. Mình đang chuẩn bị ôn thi NK nên có nhiều bài pt hay và mới lạ mình muốn đc tiếp xúc và làm thử. Mình xin cảm ơn chủ của chủ đề này và mong chủ đề sẽ đc tiếp tục quan tâm

Mình đã từng giải qua một bài toán sao : Tìm a số tự nhiên a nhỏ nhất để 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4^a là số chính phương.

Kết quả bài toán là a = 2004.

Nếu 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4²⁰⁰⁴ là số chính phương thì 4²⁷ + 4¹⁰¹⁶ + 4²⁰⁰⁴ = 4²⁷(1 + 4⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁷⁷) cũng là số chính phương. Mà 4²⁷ là số chính phương nên 

1 + 4⁹⁸⁹ + 4¹⁹⁷⁷ cũng là số chính phương. Vì vậy (x;y) = (989;1977) ; (1977;989); ... 

Mình cũng không biết hai nghiệm 989 và 1977 có đầy đủ hay chưa nên bài viết này mình chỉ cho biết là bài của bạn có hai nghiệm 989 và 1977.   

Mà với x = y = 1 thì A cũng là số chính phương nữa. Mình chỉ vừa học phần Phương trình nghiệm nguyên nên mình chưa đc giỏi để giải bài toán này, mà chỉ đoán mò thôi.