xét n = 1 2 3
xét n>=4 ta cm nếu n+1 không nguyên tố thì n! chia hết cho n+1
xét n+1 = a.b ( a khác b ) thì đúng
xét n+1 = a^2 thì vì n >=5 nên n>2a ( dễ dàng cm )
=> n! chia hết cho a^2 = n+1
xét n+1 không nguyên tố thì
gọi d là gcd( n!+1 , (n+1)! )
=> d | (n+1)!+n+1 => d|n+1 => d|n! => d|1
xét n+1 nguyên tố thì wilson => n+1 | n!+1 => gọi gcd ( n!+1 , (n+1)! )= q chia hết cho n+1
gs q = (n+1).k => vì q |(n+1)! => k|n! mà k|n!+1 => k =1
kết luận
One Piece nội dung
Có 32 mục bởi One Piece (Tìm giới hạn từ 07-06-2020)
#656342 $(n!+1;(n+1)!)$
Đã gửi bởi One Piece on 02-10-2016 - 08:51 trong Số học
#657239 $2^x=x^2$
Đã gửi bởi One Piece on 09-10-2016 - 13:22 trong Số học
làm bài mở rộng
gs n>x ( = nhau thì xong r)
khi đó với mọi p thuộc ước x thì p thuộc ước n ( p ng tố )
giả sử trong khai triển thành thừa số ng tố thì số mũ p trong x n lần lượt là a b
=>an=bx vì n>x => b>a=> n chia hết cho x => b chia hết cho a
=> n=x^y=> x^xy=x^(x^y)=> x^y=xy => y=x^y-1
xét x=1 => ...
xét x>=2
ta cm 2^y-1 >y với mọi y>3 ( cái này quy nạp dễ )
=> y=2 => x=2 và n =4
#652121 $3 \geq ab^2+bc^2+ca^2$
Đã gửi bởi One Piece on 31-08-2016 - 17:42 trong Bất đẳng thức và cực trị
Sai đề r phải là <= 4
PS cho b=2 a= 0,9 c = 0,1
#657116 [Tài liệu] An Introduction to the Theory of Numbers, 5th Edition
Đã gửi bởi One Piece on 08-10-2016 - 16:34 trong Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Số học
Sơ cấp hay cao cấp vậy anh
#657989 Cho $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Tìm $n$...
Đã gửi bởi One Piece on 15-10-2016 - 21:49 trong Số học
cm đc n có 3 chữ số
sau đó có S(n) là ước lớn nhất của n thì n/S(n) là ước nguyên tố nhỏ nhất của n Có S(n) <= 27
và S(n) là số nguyên tố >= n/S(n) hoặc là tích của các số nguyên tố >= n/S(n)
Nếu n là số có 3 chữ số thì n/S(n) >=4 ( là số nguyên tố nên >=5 )
có S(n)^2 >= n nên giảm dần dần thì có n <= 441
cái này thử đc n/S(n) cho = 5 7 11 13 17 19 ( hơi nhiều nhưng mà k dài )
xét có 2 chữ số thì cũng tương tự
1 chữ số thì loại
#657590 các bài toán chia hết hay và khó trong các kì thi HSG
Đã gửi bởi One Piece on 12-10-2016 - 08:48 trong Số học
3 số lớn nhất < 2015 là 1965; 1982;1999 rồi mà cộng 3 số này > 999 thì làm sao mà luôn chọn đc 3 số tổng>999 đc. em k hiểu chỗ này lắm
2005 giảm 99 lần đc số bé nhất ( vì các số phân biệt mà )
98 lần đc chặn trên số bé 2
97 lần được chặn trên số bé 3
cộng 3 số này lại cơ
kiểu như là số lớn nhất <=2005 mà số bé thứ 3 <= số lớn nhất - 17. 97
#657317 các bài toán chia hết hay và khó trong các kì thi HSG
Đã gửi bởi One Piece on 09-10-2016 - 20:42 trong Số học
từ đó có nếu n chẵn thì A không chia hết cho 4 còn n lẻ A không chia hết cho 5
do đó k<=4 nếu k =2 thì 4A +1 là scp cái này sd kẹp số chính phương còn k=4 thì A +1 là scp nên cx tương tự
với k=3 cũng sd kẹp cuối cùng thì =>...
#657241 các bài toán chia hết hay và khó trong các kì thi HSG
Đã gửi bởi One Piece on 09-10-2016 - 13:33 trong Số học
Bài 1 cần 100 số khác nhau
bài 2 đề đoạn cuối là ?
bài 3
xét a=b => a=b=1
xét a>b => a>=b+1
=> 2a>= 2b+2 >2b+1
=> 2b+1 chia hết cho a thì 2b+1 =a
thay ngược vào là ok
bài 4 xét đồng dư mod 5 là đc mà
k đồng dư 1 -1 2 -2 đều có k2+1 hoặc k2+4 chia hết cho 5 và các số đó đều >5 => ..........
#675436 ĐỀ VIỆT NAM TST 2017
Đã gửi bởi One Piece on 27-03-2017 - 08:28 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Giải bài 5
Ta chứng minh $a_{2n}=a_{i1}.a_{i2}.a_{i3}$ với $i_1 ; i_2 <=N$ với mọi n>N
Chứng minh điều này bằng quy nạp
theo giả thiết
$a_n=a_{i1}.a_{i2}.a_{i3} = a_{i1}.a_{i2}.a_{j1}.a_{j2}.a_{j3} <= a_{j1}.a_{j2}.a_{i1+i2+j3}$ với $j_1 , j_2$ <=N theo quy nạp
đặt t = max căn bậc k của $a_k$
chọn m thoả như thế
ta cm m là số cần tìm
ta đi cm $a_n= (a_m)^2.a_{n-2m}$
xét dãy $b_n = (a_m)^n / (a_n)^m$
dễ thấy $b_n$ >=1 với mọi n
ta sẽ cm $b_n>= b_{n+2l}$
$b_{n+2l} = (a_l)^{n+2l} / )a_{n+2l})^l <= (a_l)^{n+2l} / (a_n)^l.(a_l)^{2l} = b_n $
lấy lim => dãy hằng từ 1 lúc nào đó và ta có đpcm
lỗi latex ạ e cx k biết sửa
#675434 ĐỀ VIỆT NAM TST 2017
Đã gửi bởi One Piece on 27-03-2017 - 07:31 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Theo lời giải anh Toàn e thử n=6 hoán vị 1 6 2 5 3 4 12 7 11 8 10 9
có hiệu mod 13 là 8 4 10 2 12 5 5 9 3 11 1 8 và thấy nó không thoả
cho hỏi e nhầm ở chỗ nào ạ
#675437 ĐỀ VIỆT NAM TST 2017
Đã gửi bởi One Piece on 27-03-2017 - 08:42 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
bài 6 ta có thể xếp luôn 2n số lên đường tròn và cố định vị trí số 1 là 1 và 2n là n+1
ta có sắp xếp 1 , a2 , a3 ................. an , 2n
dễ gọi hiệu giữa các số ( 1 , a2 ) ( a2 a3) ........... (an 2n)
là i1 i2 .............. in
ta dễ thấy lấy trị tuyệt đối của i1 i2 ....... in thì nó là hoán vị của 1 2 .......... n và i1+i2+........+in = 1-2n
ta có thể chọn được để thoả ( nếu chọn đc thì có luôn đpcm)
ta xét 1+2+3+.....+n nếu nó đã lẻ thì ta đổi các dấu + thành - để có được 1-2n và chẵn thì ta chọn j và đổi j thành 2n+1-j sau làm như bước 1
Lời giải khá mơ hồ và e thấy nó sai nhiều hơn là đúng
#655358 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016
Đã gửi bởi One Piece on 24-09-2016 - 15:48 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
Ta có $x_{n+2}-(x^2_{n+1}-x_{n+1}+1)=x_{n+1}-(x_n^2-x_n+1)=...=x_2-(x_1^2-x_1+1)=0$
Từ đó chứng minh được công thức $\frac{1}{x_n}=\frac{1}{x_n-1}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Từ đó suy ra $b_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}-1}$
Chứng minh $x_n$ tăng $\Rightarrow \lim \frac{1}{x_{n+1}-1}=-\infty $ và chứng minh $b_n$ tăng, $b_n<\frac{1}{2}$ nên tồn tại $\lim$ và $\lim b_m =\frac{1}{2}$
#655894 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội vòng 2 năm 2016
Đã gửi bởi One Piece on 28-09-2016 - 21:00 trong Thi HSG cấp Tỉnh, Thành phố. Olympic 30-4. Đề thi và kiểm tra đội tuyển các cấp.
anh giải thích cái chỗ từ giả thiết ta có .... được không a ?
#638186 Đề thi môn Toán vòng 1 vào chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2016-2017
Đã gửi bởi One Piece on 05-06-2016 - 08:29 trong Tài liệu - Đề thi
Lời giải toàn copy
Lời giải bất k copy nè
2x+y ≥ 2xy
#638286 Đề thi môn Toán vòng 2 vào chuyên Khoa Học Tự Nhiên năm 2016-2017
Đã gửi bởi One Piece on 05-06-2016 - 14:44 trong Tài liệu - Đề thi
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
THPT KHOA HỌC TỰ NHIÊN THPT CHUYÊN NĂM 2015-2016
Môn:Toán (Vòng 2)
Thời gian làm bài 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
$\boxed{\textrm{ĐỀ THI CHÍNH THỨC}}$
Câu 1 (3,5 điểm)
1)Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+4y^2=5 & & \\ 4x^2y+8xy^2+5x+10y=1& & \end{matrix}\right.$$
2)Giải phương trình:
$$\sqrt{5x^2+6x+5}=\frac{64x^3+4x}{5x^2+6x+6}$$
Câu 2 (2,5 điểm)
1)Với $x,y$ là những số nguyên thỏa mãn đẳng thức $\frac{x^2-1}{2}=\frac{y^2-1}{3}$.Chứng minh rằng:$x^2-y^2$ chia hết cho $40$
2)Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn đẳng thức :
$$x^4+2x^2=y^3$$
Câu 3 (3 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O)$ . $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AD$ của đường tròn $(O)$ và $P$ khác $A,D$ .Các đường thẳng $PB,PC$ lần lược cắt $AD$ tại $M,N$ . Đường trung trực của $AM$ cắt đường thẳng $AC,PB$ lần lượt tại $E,K$ . Đường trung trực $DN$ cắt các đường thẳng $BD,PC$ lần lượt tại $F,L$
a)Chứng minh ba điểm $K,O,L$ thẳng hàng
b)Chứng minh đường thẳng $PO$ đi qua trung điểm của đọa thẳng $EF$
c)Giả sử đường thẳng $EK$ cắt đường thẳng $BD$ tại $S$, các đường thẳng $FL$ và $AC$ cắt nhau tại $T$,đường thẳng $ST$ cắt các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt tại $U$ và $V$ .Chứng minh rằng bốn điểm $K,L,V,U$ cùng thuộc một đường tròn
Câu 4 (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 3$ luôn tồn tại một cách xếp bộ $n$ số $1,2,3,...,n$ thành $x_1,x_2,...,x_n$ sao cho $x_j\neq \frac{x_i+x_k}{2}$ với mọi bộ chỉ số $(i;j;k)$ mà $1\leq i<j<k\leq n$
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
giống đề sư phạm lại k có bất
#667071 Đề Thi VMO năm 2017
Đã gửi bởi One Piece on 05-01-2017 - 13:20 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Em làm sai xin sửa lại
phần a thì k=3
b) Ta cm với bảng 2nx2n thì max là nxn còn bảng 2n+1x2n+1 thì max là n(n+1)
quy nạp n=3 4 k khó để chỉ ra đúng
Giả sử đúng với 2nx2n
xét bảng 2n+1x2n+1
giả sử hàng 1 có a ô đen thì cột 1 cũng thế giả sử a >= n+1 thì cm cột cuối <= n ô đen ( ta có thể xếp cho a ô đen thành thứ tự từ dưới lên .) nếu hàng cuối có >=n+1 ô đen ta sẽ dễ dàng xác định đc toàn bảng và thấy nó < n(n+1)
nếu hàng dưới còn n ô dên theo giả thiết quy nạp có dpcm
với 2n-1x2n-1 đúng quy nạp lên 2nx2n tương tự
dpcm
PS e k vẽ đc hình nên hơi mơ hồ
#667277 Đề Thi VMO năm 2017
Đã gửi bởi One Piece on 06-01-2017 - 14:34 trong Thi HSG Quốc gia và Quốc tế
Bài 5 cm f song ánh
chia 2 trường hợp là f(0)=0 hoặc f(1)=0
với f(0)=0
kì hiệu P(x,y) phép thế x y vào pt hàm ban đầu
P(x,0) => f(-f(x))= 2f(x)
P(-f(x),-f(y))=> f(2f(x)f(y)+2f(x))=4f(x)+f(x)f(y) vì f song ánh nên có thể đặt z=f(x) t=f(y)
=> f(2zt+2z)=4z+zt cho t=1 => f(4z)=5z thử lại vô lí
với f(1)=0 => f(0)=1 f(-1)=2 tính đc f(2)=-1
P(x,2)=> f(-(x+f(x)))= 2(f(x)+x)
P( f(x+f(x)) , 1) => f(x+f(x))=0 => x+f(x)=1 =>f(x)=1-x
f
- Diễn đàn Toán học
- → One Piece nội dung