ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10, TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐHQG TPHCM, 2005-2006.

Dưới đây là câu cuối cùng của đề:

 Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1    ;   9 chữ số 2;...  ;  9 chữ số 9. Hỏi có thể sắp xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy sao cho với mọi $k=1,2,...,9$ trong mỗi khoảng giữa hai chữ số $k$ liên tiếp ở trên dãy có đúng $k$ chữ số ?

Cho $x,y,z,u,v$ là các số nguyên dương thỏa mãn : $xyzuv=z+y+z+u+v$. Tìm GTLN của $max\left \{ x,y,z,u,v \right \}$

Giải phương trình $\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=3+\frac{2\sqrt{x^{2}+7x+1}}{x+1}$

tìm n sao cho :

4n - 3 chia hết cho 2n + 5 

Thiếu điều kiện n nguyên hả bạn. Không có n nguyên thì chia hết kiểu gì.

$4n-3 \vdots 2n+5

\Leftrightarrow 4n+10-13\vdots 2n+5

\Leftrightarrow 2(2n+5)-13\vdots 2n+5$

$\Rightarrow 13\vdots 2n+5$

mà 2n+5 chia 3 dư 1

$\Rightarrow 2n+5\in \left \{ \pm 1;\pm 13 \right \}$

$\Rightarrow n\in \left \{ -3;-2;4;-9 \right \}$.

Tìm các giá trị nguyên dương khác nhau $x_{1};...;x _{n}$ sao cho:

$\frac{1}{{x_{1}}^{2}}+ \frac{1}{{x_{2}}^{2}}+ ... + \frac{1}{{x_{n}}^{2}}=1$

Các bạn giúp mình nhé!

Su dung bat dang thuc $\left | a \right |+\left | b \right |\geq \left | a+b \right |$ voi dau bang xay ra $\Leftrightarrow ab\geq 0$ cho phuong trinh1 .

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). trên cung BC không chứa A lấy điểm D. Vẽ DH vuông góc BC, DI vuông góc CA, và DK vuông góc AB 

Chứng minh 

$\frac{BC}{DH}= \frac{CA}{DI}+\frac{AB}{DK}$

Nối AD,DB,DC.
Trên BC lấy điểm E sao cho $\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$
Cm được: $\Delta ADB = \Delta CDE (g.g)$
=> $\frac{DK}{DH} = \frac{AB}{CE}$
=> $\frac{CE}{DH} = \frac{AB}{DK}$ (1)
Chứng minh tương tự ta có:
$\frac{BE}{DH} = \frac{AC}{DI}$        (2)
Từ (1) và (2) => đpcm.

Sao gửi 2 bài giống hệt nhau zậy bạn.

Ta có: $x^{4}-2x^{3}+x-m=0$

<=> $x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x^{2}+x-m=0$

<=> $(x^{2}-x)^{2}-(x^{2}-x)-m=0$ (*)

Đặt $x^{2}-x + \frac{1}{4}=t \Rightarrow x^{2}-x=t-\frac{1}{4}$  ( t $\geq 0$)

Khi đó (*) trở thành $(t-\frac{1}{4})^{2}-(t-\frac{1}{4})-m=0$

$\Leftrightarrow 16t^{2} -24t -16m+5=0$   (**)

Phg trình (**) xó 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ pt(**) có 2 nghiệm phân biệt không âm (vì t $\geq 0$)

Đến đây thì dễ rồi. Bạn tự tìm g trị của m nhé!

Bài 3 có sử dụng hàm số được ko vậy ạ?

Nối AD,DB,DC.

Trên BC lấy điểm E sao cho $\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$

Cm được: $\Delta ADB = \Delta CDE (g.g)$

=> $\frac{DK}{DH} = \frac{AB}{CE}$

=> $\frac{CE}{DH} = \frac{AB}{DK}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$\frac{BE}{DH} = \frac{AC}{DI}$        (2)

Từ (1) và (2) => đpcm.

Sao chẳng có ai giúp z trời.

Các bạn ơi giúp minh với!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Bài 1:Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2p không đổi ngoại tiếp 1 đường tròn(O).Dựng tiếp tuyến MN với (O) sao cho MN song song với AC;M thuộc cạnh AB,N thuộc cạnh BC.Tính AC theo p để độ dài đoạn MN đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2: Trong một tam giác cho trước hãy tìm bán kính lớn nhất của hai đường tròn bằng nhau tiếp xúc ngoài nhau đồng thời mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác đó.
Bài 3: Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy một điểm D sao cho đường tròn nột tiếp tam giác ACD và BCD bằng nhau
a) Tính đoạn CD theo các cạnh của tam giác
b)CMR: Điều kiện cần và đủ để góc C = 90 độ là điện tích tam giác ABC bằng diện tích hình vuông cạnh CD
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ,CD là cạnh đáy lớn,M là giao của AC và BD.Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R.Tính diện tích tam giác ADM theo R
Bài 5:Cho tam giác ABC không cân,M là trung điểm cạnh BC,D là hình chiếu vuông góc của A trên BC; E và F tương ứng là các hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính đi qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.CMR: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn và điểm M chuyện động trên đường thẳng BC.Vẽ trung trực của các đoạn BM và CM tương ứng cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q.CMR: Đường thẳng qua M và vuông góc với PQ đi qua 1 điểm cố định

Bài 7: Cho tam giác ABC và một đường tròn (O) đi qua A và C.Gọi K và N là các giao điểm của (O) với các cạnh AB,C.ĐƯờng tròn (O1) và (O2) ngoại tiếp tam giác ABC và tam giác KBN cắt nhau tại B và M.CMR: O1O2 // OM 

Bài 8: Cho đường tròn(O;R) và 2 đường kính AB và MN. Đường thẳng BM và BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) tương ứng tại M' và N'. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm M'A và N'A

a. CMR: Các đường cao của $\Delta BPQ$ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA.

b. Giả sử đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi. Tính GTNN của SBPQ theo R.

Bài 9: Cho đường tròn (O) đương kính AB=2R. Vẽ dây AD=R và BC=R$\sqrt{2}$ . kẻ AM và BN vuông góc với đương thẳng CD.

A. So sánh DM và CN

b. tính MN theo R

c. CMR: SABMN=SADB+SACB

Bài 10: Trên cạnh BC của $\Delta ABC$ ta chọn điểm M sao cho giao điểm của các đường trung tuyến của $\Delta ABM$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ACM$, còn giao điểm các đường trung tuyến của $\Delta ACM$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABM$. CMR: 2 đương trung tuyến của $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ xuất phát từ đỉnh M bằng nhau.

P/s: Một số bài mk làm rùi nhưng không chắc lắm, còn một số bài thì chưa làm được, mong mọi người giúp đỡ.

Bài 1:Cho biết x,y,z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z . CMR: x+y+z là bội số của 27.
Bài 2:a/ Hãy chỉ ra 2 số nguyên dương khác nhau x và y nào đó sao cho xy + x và xy + y đều là bình      phương của 2 số nguyên dương khác nhau.
         b/ Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 1994) sao cho xy + x và xy + y  đều là bình phương  của 2 số nguyên dương khác nhau.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n.2^n+3^n chia hết cho 25
Bài 4: Số nguyên A được tạo thành bằng cách viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ  nhỏ đến lớn A=12345...585960
              a,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất.
              b,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất.
Bài 5: Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa mãn :Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau.(*)
                a) Chứng minh n ≤ 36
                b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp (a1, a2, a3, a4) và (an-3, an-2, an-1, an )trùng nhau.

Gắng lên nha!!!!

Thêm nè:

Bài 5:Cho biết x,y,z là các số nguyên sao cho (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z . CMR: x+y+z là bội số của 27.

Bài 6:a/ Hãy chỉ ra 2 số nguyên dương khác nhau x và y nào đó sao cho xy + x và xy + y đều là bình phương                của 2 số nguyên dương khác nhau.

         b/ Có hay không 2 số nguyên dương khác nhau x và y trong khoảng (998; 1994) sao cho xy + x và xy + y              đều là bình phương  của 2 số nguyên dương khác nhau.

Bài 7: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n.2^n+3^n chia hết cho 25

Bài 8: Số nguyên A được tạo thành bằng cách viết liền nhau các số nguyên dương từ 1 đến 60 theo thứ tự từ           nhỏ đến lớn A=12345...585960

              a,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A1 tạo bởi các chữ số còn lại là nhỏ nhất.

              b,Hỏi chỉ ra cách xóa 100 chữ số  của  A sao cho A2 tạo bởi các chữ số còn lại là lớn nhất.

Bài 9: Cho dãy n số a1, a2, …, an (trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0 hoặc 1) thỏa mãn :Bất kỳ hai           bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng nhau.(*)

                a) Chứng minh n ≤ 36
                b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số an+1 tùy ý (0 hay 1) thì tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp (a1, a2, a3, a4) và (an-3, an-2, an-1, an )trùng nhau.

Bài 10: Tìm ab (số có 2 chữ số) biết ab=(a-1)^2+(b-1)^2

Bài 1: Chứng minh rằng với n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì 2^n - 1 không thể là số chính phương.

Bài 2: Cho một số có 4 chữ số abcd . Biết rằng a ; b ; c ; d theo thứ tự ấy là 4 số tự nhiên liên tiếp từ nhỏ đến lớn . Cho biết bacd là một số chính phương . Tìm abcd ?

Bài 3: Tìm số tự nhiên n thỏa mãn n+S(n)+S(S(n)) = 96 (trong đó S(n) là tổng các chữ số của n)

Bài 4: Tìm a,b thuộc n thỏa(a,b)=1 và (a+b)/(a^2+b^2)=7/25?

P/s: Các bạn cố làm nhé! Rồi mình lại post bài lên nữa.

là AB7744

$\fbox{20}.$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y$

Ta có: $x \geq 0; y \geq 0$

Bình phương hai vế rồi chuyển vế: $$$\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=y^{2}-x=k (k \in N)$

Bình phương hai vế rồi chuyển vế : $\sqrt{x+\sqrt{x}}=k^{2}-x=m (m \in N)$

Bình phương hai vế : $x+ \sqrt{x}= m^{2}$

x nguyên thì $\sqrt{x}$ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Do $x+ \sqrt{x}= m^{2}$ 

$(m \in N)$nên $\sqrt{x}$ không là số vô tỉ. Do đó $\sqrt{x}$ là số nguyên và là số tự nhiên.

Ta có : $\sqrt{x}(\sqrt{x}+1) = m^{2}$

Hai số tự nhiên liên tiếp $\sqrt{x}$ và $\sqrt{x} +1$ có tích là một số chính phương nên số nhỏ bằng 0: $\sqrt{x}=0$ => x=y=0

Đề bài: Đang dạo chơi trong thành phố, bốn học sinh nhận thấy một chiếc xe đã vi phạm luật giao thông. Không ai trong các em nhớ số hiệu ghi trên biển xe, nhưng vì tất cả đều là học sinh yêu toán nên mỗi em đã nhớ được đặc tính của số hiệu ấy. Một em nhớ lại rằng số hiệu đó là AB tiếp theo là một số có bốn chữ số. Em thứ hai nhớ lại rằng hai chữ số đầu giống hệt nhau. Em thứ ba nhớ lại rằng hai chữ số cuối cũng giống hệt nhau. Còn em thứ tư đã quả quyết rằng ta có bốn chữ số đó là một số chính phương.
 

Căn cứ vào những bằng chứng ấy, hãy tìm ra số hiệu chiếc xe.

Bài 1: 1 quốc gia có 100 sân bay. Khoảng cách giữa các sân bay là khác nhau. Mỗi một sân bay chỉ có 1 chuyến bay đến sân bay gần nhất. CMR Không có sân bay nào có quá 5 chuyến bay đến . Bài 2: Trên đường tròn, một số cung được tô màu đen, phần còn lại tô màu đỏ. Biết tổng độ dài các cung màu đen nhỏ hơn nửa chu vi đường tròn. CMR Có thể kẻ được một đường kính của đường tròn với hai đầu mút cùng màu đỏ.