Tình cờ lục lọi mấy bài toán, lại có ở đây http://diendantoanho...acadbbda-geq-4/

Bài này làm sao mình phân tích P được như vậy? Mình cảm ơn

 

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

 

Bạn ơi, cho mình hỏi làm sao mình phân tích được P ra thành như vậy được ?