Đến nội dung


Hình ảnh

CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 08-08-2009 - 17:38

1. Cho $a, b, c, d$ dương.
CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$

2. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}$
CM: $\dfrac{1}{12} \leq \dfrac{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}{(a+b+c)^{3}} \leq \dfrac{5}{36}$

2 bài này của anh Cẩn hay quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-04-2012 - 01:21

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-04-2012 - 01:00

Bài 1.
$$VT = \left (a + c\right )\left (\dfrac{b}{c(a + b)} + \dfrac{d}{a(c + d)}\right ) + \left (b + d\right )\left (\dfrac{c}{d(b + c)} + \dfrac{a}{b(d + a)}\right ) $$ $$= \left (abc + acd + abd + bcd\right )\left [\dfrac{a + c}{ac(a + b)(c + d)} + \dfrac{b + d}{bd(b + c)(d + a)}\right ] = \left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right ) \left [\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}}{\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right )\left (\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )} + \dfrac{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}}{\left (\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{a}\right )\left (\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right )}\right ]$$ $$\ge \left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )4.\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}}{\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )^2} = 4$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 24-07-2012 - 10:15

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-11-2012 - 17:29

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )+y^{2}\left ( 1-y \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 13-08-2013 - 17:54

Bài 2 làm sai mà cũng like để ý kĩ P phân tích sai$P=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x^{2}(1-y)-y^{2}(1-z)-z^{2}(1-x)$ mới đúng



#5 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-11-2013 - 12:35

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 09-11-2013 - 12:35


#6 thaycung1298

thaycung1298

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên
  • Sở thích:Suy tư về thiên nhiên và logic

Đã gửi 03-04-2014 - 17:54

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$. (*)
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )+y^{2}\left ( 1-y \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )$$  (**) =x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm

Cho mình hỏi (*) có thể áp dụng bất đẳng thức  $(y+z)^2 \geqslant 2yz \Leftrightarrow (x-1)^2 \geqslant 2(x^2 -x + \frac{1}{4})$ được không?

và tại sao P có thể phân tích thành (**)

Mình cảm ơn


Ta không thể thay đổi môi trường sống, nhưng ta có thể thay đổi cách nghĩ khi sống trong môi trường ấy


#7 Trung007

Trung007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-05-2016 - 00:20

 

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

 

Bạn ơi, cho mình hỏi làm sao mình phân tích được P ra thành như vậy được ?






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh