Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:
$p^3-2p^2+p+1=3^n$
Có 95 mục bởi xuanhoan23112002 (Tìm giới hạn từ 05-06-2020)
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 20:09 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 91: Tìm tất cả các cặp số (p, n) với p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thỏa mãn:
$p^3-2p^2+p+1=3^n$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 21:32 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 94: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^3-x^2+8=y^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-04-2018 - 07:55 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 106: Cho a1, a2,...,a19 là các số tự nhiên thỏa mãn: a1+a2+...+a19 =26. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
S=a12+a22+...+a192
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 19:56 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 85: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. CMR:
$a+b+c\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 19:52 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 84: Cho $0< x, y, z< 1$ thỏa mãn: $xyz=(1-x)(1-y)(1-z)$. CMR: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{3}{4}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 08-05-2018 - 22:54 trong Tài liệu - Đề thi
P/s: Topic dạo này buồn quá. Bài mới nha mọi người
Bài 123: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq 1$. Chứng minh rằng:
$a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)\geq \sqrt{8(a+b)(b+c)(c+a)}$
Chúc 2k3 thi tốt bình tĩnh, tự tin, chiến thắng đạt được những mục tiêu đã đề ra!
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 29-05-2018 - 08:41 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 138: Với a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\frac{2}{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}}-\frac{3}{\sqrt{a+b+c}}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 06-06-2018 - 12:08 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 148: Cho x, y, z là các số thực dương và $x+y+1=z$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
$P=\frac{x^3y^3}{(x+yz)(y+zx)(z+xy)}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 05-06-2018 - 20:01 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 145: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: $abc=1$. Chứng minh rằng:
1. $\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{a+b+c+1}\geq 1$
2. $\frac{a+3}{(a+1)^2}+\frac{b+3}{(b+1)^2}+\frac{c+3}{(c+1)^2}\geq 3$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 30-05-2018 - 13:38 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 140:
Từ giả thiết ta có bất đẳng thức sau: $0< ab+bc+ca\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\leq 1$
Do đó
$\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\leq \frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}= \frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$ (bất đẳng thức Cauchy)
Chứng minh tương tự như trên ta có:
$P\leq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a})=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Vậy $MaxP=\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 30-05-2018 - 09:53 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 139: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}(6-\frac{a}{b}-\frac{b}{c}-\frac{c}{a})$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 23-04-2018 - 13:07 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 81(VMO 2015): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq (a+b+c)^2$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:14 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 79: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR:
$(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq 1$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 20:20 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 25: Cho $0\leq a, b, c \leq 2$ và a+b+c=3
1. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M =$a^2+b^2+c^2$
2. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của N =$a^3+b^3+c^3$
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của H =$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$
P/s: Mỗi câu là 1 bài toán riêng mình ghép chung thành 1 bài
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 20:46 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 26: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn: $x+y+z=100$
Xác định giá trị lớn nhất của M =$11xy+3xz+2012yz$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 22:14 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 13: Cho a, b, c >0 và a+b+c=1. CMR: $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 21:55 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}}}{1+ab}+\frac{\sqrt{b^{4}+c^{4}}}{1+bc}+\frac{\sqrt{c^{4}+a^{4}}}{1+ac}\geq 3$
Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 21:51 trong Tài liệu - Đề thi
$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$
$P-2=\frac{(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)}{{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 0$ Luôn đúng
Vậy $minP=2$ khi $a=b=c$
Quote : Không biết lời giải của mình có trùng với lời giải gốc không
Bạn ơi điều kiện ở bài này là $a\geq b+c$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 21:53 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 27: Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn: $a+b+c=3$
Chứng minh rằng $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+bc+ca$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 17-04-2018 - 21:56 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 28(IMO 1961): Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c và có diện tích là S. Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:11 trong Tài liệu - Đề thi
Cách của bạn Linh đúng rồi mọi người thử tìm các cách khác chẳng hạn như dùng nguyên lí Đirichlet
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 23:02 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 78(IMO 1984): Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$.CMR:
$0\leq ab+bc+ca-2abc\leq \frac{7}{27}$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 22:59 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 77(APMO 2004): Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq 9(ab+bc+ca)$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 22-04-2018 - 21:11 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 75: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR:
$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Đã gửi bởi xuanhoan23112002 on 16-04-2018 - 20:21 trong Tài liệu - Đề thi
Bài 9: Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r
Theo giả thiết, $ =>p+r=4=>r=4−p => p+r=4 => r=4−p $ , từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được p$\geq$3
Theo bất đẳng thức Schur, ta có
$p^3-4pq + 9r \geq 0 => p^3-4pq + 9(4-p) \geq 0 => p^3- 9p+36 \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q$
$\Rightarrow \frac{p^3 -9p+36}{4p}\geq q$
Ta sẽ chứng minh p$\geq q$ hay ta chứng minh:p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p} <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4(bất đẳng thức này hiển nhiên đúng)
Từ đó ta suy ra q$\leq$ 4
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học