Liệu có cách nào để người đi trước thắng không nhỉ ?

Giúp mk bài 2 với ạ

2a). Dễ dàng nhận thấy $f_n$ hội tụ điểm về $f=0.$
Hơn nữa, bằng kỹ thuật khảo sát hàm, ta có $\sup_{x\in [0,\infty)} f_n(x) =f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{e\sqrt{n}}.$

Suy ra $f_n$ hội tụ đều về $f=0.$

2a). Dễ dàng nhận thấy $f_n$ hội tụ điểm về $f=0.$Hơn nữa, bằng kỹ thuật khảo sát hàm, ta có $\sup_{x\in [0,\infty)} f_n(x) =f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{e\sqrt{n}}.$ Suy ra $f_n$ hội tụ đều về $f=0.$

Thank bạn nhé

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}$

Chuỗi hội tụ trên $[-2,2).$

 

\[\frac{nx^{n}}{(n+1)2^{n}}=\frac{x^{n}}{2^{n}}-\frac{x^{n}}{(n+1)2^{n}}= \left(\frac{x}{2}\right)^n-\frac{ \left(\frac{x}{2}\right)^n}{n+1}.\]

Tổng chuỗi có thể tính thông qua nhận xét thô: $\sum_{n=0}^{\infty} t^n =\frac{1}{1-t}$. Cần lập luận thêm để có

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}=\frac{1}{t} \int_0^t \frac{1}{1-s}ds,\].

trong đó $t\neq 0.$

 

Bạn tiếp tục phát triển dựa vào ý trên nhen!

ok ! cám ơn bạn nhiều nhé

m.n giúp với
tìm giá trị riêng và vecto riêng của các tự đồng cấu có ma trận sau đây trong 1 cơ sở nào đó của không gian :

a) $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0&0 & 0 & 0\\ 0& 0 &0 &0 \\ 1& 0 &0 & 1 \end{pmatrix}$ 

b)$\begin{pmatrix} 3 &-1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 &0 \\ 3& 0 & 5 & -3\\ 4 &-1 &3 & -1 \end{pmatrix}$

Bạn chỉ cần dùng thuật toán tìm giá trị riêng và vector riêng thôi.

Ví dụ ở câu a), xét đa thức đặc trưng: $P_{A}(X)=det(A-XE_{n})=\begin{vmatrix} 1-X & 0 & 0 &0 \\ 0 & -X & 0 &0 \\ 0 & 0 &-X &0 \\ 1 & 0 & 0 & 1-X \end{vmatrix}=(1-X)^2.(-X)^2-1.\begin{vmatrix} 0 & 0 &0 \\ -X& 0 & 0\\ 0 & -X & 0 \end{vmatrix}=(1-X)^2(-X)^2$

Như vậy đa thức đặc trưng có bốn nghiệm $X_{1,2}=1$ và $X_{3,4}=0$.

Với giá trị riêng $X_{1,2}=1$, ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 0x_{1} + 0x_{2} +0x_{3}+ 0x_{4}= &0 \\ 0x_{1}- 1x_{2} +0x_{3} +0x_{4}= &0 \\ 0x_{1} +0x_{2} - 1x_{3}+ 0x_{4}= &0 \\ 1x_{1}+ 0x_{2} + 0x_{3} + 0x_{4}= &0 \end{matrix}\right.$

Hệ này có các nghiệm là $(0,0,0,t)$ nên các vector riêng ứng với giá trị riêng này trong cơ sở $(e_1, e_2, e_3, e_4)$ nào đó là $te_{4}$ với $t\neq 0$

Phần còn lại làm tương tự

x₄ tự do , mk gọi nó là t cũng đc à ?

Bạn phân hoạch thiếu đấu mút "0".

thì k chạy từ 0 đến n  

Mình gõ nhầm! Giá trị đúng là $xk=\frac{k-1}{n}$.

ok bạn nhưng mk ngĩ là ta sẽ phân hoạch đoạn [0,1] vs các điểm đầu mút là x_k=$\frac{k}{n}$ với k=1,...,n

ta chọn 1 điểm $\xi _{k}$ =$\frac{2k-1}{2n}$$\in [x_{k-1},x_{k}]$  

thế này hợp lí hơn

$\left\{ \frac{k}{n}: k=0, 1, ..., n\right\}$ và $\left\{ \frac{k-1}{n}: k=1, 2, ..., n+1\right\}$ có khác nhau không nhỉ?

ừ 

Mình gõ nhầm! Giá trị đúng là $xk=\frac{k-1}{n}$.

sao lại như vậy ? mk vẫn chưa hiểu 

giúp mình với 

Đặt $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{2n+(2k-1)}$.

Ta có 

$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}$.

Phân hoạch đoạn $[0,1]$ thành $n$ đoạn với các điểm đầu mút là $x_k= \frac{k-1}{2},\forall k=1, 2, ..., (n+1).$

Xấp xỉ tích phân Riemann bởi các điểm giữa, ta thấy ngay (nhờ sự khả tích của hàm $f(x)= \frac{1}{1+x}$)

$\{u_n\}$ hội tụ và $\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx.$

x_k= $\frac{2k-1}{2n}$ chứ nhỉ ?

Đặt $u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{2n+(2k-1)}$.

Ta có 

$u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{1+\frac{2k-1}{2n}}$.

Phân hoạch đoạn $[0,1]$ thành $n$ đoạn với các điểm đầu mút là $x_k= \frac{k-1}{2},\forall k=1, 2, ..., (n+1).$

Xấp xỉ tích phân Riemann bởi các điểm giữa, ta thấy ngay (nhờ sự khả tích của hàm $f(x)= \frac{1}{1+x}$)

$\{u_n\}$ hội tụ và $\lim u_n= \int_0^1 \frac{1}{1+x}dx.$

sao x_k lại ra như vậy hả bạn ?

Không sai ở đâu cả, cứ truy hồi như vậy thì sẽ ra $1+a_1+...+a_{n}$ chính là kết quả bài toán.

nhưng mình có ra 1+a₁+...+a_n đâu ?!

Không nên áp dụng rập khuôn như thế. Ở bài này công thức là $D_{k}=D_{k-1}+a_{n-k}$ với $k=\overline{2,n}$. Công thức kia chỉ là một kiểu truy hồi thôi. 

ok ! mà còn công thức nào khác nữa không vậy ?

Vì bạn viết sai thôi. Ta có $D_{n}=D_{n-1}+a_{1}=D_{n-2}+a_{2}+a_{1}=...=D_{1}+a_{n-1}+...+a_{1}=1+a_{n}+a_{n-1}+...+a_{1}$

mk thấy có công thức là D_n=p.D_n-1 + q.D_n-2 , nếu q=0 thì D_n= p^n-1.D₁ mà kia là  1.D_n-1 nên mình tưởng ra như vậy 

$\begin{vmatrix} 1+a_{1} &a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1}& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} &... & a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1 & a_{2}& ... & a_{n}\\ 0& 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ 0&a_{2} & ... &1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ a_{1} & 1+a_{2} & ... & a_{n}\\ . & . & ... & .\\ a_{1}& a_{2} & ...& 1+a_{n} \end{vmatrix}$=$\begin{vmatrix} 1+a_{2} & a_{3}& ... & a_{n}\\ a_{2}& 1+a_{3} & ... & a_{n}\\ .& . & ... &. \\ a_{2}& a_{3} & ... & 1+a_{n} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & ... & a_{n}\\ 0& 1 & ... &0 \\ .& . & ...& .\\ 0& 0&... & 1 \end{vmatrix}$=D_n-1+a₁=1+2a₁

_{làm thế này thì sai ở đâu ạ ?}

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & +y & +z & =2\\ & 2y & +2z & =-2\\ & 2y &+5z & =1 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & +y & +z &=2 \\ & 2y &+2z &=-2 \\ & & 3z &= 3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & x &= 3\\ & & y &=-2 \\ & & z & =1 \end{matrix}\right.$

Mình K61 tài năng.

Cùng khóa với mk 😂😂😂 nhưng mk ở hệ chuẩn cơ

Vậy chắc là lớp bạn học thầy Nhiên rồi nhỉ, vì bài này ở trong sách của thầy Nhiên. 

đúng rồi bạn ạ , bạn khóa bao nhiêu thế ạ ?

giúp mk với ạ 

Xét một quảng cáo trên truyền hình, gọi N(t) là số người trong một cộng đồng được tiếp xúc với quảng cáo đó. Giả sử N(t) thỏa mãn phương trình Logistic. Tại thời điểm ban đầu N(0) = 500 , và theo khảo sát tại thời điểm t=1 ( tháng ) ta có N(1)= 1000. Tìm N(t) nếu theo dự đoán số lương hạn chế của người dân trong cộng đồng những người sẽ nhìn thấy quảng cáo đó là 50000

Phương trình logistic $$N'=\gamma N\left(1-\dfrac{N}{N_{\infty}}\right)$$ có nghiệm là 

$$N(t)=\dfrac{N_{\infty}}{1+e^{-\gamma t}\left(\dfrac{N_{\infty}}{N_{0}}-1\right)}$$

Thay số ta có $N(0)=500$, $N(1)=1000$ và $N_{\infty}=50000$. Từ đây giải hệ phương trình ta tìm được $N_{0}$ và $\gamma$ và từ đó tìm được $N(t)$.

 

PS: Hỏi lan man chút nhưng có phải bạn cũng học Đại học Khoa học Tự nhiên

đúng rồi  bạn ạ 

Ta thấy $\{f_n\}$ hội tụ điểm về $f(x)=x^2.$
 
Tuy nhiên, $\sup_{x\in [0,\infty)}|f_n(x)-f(x)|=  \sup_{x\in [0,\infty)}\frac{x^2+2x^3}{1+n+2x}=\infty.$
 
Suy ra dãy hàm không hội tụ đều.

Thật á bạn TT lúc thi mk cũng nghĩ đến TH là nó có vấn đề ở vô cùng , thay x=n vào thì ra cái |fn(x)-f(x)|>= vô cùng nhưng thấy sai sai nên k ghi vào TT
P.s: máy mk k gõ telex đc nên bạn thông cảm nha

Tuyệt vời!
$|f_n(n)-f(n)|\ge c_n$ và $\lim c_n=+\infty$ đã đủ thuyết phục.

Thực sự thì cứ nghĩ nó phải ra số cụ thể nào đó , chưa gặp TH này bao giờ