1. Min

P = $\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} \ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=-1$

2. Max

$2 = a^2 + b^2 \ge \frac{(a+b)^2}{2}$

$\Rightarrow a + b \leq 2$

$P = \sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} \leqslant \sqrt{(1+1)(a+1+b+1)} \leqslant \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$

Nhận xét pt $(1)$ có $ac=-3 > 0$ nên $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $\forall m$

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là 2 nghiệm của phương trình.

Theo hệ thức Viète ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = m-1 & \\ x_{1}.x_{2} = -3 & \end{matrix}\right.$

$(x_{1} + \sqrt{{x_{1}}^{2}+2023})(x_{2} + \sqrt{{x_{2}}^{2}+2023}) = 2023$

$\Leftrightarrow (x_{1} + \sqrt{{x_{1}}^{2}+2023})(-x_{1} + \sqrt{{x_{1}}^{2}+2023})(x_{2} + \sqrt{{x_{2}}^{2}+2023})(-x_{2} + \sqrt{{x_{2}}^{2}+2023}) = 2023(-x_{1} + \sqrt{{x_{1}}^{2}+2023})(-x_{2} + \sqrt{{x_{2}}^{2}+2023})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{{x_{1}}^{2}+2023}-x_{1})(\sqrt{{x_{2}}^{2}+2023}-x_{2})=2023$

$\Rightarrow (\sqrt{{x_{1}}^{2}+2023}+x_{1})(\sqrt{{x_{2}}^{2}+2023}+x_{2})= (\sqrt{{x_{1}}^{2}+2023}-x_{1})(\sqrt{{x_{2}}^{2}+2023}-x_{2})$

$\Leftrightarrow x_{1}\sqrt{x_{2}^{2}+2023} + x_{2}\sqrt{x_{1}^{2}+2023} = 0$

$\Rightarrow x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$

$\Rightarrow x_{1} = -x_{2}$

$\Rightarrow m=1$

Mình xin đề xuất bài tương tự:

Bài 1.1: Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q$ thoả mãn: $p^4+p^3+p^2+p=q^2+q$

Với $p=2$ thì $q=5$

Với $p>2$:

$(2q+1)^2 = 4p^4+4p^3+4p^2+4p+1 > (2p^2+p)^2$

Mặt khác: $(2q+1)^2 = 4p^4+4p^3+4p^2+4p+1 < 4p^4+4p^3+5p^2+2p+1 = (2p^2+p+1)^2$

$\Rightarrow p>2$ pt vô nghiệm

$PT \Leftrightarrow (xy)^{x} = (\frac{y}{x})^y$

$\Rightarrow y=kx(k>0)$

$\Rightarrow (x.kx)^x=k^{kx}$

$\Rightarrow kx^2=k^k$

$\Rightarrow x^2=k^{k-1}$

$\Rightarrow \left[ {\begin{matrix} k = 2n+1 & \\k= n^2 & \end{matrix}}\right.$

tìm tất cả các cặp (x, y) thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}=468$ và $\left [ a,b \right ]+\left ( a,b \right )=42$

Đặt $\left ( a,b \right )=k$ 

Khi đó $a = kx, b = ky, [a,b] = \frac{ab}{(a,b)} = \frac{kx.ky}{k} = kxy$ với $k,x,y\in N^{*}$

Ta có $HPT$: $\left\{\begin{matrix}k^2(x^2+y^2) = 468 & \\ k(xy+1)=42 & \end{matrix}\right.$

Do $468 = 2^2.3^2.13$ nên $k=2, k=3, k=6$
Với các trường hợp chỉ có $k=6$ cho ra $a=12, b=18$ thỏa mãn yêu cầu bài toán

 

cho số nguyên dương n, A=√[n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2].

Chứng minh là A là số nguyên dương nhưng không là số chính phương

 

$A = \sqrt{n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2} = \sqrt{n^4+2n^3+3n^2+2n+1} = \sqrt{(n^2+n+1)^2} = n^2+n+1$

$\Rightarrow A$ là số nguyên dương

$n^2 < A = n^2+n+1 < n^2+2n+1 = (n+1)^2$

$\Rightarrow A$ không là số chính phương

Câu III:
1. ĐK: $x\geqslant -1$

Đặt $a = \sqrt{x-1}, b = \sqrt{x^2-x+1}, a \geqslant 0, b > 0$

$PT \Leftrightarrow ab+b^2-2a^2=0\Leftrightarrow (b-a)(b+2a)=0\Leftrightarrow b=a$

2. ĐK $\left\{\begin{matrix} x \geqslant -1 & \\ y \geqslant 0 & \end{matrix}\right.$
Đặt $a=\sqrt{x+1} \geqslant 0, b=\sqrt{y^2+4}>0$

$PT(1) \Leftrightarrow a+b=4-\sqrt{y} \Rightarrow a^2+b^2+2ab - (y-8\sqrt{y}+16) = 0(3)$

Lấy $PT(3) - PT(2)$ ta được: $a^2+b^2+4\sqrt{y}-8=0(4)$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+y-2ab=0\Leftrightarrow (a-b)^2+y=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=0 & \\ a=b & \end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=3 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$
Thử lại thấy thỏa mãn.

Câu IV:

Đặt $a^2=2n-1, b^2=3n+1$. Khi đó $6n-13=9(2n-1)-4(3n+1)=9a^2-4b^2=(3a-2b)(3a+2b)$

Do $6n-13$ là số nguyên tố và $3a-2b<3a+2b$ nên $3a-2b=1$.

$\Leftrightarrow 3\sqrt{2n-1}-2\sqrt{3n+1}=1$

$\Leftrightarrow 3(\sqrt{2n-1}-3) - 2(\sqrt{3n+1} -4)=0 $

$\Leftrightarrow 6(n-5)(\frac{1}{\sqrt{2n-1}+3}-\frac{1}{\sqrt{3n+1}+4})=0$
Dễ dàng thấy $\frac{1}{\sqrt{2n-1}+3}-\frac{1}{\sqrt{3n+1}+4} > 0$ nên $n=5$
 

Chọn mỗi màu $1$ viên có ${10 \choose1 }{11 \choose1 }{12 \choose1 }$ cách chọn
Chọn $6$ bi còn lại trong $30$ bi có ${30 \choose6 }$ cách chọn

Tổng số cách chọn ${10 \choose1 }{11 \choose1 }{12 \choose1 }{30 \choose6 }$ cách chọn

@Iloveandhatemath
1. Min
P=

 

a,b không âm mà bn

Sửa:
$2=a^2+b^2 \leqslant (a+b)^2$

$\Rightarrow a+b \geqslant \sqrt{2}$
$P^2=a+b+2+2\sqrt{(a+1)(b+1)}=a+b+2+2\sqrt{ab+a+b+1}\geqslant 2+\sqrt{2}+2\sqrt{\sqrt{2}+1}$
$\Rightarrow P\geqslant \sqrt{\sqrt{2}+1}+1$
Dấu bằng tại $(a,b)=(\sqrt{2},0)$ và hoán vị
PS: Cảm ơn bạn, mình không chú ý điều kiện

a)

Gọi $I$ là giao của $AH$ và $(O)$.
Khi đó $AI \bot IK$ và $AI \bot BC$ nên $IK \parallel BC$
Do $IK,BC$ là dây cung song song của đường tròn và $OM$ là trung trực $BC$ nên $OM$ là trung trực của $IK$.
Do $IH,KD$ cùng vuông góc với $BC$ nên tứ giác $HDKI$ là hình chữ nhật, mà $OM$ là trung trực $IK$ nên $OM$ là trung trực của $HD$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $HD$ $\Rightarrow MH=MD$ $\Rightarrow BH=CD$