$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

c/m $2\sqrt{ab+1}>a+b<=>4(ab+1)>(a+b)^2<=>2ab+4>a^2+b^2$

$<=>(a-b)^2 \leq 4$ ( luôn đúng)

$\frac{1}{2x+\sqrt{x(x+3)}}$

 $ \frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = \frac{3}{2}$

Bài 13 Cho tam giác $\Delta ABC$ có $(I)$ là đường tròn nội tiếp. Gọi $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp $\widehat A$ của $\Delta ABC$ với các cạnh của tam giác.Chứng minh rằng $S_{IBC} > \frac{1}{4} S_{DEF}$

Bài 7 (Nguyễn Tăng Vũ)

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Phân giác trong góc $\widehat{ABC}$ cắt $(O)$ tại $D$ và cắt AC tại $E$. Gọi $w$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEB$. $F$ là giao $BC$ và $w$, $DF$ cắt $w$ tại $G$, $EG$ cắt $AD,BC$ tại $M,N$. Chứng minh rằng$\frac{MA}{MD}.\frac{NB}{NC} =\frac{AB^2}{DC^2}$

Muốn gõ Latex thì đặt công thức toán giữa $ và  $ mà, bạn Korkot gõ khó nhìn quá. 

Tìm tất cả số nguyên dương $x,y$ thỏa $x^2+1 \vdots y$ và $y^3+1 \vdots x^2$

Sao suy ra được vậy bạn?

 

Mà $(a-1)(a+1)=y^3$ nên y=2 hay y=0 (vì (a-1,a+1)=2 )

P/s Mình đã hiểu rồi.

Theo đúng thứ tự thì đây là bài 19 và 20 , mong bạn sửa lại.

Bài 2: Giả sử p là số nguyên tố sao cho cả hai nghiệm của phương trình:

$x^{2}+px-444p= 0$ là các số nguyên. Tìm p và các nghiệm của phương trình

Phương trình có nghiệm nguyên => $\Delta = p^2+1776p$ là số chính phương.

Ta đặt $p^2+1776p=k^2 (k \in \mathbb{N})$

$<=>p(p+1776)=k^2$ mà $p$ là số nguyên tố $=> k \vdots p => k^2 \vdots p^2$

$=>p(p+1776) \vdots p^2 => 1776 \vdots p$

Mà $p$ là số nguyên tố, ta tìm được $p$ và thử lại tìm được các nghiệm.

Bài 31: Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $p= n^{n}+1$ ( n là một số nguyên dương). Biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.

Nếu $n$ lẻ hoặc có ước nguyên tố lẻ thì $p=n^n+1=(n+1)(n^{n-1}-n^{n-2}+....+1)$ là hợp số.Với $n=1$ ta có $p=5$ thỏa mãn

Với $2 \leq n$ thì $n$ là lũy thừa bâc chẵn của $2$. Với $n=2^4$. Ta có $p=16^{16}+1 = 16^5.16^5.16^5.16+1=1048576^3.16+1 >(10^6)^3.16+1> 10^{19} $

Vậy $n \in$ {$2^1;2^2;$}

 Bài 13 Cho $p,q$ là các số nguyên tố. Đặt $A=p^2+3pq+q^2$

a) Tìm $p,q$ để A là số chính phương

b) Tìm $p,q$ để A là lũy thừa của $5$

(nguồn: Star education)

                        Bài 8: Tìm tất cả các số nguyên dương a, b,c đôi một khác nhau sao cho biểu thức:                                                   

 

                $A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}$ nhận giá trị nguyên dương.

                                     

Từ điều kiện ta có $A.abc=ab+bc+ca+a+b+c$

Từ đây ta suy ra $a,b,c$ cùng tình chẵn lẻ. Ta giả sử $c\geq b\geq a$

+) Nếu $a\geq 3$ thì $b\geq 5$ và $c \geq 7$ suy ra $A <1$. Nên $a \in (1;2)$

Đến đây ta xét trường hợp nữa là ra ( chú ý $a,b,c$ cùng tính chẵn lẻ )

Như vậy bước đầu của topic khá mĩ mãn, mình xin đề xuất tiếp:

14) Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}=xyz$.CMR $x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x+y+z+2$

Không biết đề có sai không nhưng với x=1;y=2;z=3 thì không thỏa mãn 

17)Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc 6 của 7 số đó

Giả sử 7 số nguyên tố cần tìm là  $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7$.Theo đề bài ta có:

$p_1p_2p_3p_4p_5p_6p_7=p_1^6+p_2^6+p_3^6+p_4^6+p_5^6+p_6^6+p_7^6$

Giả sử trong các số đã cho có $k$ số khác $7 (0 \leq k \leq 7)$

+)Nếu $k=0$ thì $p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=p_7=7$ (thỏa mãn đề bài)

+)Nếu $k=7$ thì $VT \not \vdots 7$ 

Mặt khác, theo định lí Fermat nhỏ $p_i^6 \equiv 1 (mod 7)$ với  $i \in (1;2;..;7) => VP \vdots 7$ => mâu thuẫn

+)Nếu $0<k<7$ thì $VT \vdots 7$ mà $VP \not \vdots 7 => $ mâu thuẫn

Vậy $p_1=p_2=p_3=p_4=p_5=p_6=p_7=7$

 Bài 12 Tìm bộ ba số nguyên tố $p,q,r$ sao cho $p^q +q^p=r$

Bài 89

$-3x^2-2\sqrt{3}x+3\sqrt{3}-1=3(x+2\sqrt{x^2+1})$

Đề 3 

Câu 2b) 

$ \left\{\begin{matrix}x^3+x+2=y^3-3y^2+4y (1) & & \\ 2\sqrt{x+2}=y+2 (2) & & \end{matrix}\right.$

$(1)<=> x^3+x+1=y^3-3y^2+3y +1 +y<=>x^3+x=(y-1)^3+y-1=>x=y-1$

Thay $x=y-1$ vào $(2)$, ta được ....

Thầy Nguyễn Lê Phước đã sửa lại lời giải rồi anh. 

BÀI III

1. $y^2-5y-62=(y-2)x^2+(y^2-6y+8)x$

$\Leftrightarrow (y-2)(y-3)-68=(y-2)x^2+(y-2)(y-4)x$

$\Leftrightarrow (y-2)(x^2+yx-4x-y+3)=-68$

$\rightarrow x,y$

$=>(a^{2}+b^{2})(x)$

Đoạn này là sao bạn?

$\frac{(a+b)^2}{a+b+2ab}\geq \frac{2(a+b)}{a+b+2}$

 

Đoạn này là sao vậy chị?

Bài hình của bạn Tạ Hoàng Vũ 

Ngày thi thứ 2:  11 - 9 -2018

Nguồn: facebook abeii gia