Cho $a < b$ C/M $a^{3}-12a \leq b^{3}-12b+32$ (Đề dự bị KHTN vòng 1 năm 2007/08)

cụ thể hơn được ko bạn 

ta có $\prod \left ( x^{2} - yz\right )\leq \frac{1}{27}\left ( \sum \left (x^{2} - yz \right ) \right )^{3}$ (1)

$2(\sum \left ( x^{2}-yz \right ))\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ (trừ 2 vế đi thôi ha    )  (2)

Từ (1) và (2) bn chắc suy ra đc rồi

$$ \prod (x^{2}-yz)  \leq  \dfrac{1}{8}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3} = \dfrac{1}{8}$$
Bài này là Korean MO 2016 ngày thứ 2

bạn nên làm chi tiết hơn vì có thể sẽ có 1 số bn ko hiểu đâu, trên pic này cx có 1 số bn ko giỏi bđt mà

$\sqrt{3}xy+y^{2} \leq \frac{3x^2 +y^2}{2} +y^2 = \frac{3(x^2+y^2)}{2} = \frac{3}{2}$
Max ( : 

Min :

Ta có$\sqrt{3}xy + y^{2}\geq -\frac{x^{2}+3y^{2}}{2}+y^{2}$

Tự làm tiếp thôi bạn :

Cho a;b;c >0. C/M : $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bài này mình mở rộng từ câu 3 của HN-Amsterdam 2015, ae làm thử

câu này có trong ST BĐT của PKH rồi nhỉ
chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 1 thì sẽ đưa về bài Ams 2015
nhưng $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 8 sẽ dễ làm hơn    
đến đây sử dụng BĐT 8/9 là xong
 

Cái này mình nghĩ nên đặt (a+b)(b+c)(c+a) = 8$m^{3}$ sẽ tổng quát hơn

Chứ mình không thích cái cách chuẩn hóa cho lắm

P/S : Bài 32 chính là đề thi HN-Amsterdam 2017-2018

32. Cho x; y; z >0 T/M : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ C/M : $\frac{x}{3-yz}+\frac{y}{3-xz}+\frac{z}{3-xy}\leq \frac{3}{2}$

33. Cho x; y; z >0 T/M : x + y + z = 12 C/M : $(x^{2}-4x+16)(y^{2}-4y+16)(z^{2}-4z+16)\geq 4096$

Mới đầu cứ đơn giản cái đã, sau nâng dần độ khó

32.
$\sum \frac{2x}{6-yz}\leq \sum \frac{x+x}{3+x^2}=\sum \frac{x+x}{x^2 + y^2 + z^2+x^2} \leq \sum (\frac{x^2}{y^2+z^2} +\frac{x^2}{x^2+z^2}) = \frac{3}{2}$

Chỗ này có vấn đề (áp dụng CS sai)

2) Ta có một số công thức như sau:

1.$_{b}^{a}\textrm{C}=_{b-1}^{a}\textrm{C}+_{b-1}^{a-1}\textrm{C}$

2.$_{n}^{0}\textrm{C}+_{n}^{1}\textrm{C}+...+_{n}^{n}\textrm{C}=2^{n}$

Công thức 2 dễ dàng cm bằng cách khai triển nhị thức Newton $(a+b)^{n}$ với a=b=1

Quay lại bài toán:

Ta có: $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=(_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2017}^{1}\textrm{C}+_{2017}^{2}\textrm{C}+...+_{2017}^{1007}\textrm{C}+_{2017}^{1008}\textrm{C})-_{2017}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{0}\textrm{C}=\frac{2^{2017}}{2}+1-1=2^{2016}$

=> $_{2018}^{0}\textrm{C}+_{2018}^{2}\textrm{C}+...+_{2018}^{1008}\textrm{C}=2^{2016}$

P/s:Bài này mà để những bạn lớp 9 làm thì khó thật.

Kiến thức này lớp 9 cũng đã đc học rồi mà

Cho các em ôn lại chỉnh hợp; tổ hợp & Newton nhé :

1) Cho đa giác đều 10 cạnh nội tiếp. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đều ấy?

2) Tính $C_{2018}^{0}+C_{2018}^{2}+...+C_{2018}^{1008}$

Cho p nguyên tố >2 Tìm số dư khi chia $2^{2^{p}}$ cho $2^{p}-1$

34. Cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác và ab + bc + ac = 3abc. C/M :

$\sum \frac{1}{ab+c^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{3}+abc}$

35. Cho a;b;c t/m : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=8$ Tìm max : $\left ( a^{2}-bc \right )(b^{2}-ac)(c^{2}-ab)$

Thậm chí em còn chưa đọc được đề thi AMS nữa.Chẳng qua là đưa về dạng bất đẳng thức tách các biến độc lập như sau:

$f(x) +f(y) +f(z) \geq c$ (hoặc $\leq$)Với $c$ là một hằng số.Việc còn lại là tìm  hệ số đánh giá $f(x) \geq mx^2 +n$ (hoặc

$f(x) \leq mx^2 +n$ rồi xây dựng các bất đẳng thức tương tự cộng lại.Nếu bạn nào thắc mắc về cách tìm các hệ số ấy thì  phải học đạo hàm trước đã sau đó nghiên cứu đến phương pháp "tiếp tuyến" sẽ thấy "ảo diệu"

Mình nói đùa tí thôi =)))

Cái phương pháp ấy mình đã học qua rồi (và có khi cũng có nhiều bạn khác đã học rồi) nên cũng ko cần nhắc lại nữa

Bài 35: Cho a,b,c Tìm Max x,y,z là sao?

Đã fix đề

Hoàn toàn ủng hộ ý kiến của a Hoàng vì cá nhân e vẫn mù BĐT:

Tiếp nhé:

1. Tìm số nguyên $n$ thỏa mãn:$n^{3}+2015n=2017^{2016}+1$

2. Cho $a,b,x,y$ là các số hữu tỷ khác 0 thỏa mãn: $\frac{x^{4}}{a}+\frac{y^{4}}{b}=\frac{1}{a+b}$ và $x^{2}+y^{2}=1$.

Chứng minh  rằng: $\frac{x^{2016}}{a^{1003}}+\frac{y^{2016}}{b^{1003}}=\frac{2}{(a+b)^{1003}}$

Chỗ đỏ có vẻ như sai đề (2006 mới đúng)

Bài 2 chính là câu 3 của LHP 2015

Bài 25.

$bdt\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c(a+b+c)}{a^3(b+c)}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{b^2c}{a^3}\geqslant\frac{9}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\sum \frac{c^2a}{b^3}\geqslant\frac{9}{2}$

 

Áp dụng bđt $Cô-si$ : 

 

$VT=\sum \left [  \frac{b^2c}{a^2(b+c)}+\frac{c^2a}{2b^3}\right ]+\sum\frac{c^2a}{2b^3}\geqslant2\sum \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{2ab(b+c)}}+\frac{3}{2}$

 

$= \frac{3}{2}+2\sum \frac{c^2}{\sqrt{2abc(b+c)}}\geqslant^{CS}  \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})}= \frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{A}$

 

với $A=\sqrt{2abc}(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})$

 

Ta có $A^2=2abc(\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}+\sqrt{a+b})^2\leqslant 2abc.6(a+b+c)$ ( áp dụng $(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)$ )

 

$=12(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\leqslant 4(ab+bc+ca)^2$  ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\leqslant \frac{4(a+b+c)^4}{9}$   ( áp dụng $3(xy+yz+zx) \leq (x+y+z)^2$ )

 

$\Rightarrow A\leqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3}$

 

$\Rightarrow VT\geqslant\frac{3}{2}+\frac{2(a+b+c)^2}{\frac{2(a+b+c)^2}{3}}= \frac{9}{2}$

 

Vậy ta có $đpcm$.

Hơi dài e ơi =)))

Dùng AM-GM cho 3 số là ok rồi

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Bài này dùng Cauchy-Schwarz thôi bạn

1261 =))

http://www.alexa.com...ndantoanhoc.net

1. b. Ta có: $\left\{\begin{matrix}x=ny+pz \\ y=mx+pz \\ z=mx+ny \end{matrix}\right.$

$=> x+y+z=2(ny+pz+mx)=2(ny+y)=2y(n+1)=> \frac{1}{n+1}=\frac{2y}{x+y+z}$

Lại có,$x+y+z=2(pz+z)=2z(p+1)=>\frac{1}{p+1}=\frac{2z}{x+y+z}$

Và $x+y+z=2(mx+x)=2x(m+1)=>\frac{1}{m+1}=\frac{2x}{x+y+z}$

=> ĐPCM

Bài này mình làm theo dãy tỉ số bằng nhau bạn ạ x(1+m) = y(1+n) = z(1+p) = (x+y+z)/2

$y=27$ và $y=-27$ chớ

P/s: bài hôm nay làm tốt ko.Thấy thằng Kiệt làm được 9 đ thì phải

Mình không thi bạn à. Thế bạn có làm đc k?

Đc khoảng bao nhiêu điểm thế bạn?

8,5 đề này. Not bad

Quan trọng là đã đậu LS với vị trí thứ 13 (do văn và anh hơi thấp )

ai giải giùm tớ bài cuối được không?

Câu 5 : G/S có n+2018 đường thẳng t/m đề bài

Trong n+2018 đường đó ta xét 2018 đường x1; x2; x3;... ; x2018 và 1 đường y trong số n đường còn lại CẮT 2018 ĐƯỜNG X1; X2;...; X2018

Khi đó đường y này sẽ song song với n-1 đường còn lại ngòai 2018 đường x1; x2;...;x2018

=> n đường y còn lọai sẽ đều cắt 2018 đường x1; x2; x3;... ; x2018

=> n =< 2018 (vì mỗi đường sẽ chỉ cắt đúng 2018 đường khác)

=> n+2018 =< 4036

Dấu = xảy ra <=> n = 2018 <=> 2018 đường x1; x2; x3;... ; x2018 đều không cắt nhau

Vậy có nhiều nhất 4036 đường t/m đề bài, gồm 2018 đường x1; x2; x3;... ; x2018 song song với nhau; 2018 đường x1; x2; x3;... ; x2018 song song với nhau và x1 không song song với y1

P/S : Bài tổ hợp & hình năm nay dễ hơn bài tổ hợp & hình năm ngóai nhưng đề năm nay vẫn khó hơn đề năm ngóai (xem đề năm ngóai tại đây)

Thánh Kiệt, bài này à lm k ra. Thế liệu đc bao nhiêu điểm hả cu?

chắc tầm 9/10 (vì trừ 2a ra làm đc cả mà)

P/S : Nick kia bị mod cho 20 point vì lỗi profile, đang kháng nghị

Thế chú  làm đc câu tổ hợp ko? Anh làm đc này

Đề này mình làm hôm đó được 15 điểm thôi, nhưng cũng cao nhất Tp Thanh Hóa

A 15,5 đó chú :v

Áp dụng Cauchy cho 3 số ta có $(b-a)^{3}+128$=$\left ( b-a \right )^{3}+64+64\geq 3.4.4.(b-a)=48(b-a)$ (1)

Lại có : $4(b^{3}-a^{3})\geq (b-a)^{3}$ (2) (do b-a>0)

Từ (1) và (2) tự làm tiếp thôi bạn

Vậy bạn trình bày cách của bạn đi.

Đúng như tiêu đề nhé, đây là nơi hội tụ các ae madridista như mình. Bạn nào là madridista vào đây điểm danh nhé