Đây là chứng minh cho định lý đã thảo luận với nemo. Chứng minh này có trong cuốn của Rotman

Theorem 1: If the order of http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G is http://dientuvietnam...imetex.cgi?p^sm, then http://dientuvietnam...ex.cgi?p|(N_r-1), where http://dientuvietnam...mimetex.cgi?N_r is the number of subgroups of order http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?G, and http://dientuvietnam...ex.cgi?0<r<s 1.

Proof: We can assume http://dientuvietnam...mimetex.cgi?s>1 and prove by induction.

For http://dientuvietnam...imetex.cgi?r=1: (Hint) Let http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Z_p act on http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X={(g_1,g_2,...,g_p)|g_1g_2...g_p=1}
For http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?r>1:
Fix a subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1}, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_1,...,K_a be subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H is contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i, so we know that H is a normal subgroup of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i.
Thus, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_i is contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_G(H), the normalizer of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G.
So http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a equal the number of subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_G(H)/H, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Fix a subgroup http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1,...,H_b be subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K contains in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j, so we know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j is a normal subgroup of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K.
Thus, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1H_2=K and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|D|=p^{r-2}, where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D is the intersection of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_2. Therefore, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|K/D|=p^2 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D is abelian.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D ~ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K/D has http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p+1 subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, and these subgroups correspond one-to-one with the subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A and containing http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D.
If http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j is not in this list http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?D is not contained in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j, let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E be the intersection of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_1 and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_j. Then we get another list of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p+1 subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} and contain http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K, and this list intersects the old list only at http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K_1(=E.D).
So http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b equal the number of subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.
We also know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\Bigsum_{i=1}^{n_{r-1}}{a_i}=\Bigsum_{j=1}^{\n_r}{b_j}, so http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_r is congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_{r-1} mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p, and by the induction hypothesis, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_r must be congruent to http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?1 mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p.

Theorem 2: If the order of http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G is http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^s, then http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?NN_r is the number of normal subgroups of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^r in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G, and http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0<r<s+1.

Proceed similarly to the proof above, except that in the case http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|K|=p^r, we let http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G act on the set http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X={H_1,...,H_b} by conjugation action.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b=|X| is congruent to the http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?|X^G| (mod http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p), where http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^G is the number of points in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X that are fixed by http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g for all http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G.
We also know that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X^G is the set of subgroups http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H of order http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{r-1} in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?K such that http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H is normal in http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G. The theorem thus follows.

Bài này hay quá, thật ko ngờ một người bị mù từ nhỏ lại có khả năng toán học tuyệt vời thế, có thể hiểu và thuộc bài ngay mà ko cần ghi chép, lại có thể theo dự những buổi hội thảo từ năm 2 DH.

Nhưng ngay sau năm đầu nghiên cứu tôi đã được bổ nhiệm làm phó giáo sư giảng về đại số trừu tượng và lý thuyết nhóm.

Năm 1934 trong một buổi thuyết trình, nhà toán học Pháp Cac-ta E, đã đặt ra một bài toán hay và khó mà ông chưa giải được. Tôi đã chăm chú nghe và sau đó đã giải quyết thành công bài toán này và đem báo cáo tại Hội nghị toán quốc tế năm 1935 tại Mat-scơ-va. Điều thú vị là lần đầu tiên tôi đọc báo cáo bằng tiếng Anh do mình tự học.

Tra internet thì thấy kết quả năm 1934 này có lẽ được biết đến như là Pontryagin duality trong lý thuyết nhóm. Pontryagin duality phát biểu như sau: "if A is an abelian group, and if dual group of A is defined as A^ := Hom(A,C*), then dual group of A is an abelian group (canonically), and A^^ is isomorphic with A canonically given some conditions (such as A is finite -- Pontryagin duality for finite abelian groups)". Có thể xem chi tiết hơn về tầm quan trọng của Pontryagin duality ở đây: http://en.wikipedia....tryagin_duality

Ảnh "Thế rồi mùa thu đi" đẹp quá, có phải đường phố Can ko thế Lim, hay là trong một công viên nào đó, có phải vào xế chiều ko?

Một chút nắng vàng, không gian như đang lắng lại dưới tia nắng mong manh, lá vàng rải lối đi như đang khẽ xôn xao, nhưng ko một gợn gió. Xa kia là những xác lá bơ vơ đang co cụm lại, gần đây là những lá phong mong manh, nơi thưa nơi đầy, mà nắng cũng mong manh ko chạm đến ...

Ngày... tháng 11/05

Hắn đang chuếng choáng, chưa hẳn là say, nhưng cũng chưa chắc là ko tỉnh. Đã lâu rồi chưa có được cảm giác thế này. Nhớ hồi hai năm trước, còn say hơn thế này nữa kia, hắn phóng từ cầu thang thẳng xuống trong vòng 2 giây, tụi bạn tròn xoe mắt, rồi sau đó hắn cùng thằng bạn nằm đo đường, tiếp đó hắn nức nở trên vai thằng bạn. Ôi, cái đất Sài Gòn thân thương quá đỗi, bạn bè giờ mỗi đứa một nơi, bao giờ được gặp lại? Có phải mỗi người là một mũi tên vô định (hay có định hướng?) phóng đi rồi chẳng biết khi nào gặp lại?

Nơi đất người, hắn cùng thằng bạn cùng uống. Hắn muốn về thời cấp 3, nơi mà hắn vẫn còn là một đứa trẻ chưa biết ưu tư, thằng bạn lại muốn về thời cấp 2, nơi mà nó có nhiều kỉ niệm hơn. Ừ thì vẫn thế, cứ ước đi, cứ muốn đi cho thỏa cõi lòng, nhấc ly lên mà ước, rồi thả ly xuống, nghe một tiếng cốp mà biết rằng mình vẫn còn ở thực tại. Thằng bạn bảo, uống đi, bây giờ chỉ có hiện tại, ko có tương lai. Phải chăng khi uống thì người ta chỉ sống với quá khứ, và cố lãng quên đi thực tại phũ phàng; nhưng hắn vẫn ko thể quên được nhiệm vụ ngày mai của hắn, thế thì làm sao uống hết mình được? Nó thì đi phát flyer, đi phát một mình trên các phố nơi đất người, có buồn lắm ko? Còn hắn thì cuồng điên theo một mũi tên định sẵn, để rồi chốc chốc dừng lại nhìn quanh tìm một bóng người mà ko thấy, nhấc cái gì lên uống cho chát, cho say để rồi phóng (hay lê) tiếp chặng đường?

Hãy đi tới cùng của tuyệt vọng, để thấy tuyệt vọng cũng đẹp như một bông hoa? Có thật thế ko hả bác Trịnh, có thật tuyệt vọng đẹp thế ko, hay là… chỉ biết rằng mỗi lần tuyệt vọng là hắn lại thèm khát một cái gì của quá khứ mà hắn vừa đánh mất, như đánh mất một món đồ chơi đẹp mà ko bao giờ tìm lại được. Còn hơn món đồ chơi đẹp ấy chứ, đó là những thứ mà hắn đã bám víu vào để trang điểm thêm cho cuộc sống, và cũng là những thứ đã giúp hắn vượt qua một chặng đường dài để tới đây. Thế mà giờ đây hắn còn gì để bám víu ko, leo lên những bậc thang ước mơ cao vời vợi, mà ko có một thứ gì để bám víu, há chẳng đáng sợ lắm sao?

The explanation of canh_dieu is pretty clear. However, many authors consider a ring as a "ring with a unit", and they just call a ring without unit as a "nonunital ring". So, to reformulate the original question, we need to find a nonunital ring without any maximal ideal.

Should this also be an example? Let A be a nonunital ring, whose underlying set is the direct sum of the abelian groups Z/p, where p runs through the set of all prime numbers, and whose multiplication is the one trivially endowed as mentioned above. Then it has no maximal ideal, because if I is an ideal of A and x is in I, then for all the nonzero coordinates of x, we easily prove that those corresponding direct summands of A also lie completely in I. For example, if x is (0 mod 2, 1 mod 3, 3 mod 5, 0 mod 7, 0 mod 11, ...) then the whole direct summand Z/3 and Z/5 lie in I. Hence for any proper ideal of A, we can enlarge it without making it nonproper.

Chúc Sơn thành công và có thể tìm nhiều niềm vui trong mọi việc

The question is correct, this is a property of diagonalizable matrices, called simultaneous diagonalizability.

Definition: Two square matrices A,B of the same size are said to be simultaneously diagonalizable iff there exists an invertible square matrix X of the same size such that XAX^(-1) and XBX^(-1) are both diagonal matrices.

(You can think of these matrices as linear transformations, and they are said to be simultaneously diagonalizable iff there is a basis of the vector space such that these linear transformations are represented by diagonal matrices with respect to this basis)

The statement can be made stronger as follows: two diagonalizable matrices are simultaneously diagonalizable if and only if they commute with each other.

To do this question, one should know the Jordan canonical form theorem for matrix, and the characterization of diagonalizable matrix, namely one that has a minimal polynomial which is the product of different linear polynomials (here I assume the matrix coefficients are in C-the set of complex numbers or any algebraically closed field).

I'm lazy of typing out the solution, so please have a look here:
http://math.berkeley...hw5answers.html (question 4)
and
http://math.berkeley...hw6answers.html (question 2).

"...đừng tuyệt vọng tôi ơi đừng tuyệt vọng, tôi là em mà em cũng là tôi..."

...em là ai mà yêu quá đời này, em là ai mà còn trần gian thế... :rose

Kết quả đó là Z[sqrt(-19)] chứ ko phải Q. Đây là một cách giải đã được đơn giản hóa dưới dạng một chuỗi các bài tập nhỏ để chứng minh Z[sqrt(-19)] là một PID nhưng ko phải là một ED, khá thú vị.

Hic, ẩu quá . Chính xác là Z[(1+a)/2], trong đó a=\sqrt(-19), là một PID nhưng ko phải là một ED.

@hungkhtn:

Đối với BDT trong toán sơ cấp, nếu bạn có thể giải các bài toán khó đó và còn có thể sáng tạo thêm các bài khó, mad xin ngả mũ khâm phục vì sự thông minh của bạn.

Nhưng xin nêu ra một số lý do mà toán cao cấp đáng bỏ thời gian ra tìm hiểu hơn BDT (khi bước vào đại học) nhé:

1. Ko dám nói là bạn ko nên học toán sơ cấp nữa, nhưng mà thật sự toán học có những cấu trúc ko ngờ được. Bạn nhìn từ góc độ này sẽ ko bao giờ thấy được, nhưng nếu đứng trên góc độ khác, sẽ thấy các cấu trúc hiện ra một cách vô cùng sáng sủa và đẹp đẽ.

2. G. H. Hardy từng nói: một định lý để được xem là quan trọng thì nó phải tổng quát và sâu. Sâu có nghĩa là nó được xây dựng trên nhiều kết quả khác, và ko phải là một định lý tầm thường có thể chứng minh một cách dễ dàng. Tổng quát có nghĩa là nó phải được áp dụng để chứng minh trong nhiều trường hợp khác. Các bài toán BDT tuy đẹp, có thể khó và có thể là rất khó, nhưng chưa chắc đạt được tầm tổng quát, và có thể áp dụng rộng rãi ngoại trừ một số BDT nổi tiếng.

3. Bạn sử dụng và chứng minh một BDT, ví dụ, một bất đẳng thức của 3 số thực a,b,c, và có căn bậc 3 của chúng. Hoặc như bạn áp dụng BDT Bernoulli cho trường hợp số mũ là số thực. Xin hỏi bạn, bạn có thể định nghĩa chúng một cách nghiêm túc ko, ví dụ, định nghĩa thế nào là lũy thừa với số mũ là số vô tỉ. Bạn có tò mò muốn biết các nhà toán học định nghĩa chúng thế nào ko? Bạn có thắc mắc về việc các phương trình đều có ít nhất một nghiệm phức ko, điều mà mad nghĩ có ko ít BDT sẽ sử dụng để làm? …. Nếu có, bạn đang bước chân vào thế giới toán cao cấp đấy. Nếu ko, bạn chỉ đơn thuần là một kỹ sư thông minh và thành thạo trong việc áp dụng các công cụ người ta cho bạn mà ko hề biết về một thế giới đẹp đẽ tiềm ẩn bên dưới nó: thế giới toán cao cấp đấy.

4. Các cấu trúc toán học đâu chỉ có thể so sánh với nhau theo mối quan hệ lớn hơn hay bé hơn, bước vào toán cao cấp, bạn sẽ thấy liên hệ này xuất hiện như một phần nhỏ của toán học, có rất nhiều mối quan hệ khác mà bạn ko ngờ được (đẳng cấu, đồng cấu, …), các đối tượng toán học cũng ko chỉ là những số thực, số nguyên, số phức mà còn là những khái niệm trừu tượng khác, cũng đẹp ko kém…

5. Toán học rộng lắm, khó có thể học hết được, nhưng nếu nói bỏ thời gian học đúng cái cần học (bằng cách nào, theo kinh nghiệm những người đi trước) thì sẽ nắm đúng và rộng cái cấu trúc, cái hồn, cái tinh túy của các đối tượng toán học, và sẽ ko phải mất nhiều thời gian một cách ìít có lợi bằng”.

Và cuối cùng, mượn lời của anh leoteo:

You think the only people who are people
Are the people who look and think like you
But if you walk the footsteps of a stranger
You'll learn things you never knew you never knew...

(Color of the wind)

Chúc bạn luôn vui và say mê với toán học!

mọi bài toán sơ cấp có nhìn được sáng sủa hơn khi ta đứng bằng toán cao cấp không? nếu đúng thế thì nên học toán cao cấp để làm toán sơ cấp cho tốt

Xin trả lời là ko phải mọi bài toán sơ cấp đều có thể nhìn sáng sủa hơn bằng các công cụ cao cấp, cũng ko ai đủ thời gian mà miêu tả tất cả các bài sơ cấp bằng công cụ cao cấp cả.

Một ví dụ cơ bản và khá đẹp là dùng lý thuyết nhóm để chứng minh định lý Euler trong số học. Một ví dụ khác là có thể chứng minh định lý Fermat-Euler mà thầy namdung đã post trong diễn đàn bằng lý thuyết vành.... Có rất nhiều kết quả đẹp như thế.

Còn việc học toán cao cấp chưa hẳn để làm toán sơ cấp tốt hơn, mà là để hiểu rộng, hiểu sâu hơn về thế giới toán bí ẩn.

Có ai biết là với giá trị nào của số nguyên n (có thể là số âm), Z[\sqrt(n)] là một Euclidean domain ko ạ? (nếu có chứng minh hay phác thảo cách chứng minh được thì tốt )

mad chỉ biết cách chứng minh Z[\sqrt(-1)], Z[\sqrt(3)] là Euclidean domain, còn các giá trị khác thì ko biết gì. Mà hình như có những giá trị n mà Z[\sqrt(n)] là Euclidean domain với norm ko phải là Euclidean norm nữa?!

Let A be the Z-module which is the direct sum of Z/n's, B the Z-module which is the direct product of Z/n's.

First, please have a look at Exercise 12 iV, Chapter 3 ò Atiyah & MacDonald's "Introduction to Commutative Algebra", which states that:

Proposition: If A is an integral domain and M is an A-module, then T(M) is the kernel of the mapping x --> 1 \tensor x of M into K \tensor M, where K is the field of fractions of A.

Let B=M. First, note that the torsion module of B (well-defined because Z is an integral domain) is exactly A. If Q \tensor B = 0, then the kernel of the mapping B --> Q \tensor B is the whole B, which implies that A=B, which is impossible. Thus, Q \tensor B can not vanish.

P/s: Excuse me for not using TEX typing in this answer, I'm too lazy to learn it now

You are rite, the torsion module of B is not A, but then is there any formula for the torsion module of B?

For the second question, if you look at Z_p as the ring of integers, and since for any A-module M and any multipilicatively closed subset S of A, we have:

S^(-1)A \tensor_A M ~ S^(-1)M (isomorphic as S^(-1)A-modules and thus also as A-modules)

and note that S^(-1)M vanishes if and only if each element of M is annihilated by some element of S.

If we let M=the direct product of Z/p^n, and S={p^m: m \in N}, then we can easily see that there are elements of M that cannot be annihilated by any element of S. So the new tensor product does not vanish.

There is a related question: let A be a commutative ring, and x is an element of A. If x \tensor 1 = 0 in the tensor product A-module (x) \tensor A/(x), where (x) is the ideal generated by x, is it true that (x)=(x^2)? I think it's true but have not figured out how to do it.

Topic này xin tặng các bạn trên dd đã quen cũng như chưa quen, chúc mọi người một năm mới thật thành công, đầy niềm vui và hạnh phúc.

Năm mới tháng giêng mồng một Tết
Còn nguyên vẹn cả một mùa xuân

(Nhạc xuân - Nguyễn Bính)

Nguyễn Bính có nhiều bài thơ xuân rất hay và đặc sắc. Khó ai có thể quên được hình ảnh ngày xuân đầy màu sắc, âm thanh và ngào ngạt hương hoa mà Nguyễn Bính đã vẽ nên trong bài ìXuân về”. Xuân rộn ràng trong lòng từng người để rồi nhịp nhàng hòa quyện vào nhau trong bức tranh ấm áp, gần gũi và thân thương của làng quê trong những ngày đầu năm. Xin mở đầu chùm thơ xuân bằng ìcái thanh khiết của đồng quê, cái ấm áp nơi ngõ xóm, cái dìu dịu của hương bưởi , của ánh nắng đồng nội, của bướm vàng, lộc non, mạ xanh…”

Xuân về

Đã thấy xuân về với gió đông
Với trên màu má gái chưa chồng,
Bên hiên hàng xóm cô hàng xóm
Ngước mắt nhìn giời đôi mắt trong.

Từng đàn con trẻ chạy xun xoe
Mưa tạnh trời quang nắng mới hoe
Lá nõn nhành non ai tráng bạc
Gió về từng trận gió bay đi.

Thong thả nhân gian nghỉ việc đồng
Lúa thì con gái mượt như nhung
Đầy vườn hoa bưởi hoa cam rụng
Ngào ngạt hương bay bướm vẽ vòng.

Trên đường cát mịn một đôi cô
Yếm đỏ, khăn thâm, trẩy hội chùa
Gậy trúc dắt bà già tóc bạc
Lần lần tràng hạt niệm nam mô.

(1937 – trích tập thơ Tâm hồn tôi)

Đôi nét tiểu sử: Nguyễn Bính (1918-1966), tên thật là Nguyễn Trọng Bính , sinh tại làng Thiện Vinh, huyện Vụ Bảng, tỉnh Nam Định (nay là Hà Nam Ninh). Ông mồ côi mẹ từ nhỏ, tự học ở nhà, bắt đầu làm thơ từ năm 13 tuổi. Nguyễn Bính được giải khuyến khích thơ của nhóm Tự Lực Văn Đoàn năm 1937 với tập thơ Tâm Hồn Tôi. Ông tham gia kháng chiến chống Pháp tại Nam Bộ, tập kết ra Bắc năm 1954, làm việc tại Hội văn nghệ Việt Nam, Ty văn hóa thông tin Nam Hà. Năm 1958, Nguyễn Bính làm chủ bút báo Trăm Hoa.

Tác phẩm tiêu biểu: các tập thơ Lỡ Bước Sang Ngang (1940), Tâm Hồn Tôi (1940), Hương Cố Nhân (1941), Mây Tần (1942), Người Con Gái Ở Lầu Hoa (1942), Tình Nghĩa Đôi Ta (1960), Tuyển Tập Nguyễn Bính (1984); kịch thơ Bóng Giai Nhân (1942); truyện thơ Truyện Tỳ Bà (1944)...

Nguyễn Bính còn có một bài thơ xuân khác rất đặc sắc, đó là bài ìMưa xuân”. Thật đáng ngạc nhiên là Hoài Thanh – Hoài Chân đã không đăng bài này trong tập ìThi nhân Việt Nam”. Nếu như nói ìXuân về” là một bức tranh sinh động về cảnh xuân thì có thể nói ìMưa xuân” là một bản nhạc lòng về tình xuân của một cô gái quê. Những hẹn hò, tương tư, nhớ thương và vui buồn đan xen vào nhau như những sợi thoi tơ trong khung cửi, như những giọt mưa xuân trong một đêm hội chèo, và như những xác hoa xoan rụng rơi khi ngày xuân đã cạn. Có một cái gì đó giống nhau giữa ìMưa xuân” và bài hát ìƯớt mi” chăng…

Mưa xuân

Em là con gái trong khung cửi
Dệt lụa quanh năm với mẹ già
Lòng trẻ còn như cây lụa trắng
Mẹ già chưa bán chợ làng xa.

Bữa ấy mưa xuân phơi phới bay
Hoa xoan lớp lớp rụng vơi đầy
Hội chèo làng Đặng đi ngang ngõ
Mẹ bảo: "Thôn Đoài hát tối nay."

Lòng thấy giăng tơ một mối tình
Em ngừng thoi lại giữa tay xinh
Hình như hai má em bừng đỏ
Có lẽ là em nghĩ đến anh.

Bốn bên hàng xóm đã lên đèn
Em ngửa bàn tay trước mái hiên
Mưa chấm bàn tay từng chấm lạnh
Thế nào anh ấy chả sang xem!

Em xin phép mẹ, vội vàng đi
Mẹ bảo xem về kể mẹ nghe
Mưa bụi nên em không ướt áo
Thôn Đoài cách có một thôi đê.

Thôn Đoài vào đám hát thâu đêm
Em mải tìm anh chả thiết xem.
Chắc hẳn đêm nay dường cửi lạnh
Thoi ngà nằm nhớ ngón tay em.

Chờ mãi anh sang, anh chẳng sang.
Thế mà hôm nọ hát bên làng
Năm tao bảy tuyết anh hò hẹn
Để cả mùa xuân cũng lỡ làng.

Mình em lầm lũi trên đường về
Có ngắn gì đâu một dải đê!
Áo mỏng che đầu mưa nặng hạt
Lạnh lùng thêm tủi với canh khuya.

Bữa ấy mưa xuân đã ngại bay
Hoa xoan đã nát dưới chân giày
Hội chèo làng Đặng về ngang ngõ
Mẹ bảo: "Mùa xuân đã cạn ngày".

Anh ạ! Mùa xuân đã cạn ngày
Bao giờ em mới gặp anh đây?
Bao giờ hội Đặng đi ngang ngõ
Để mẹ em rằng: hát tối nay?

(1936)

Lời bình của nhà thơ Anh Ngọc

Và đây, mùa xuân tinh khôi đầy thi vị khiến lòng kẻ xa quê chợt bâng khuâng mơ màng khi nhớ về làng quê xưa...

Mùa xuân chín - Hàn Mặc Tử

Trong làn nắng ửng : khói mơ tan
Ðôi mái nhà tranh lấm tấm vàng
Sột soạt gió trêu tà áo biếc
Trên giàn thiên lý -- Bóng xuân sang

Sóng cỏ xanh tươi gợn tới trời
Bao cô thôn nữ hát trên đồi
-- Ngày mai trong đám xuân xanh ấy
Có kẻ theo chồng bỏ cuộc chơi…

Tiếng ca vắt vẻo lưng chừng núi
Hổn hển như lời của nước mây
Thầm thĩ với ai ngồi dưới trúc
Nghe ra ý vị và thơ ngây…

Khách xa gặp lúc mùa xuân chín
Lòng trí bâng khuâng sực nhớ làng
-- Chị ấy năm nay còn gánh thóc
Dọc bờ sông trắng nắng chang chang ?

(1937 – tập thơ Đau thương)

Xuân Đầu Tiên - Hàn Mặc Tử

Mai sáng mai, trời cao rộng quá
Gió căng hơi và nhạc lên mây
Đôi lòng cũng ấm như xuân ấm
Chỉ có ao xuân trắng trẻo thay .

Mai này thiên địa mới tinh khôi
Gió căng hơi và nhạc lên trời
Chim khuyên hót tiếng đầu tiên hết
Hoa lá hồ nghi sự lạ đời .

Trái cây bằng ngọc vỏ bằng gấm
Còn mặt trời kia tợ khối vàng
Có người trai mới in như nguyết
Gió căng hơi và nhạc lên ngàn.

Thuở ấy càn khôn mới dựng nên
Mùa thơ chưa gặt tốt tươi lên
Người thơ phong vận như thơ ấy
Nào đã ra đời ngọc biết tên.

Xuân gấm đầu tiên giữa cõi đời
Mùi thơm ngây dại sóng con người
Hãy hoan hô, lời cao như sấm
- Vạn tuế, bay ơi! nắng rợp trời.

(trích tập thơ Xuân Như Ý)

Nào, Tết đến rồi, ta đi chợ nhé, đi chợ không chỉ để đi chợ (mua đồ) mà còn để đi chợ (ngắm người) Mua gì nào, mua đôi câu đối xuân nhé, mua vài trái cam đỏ chót về đặt lên mâm ngũ quả, mua con heo con gà về làm mâm cỗ, mua bức tranh gà cho tụi trẻ, …. Tranh thủ ngắm cô yếm thắm duyên dáng xinh tươi, ngắm cụ đồ mài nghiên chăm chú viết chữ, ngắm bà cụ tóc trắng phau phau bán hàng bên ngôi miếu cổ, ngắm anh chàng bán pháo tán tỉnh các cô gái, … À, còn nghe tiếng người í ới gọi nhau nữa chứ, nghe tiếng người người cưòi nói rộn rã, … Chợ Tết vui quá, nhộn nhịp quá !

Chợ Tết – Đoàn Văn Cừ

Dải mây trắng đỏ lòm trên đỉnh núi,
Sương hồng lam ôm-ấp nóc nhà tranh,
Trên con đường viền trắng mép đồi xanh,
Người các ấp tưng-bừng ra chợ Tết.
Họ vui-vẻ kéo hàng trên cỏ biếc;
Những thằng cu áo đỏ chạy lon-xon,
Vài cụ già chống gậy bước lom-khom,
Cô yếm thắm che môi cười lặng-lẽ,
Thằng em bé nép đầu bên yếm mẹ.
Hai người thôn gánh lợn chạy đi đầu,
Con bò vàng ngộ-nghĩnh đuổi theo sau.
Sương trắng dỏ đầu cành như giọt sữa,
Tia nắng tía nháy hoài trong ruộng lúa,
Núi uốn mình trong chiếc áo the xanh,
Đồi thoa son nằm dưới ánh bình-minh.

Người mua bán ra vào đầy cổng chợ.
Con trâu đứng vờ dim hai mắt ngủ,
Để lắng nghe người khách nói bô-bô.
Anh hàng tranh kĩu-kịt quảy đôi bồ,
Tìm đến chỗ đông người ngồi dở bán.
Một thầy khóa gò lưng trên cánh phản,
Tay mài nghiên hí-hoáy viết thơ xuân.
Cụ đồ nho dừng lại vuốt râu cằm,
Miệng nhẩm đọc vài hàng câu đối đỏ.
Bà cụ lão bán hàng bên miếu cổ,
Nước thời-gian gội tóc trắng phau phau.
Chú hoa-man đầu chít chiếc khăn nâu,
Ngồi xếp lại đống vàng trên mặt chiếu.
Áo cụ lý bị người chen sấn kéo,
Khăn trên đầu đương chít cũng tung ra.
Lũ trẻ con mải ngắm bức tranh gà
Quên cả chị bên đường đang đứng gọi.
Mấy cô gái ôm nhau cười rũ-rợi,
Cạnh anh chàng bán pháo dưới cây đa.
Những mẹt cam đỏ chót tựa son pha,
Thúng gạo nếp đong đầy như núi tuyết,
Con gà trống màu thâm như cục tiết,
Một người mua cầm cẳng dốc lên xem.

Chợ tưng-bừng như thế đến gần đêm.
Khi chuông tối bên chùa văng-vẳng đánh,
Trên con đường đi các làng hẻo-lánh,
Những người quê lũ-lượt trở ra về.
ánh dương vàng trên cỏ kéo lê-thê,
Lá đa rụng tơi-bời quanh quán chợ.

(1939)

Đọc lại bài thơ Chợ Tết của Đoàn Văn Cừ - Đào Duy Hiệp

Chợ vui quá, chưa muốn về, thích đi tiếp cơ

Chợ ngày xuân - Anh Thơ

Mưa vừa tạnh, nắng bừng trên quán mới,
Trên cây đa lấp loáng gió lao xao
Trên những giải lưng điều bay phấp phới,
Các cô nàng lơ lẳng nón quai thao.

Chợ đông quá! Chỗ này vài chiếu bạc,
Những chàng trai ô mới mở dương vây;
Cười nói, nói luôn mồm và chỗ khác
Mấy cụ ngồi nhắm rượu gật gù say.

Nhưng đông nhất quán hàng người đoán thẻ
- Một lão già kính trắng, bịt khăn đen -
Các cô gái chen nhau vào, vui vẻ
Nghe Thánh truyền sắp đắt mối lương duyên.

Rượu là thứ không thể thiếu trong ngày xuân . " Tiểu nữ " cũng xin góp vui một bài thơ liên quan đến xuân và rượu :

Xuân nhật tuý khởi ngôn chí

Xử thế nhược đại mộng
Hồ vi lao kỳ sinh?
Sở dĩ chung nhật túy
Đồi nhiên ngọa tiền doanh
Giác lai miện đình tiền
Nhất điểu hoa gian minh
Tá vấn thử hà nhật?
Xuân phong ngữ lưu oanh
Cảm chi dục thán tức
Đối chi hoàn tự khuynh
Hạo ca đãi minh nguyệt
Khúc tận dĩ vong tình

Lý Bạch

Dịch nghĩa

Ngày xuân tỉnh rượu tự nhủ lòng

Sống ở đời như giấc mộng lớn
Tội chi vất vả đời mình
Nên ta suốt ngày say sưa
Nằm lăn bên cột nhà trước
Tỉnh dậy nhìn ra sân
Một con chin đang hót bên hoa
Ướm hỏi ta ngày gì
(Mà) cái oanh bay chuyền học nói trong gió xuân
Lòng cảm xúc muốn thở than
Lấy rượu lại tự nghiêng bầu
Cất tiếng ca chờ trăng sáng
Ca hết quên đi nỗi lòng

Dịch thơ

Ở đời như giấc chiêm bao
Lam chi mà phải lao đao uổng hoài
Vậy nên say suốt hôm mai
Bên cây cột trước nằm dài khểnh chân
Tỉnh rồi chợy ngó trước sân
Tiếng chim đâu đã nghe gần trong hoa
Ngày chi ? Thử hỏi cho ra
Mà sao khắp chốn chan hòa tiếng oanh
Ngậm ngùi tức cảnh sinh tình
Nghiêng bầu mình lại với mình làm vui
Trăng lên ta hát thảnh thơi
Hát xong câu hát chuyện đời đã quên .

Ơ, vui nhỉ, đang đi chợ thì pizza rủ đi uống rượu. Xin cạn một chén với pizza vì bài thơ hay nhé


Ngày xuân thơ rượu - Tản Đà

Trời đất sinh ra rượu với thơ
Không thơ không rượu sống như thừa!
Công danh hai chữ mùi men nhạt,
Sự nghiệp trăm năm nét mực mờ.
Mạch nước sông Đà tim róc rách,
Ngàn mây non Tản mắt lơ mơ.
Còn thơ còn rượu còn xuân mãi,
Còn mãi xuân, còn rượu với thơ.

Những người muôn năm cũ,
Hồn ở đâu bây giờ?


Ông Đồ - Vũ Đình Liên

Mỗi năm hoa đào nở
Lại thấy ông đồ già
Bày mực tàu giấy đỏ
Bên phố đông người qua.

Bao nhiêu người thuê viết
Tấm tắc ngợi khen tài
"Hoa tay thảo những nét
Như phượng múa rồng bay."

Nhưng mỗi năm mỗi vắng
Người thuê viết nay đâu?
Giấy đỏ buồn không thấm
Mực đọng trong nghiên sầu...

Ông đồ vẫn ngồi đấy
Qua đường không ai hay
Lá vàng rơi trên giấy
Ngoài giời mưa bụi bay.

Năm nay đào lại nở
Không thấy ông đồ xưa
Những người muôn năm cũ
Hồn ở đâu bây giờ?

Mới tìm được bản ngâm thơ và lời bình hay của bài "Mùa xuân chín" - Hàn Mặc Tử:

Ở đây

Được cụng li với Madness " t.n " thật lấy lamg vinh dự . Nào , xin mời :

Tương tiến tửu

Quân bất kiến
Hoàng hà chi thủy thiên thượng lai,
Bôn lưu đáo hải bất phục hồi !
Hựu bất kiến
Cao đường minh kính bi bạch phát,
Triêu như thanh ti mộ thành tuyết.
Nhân sinh đắc ý tu tận hoan,
Mạc sử kim tôn không đối nguyệt
Thiên sinh ngã tài tất hữu dụng,
Thiên kim tán tận hoàn phục lai.
Phanh dương tể ngưu thả vi lạc,
Hội tu nhất ẩm tam bách bôi.
Sầm phu tử!
Đan Khâu sinh.!
Tương tiến tửu,
Bôi mạc đình!
Dữ quân ca nhất khúc,
Thỉnh quân vị ngã khuynh nhĩ thính.
Chung cổ soạn ngọc bất túc quý,
Đãn nguyện trường túy bất nguyện tinh
Cổ lai thánh hiền giai tịch mịch,
Duy hữu ẩm giả lưu kỳ danh.
Trần Vương tích thời yến Bình Lạc,
Đẩu tửu thập thiên tứ hoan hước.
Chủ nhân hà vi ngôn thiểu tiền,
Kính tu cô thủ đối quân chước.
Ngũ hoa mã,
Thiên kim cừu,
Hô nhi tương xuất hoán mỹ tửu,
Dữ nhĩ đồng tiêu vạn cổ sầu

Lý Bạch
Dịch Thơ

Sắp dâng rượu

Há chẳng thấy
Nước sông Hoàng từ trời tuôn xuống
Chảy nhanh ra biển,chẳng quay về,
Lại chẳng thấy
Thềm cao gương soi rầu tóc bạc
Sớm như tơ xanh, chiều tựa tuyết ?
Đời người đắc ý hãy vui tràn,
Chớ để bình vàng suông bóng nguyệt !
Trời sinh thân ta, hẳn có dùng,
Nghìn vàng tiêu hết rồi lại đến.
Mổ dê, giết trâu, cứ vui đi,
Uống liền một mạch ba trăm chén !
Sắp mời rượu, chớ có thôi !
Vì nhau tôi xin hát,
Hãy vì tôi hai bác nghe cùng :
"Này cỗ ngọc, nhạc rung, chẳng chuộng,
"Muốn say hoài, chẳng muốn tỉnh chi !
"Thánh hiền tên tuổi bặt đi,
"Chỉ phường thánh rượu tiếng ghi muôn đời !
"Xưa Trần Vương yến nơi Bình Lạc,
"Rượu tiền muôn đùa cợt tha hồ"
Chủ nhân kêu thiếu tiền ru ?
Để cùng dốc chén, ta mua đi nào !
Đây ngựa gấm, đây áo cừu,
Này con, đổi rượu hết,
Cùng nhau ta giết cái sầu nghìn thu !

Dịch : Hoàng Tạo Và Tương Như

Chà, năm nay vui nhà vui cửa nhỉ. Được nâng chén cùng pizza vào đúng ngày mồng một, rượu ngon, thơ hay, sàng khoái biết bao.

Mời pizza một chén nhé, một chén rượu nếp đầu xuân cho ấm người nào

Gặp xuân - Tản Đà

Gặp xuân ta giữ xuân chơi,
Câu thơ chén rượu là nơi đi về.
Hết xuân, cạn chén, xuân về
Nghìn thu nét mực xuân đề vẫn xuân!

Xuân ơi xuân hỡi!
Vắng xuân lâu ta vẫn đợi chờ mong
Trải bao nhiêu ngày tháng hạ, thu, đông
Ròng rã nỗi nhớ nhung, xuân có biết ?
Khứ tuế xuân qui, sầu cửu biệt
Kim niên xuân đáo, khách tương phùng. (1)
Gặp ta nay xuân chớ lạ lùng
Tóc có khác, trong lòng ta chẳng khác.
Kể từ thuở biết xuân bốn chín năm về trước
Vẫn rượu thơ non nước thú làm vui,
Đêm xuân nay ta tuổi đã năm mươi
Tính trăm tuổi, đời người ta có nửa,
Còn sau nữa lại bao nhiêu xuân nữa
Mặc trời cho, ta chửa hỏi làm chi.
Sẵn rượu đào xuân uống với ta đi,
Chỗ quen biết kể gì ai chủ khách?
Thiên cổ vị văn song Lý Bạch
Nhất niên hà đắc lưỡng Đông quân? (2)
Dẫu trăm năm gặp gỡ đủ trăm lần
Thơ với rượu cùng xuân, ta cứ thế.
Ngoài trăm tuổi vắng ta trần thế,
Xuân nhớ ta chưa dễ biết đâu tìm!
Cùng nhau nay hãy uống thêm!

(1938)

(1) Năm ngoái xuân về, ta buồn vì phải xa cách lâu.
Năm nay xuân đến, ta lại gặp nhau.
(2) Xưa nay chưa nghe có hai Lý Bạch.
Một năm làm sao có hai chúa xuân?