Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e(a,b,c,d,e\neq 0, b\neq -ac)$

 

 

Áp dụng bổ đề , kể cả khi thực hiện liên tiếp $2$ loại bước chuyển như trên thì luôn $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=1$ và $\exists m,n\in \mathbb{Z}$ sao cho $ma+nb=-1$
Khi đó sau một số hữu hạn thực hiện thay phiên các bước chuyển thì từ $1$ điểm $(x;y)$ bất kì có thể tạo ra được các điểm $(x+1;y+1);(x+1;y-1);(x-1;y+1);(x-1;y-1)$

Bạn có thể giải thích chỗ này cho mk đc ko ?

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

ĐKXĐ: $\frac{-3}{2}\leq x\leq 4$

Ta có:

$x\sqrt{3x+2}+\sqrt{4-x}=\sqrt{2(x^2+1)(x+3)}$

$=>x^2(3x+2)+(4-x)+2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=2(x^2+1)(x+3)$

$<=>2x\sqrt{(3x+2)(4-x)}=-x^3+4x^2+3x+2$

$=>4x^2(3x+2)(4-x)=(-x^3+4x^2+3x+2)^2$

$<=>x^6-8x^5+22x^4-20x^3-7x^2+12x+4=0$

$<=>(x-2)^2(x^2-2x-1)^2=0$

$<=>x=2;x=1+\sqrt{2};x=1-\sqrt{2}$

Thử lại$($Do ở trên có 2 dấu $"=>)$

$=>x=2;x=1+\sqrt{2}$ thỏa mãn, loai nghiệm $x=1-\sqrt{2}$

Vậy,...

Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện 

$f(af(y)+bx)=cx+dy+e,\forall x,y\epsilon \mathbb{R} (a,b,c,d\neq 0;b\neq -ac)$(mk ko bt ký hiệu của "thuộc")

$Cho f(x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}.Tính  giá  trị  của  biểu  thức A=f(\frac{1}{2012})+f(\frac{2}{2012})+...+ f(\frac{2010}{2012})+f(\frac{2011}{2012})$

$f(x)+f(1-x)=\frac{x^{3}}{1-3x+3x^{2}}+\frac{(1-x)^3}{1-3x+3x^{2}}=1=>...<=>A=1005+f(\frac{1006}{2012})=...$

$8x^2+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}$

ĐKXĐ: $x\neq0$

+)Xét $x>0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}=8x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\geq3\sqrt[3]{8x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}>\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}\leq x< 0$

$=>8x^2+\frac{1}{x}<8(\frac{1}{2})^2<\frac{5}{2}($Vô nghiệm$)$

+)Xét $\frac{-1}{2}>x$

$=>x< \frac{-\sqrt{15}}{12}$

$=>$ Ta có thể đặt $x=\frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{5a}{3})(a\in \mathbb{R})$

Thay vào pt ban đầu

$=>16x^3-5x=-2<=>...<=>\frac{1}{4}(\frac{1}{a^3}+\frac{125a^3}{27})=-2$

$<=>...<=>a=\frac{\sqrt[3]{-108+\pm\sqrt{8289}}}{5}$

$<=>...<=>x=\frac{5}{12}(\sqrt[3]{-108+\sqrt{8289}}+\sqrt[3]{-108-\sqrt{8289}})$

Thử lại thấy t/m.

Vậy,...

$2^{x}=x+1$

Áp dụng BĐT Bernoulli

$=>2^x=(1+1)^x\geq 1+x.1 \forall x \in \mathbb{N}$

Dấu $"="$ phải xảy ra

$=>x=0;x=1$

[quote name="trang2004" post="714903" timestamp="1535466299"]

$(x+1)\sqrt{x+8}=x^2+x+4$
<=> $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2$,rồi dùng hệ số bất định là ôkê. Cũng đặt $t=\sqrt{x+8}\geq0$ cũng xong nhé

Từ $(x+1)^2(x+8)=(x^2+x+4)^2=>(x-1)(x^3+2x^2+x-8)=0$ thì cái pt bậc 3 tính sao ???

$ 2017^{x}+2019^{x}=2.2018^{x}$

$2.4^{\frac{1}{x}}+6^{\frac{1}{x}}=9$

Điều kiện của $x$ là gì?