$(x^{2}+x)^{2}+4(x^{2}+x)=12$ $<=>  $(x^{2}+x)^{2}+4(x^{2}+x)+4=16$  <=> $(x^{2}+x+2)^{2}=16$

<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x+2=4 & & \\ x^{2}+x+2=-4 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} x^{2}+x-2=0 & & \\ x^{2}+x+6=0 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\left\{\begin{matrix} (x-1)(x+2)=0 & & \\ (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{23}{4}>0 & & \end{matrix}\right.$

<=> $\begin{bmatrix} x=1 & & \\ x=-2 & & \end{bmatrix}$

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 0. Tìm GTNN của $p=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}$

Cho $(O)$ có dây $MN$ khác đường kính và $A$ là điểm chính giữa cung nhỏ $MN$. Lấy $C,D$ bất kì thuộc $MN$. $AC, AD$ cắt $(O)$ lần lượt tại $E$ và $F$.

a) Chứng minh tứ giác $CDFE$ nội tiếp (done)

b) Chứng minh $AM^{2}=AC.AE$ (done)

c) Kẻ đường kính $AB$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MEC. Chứng minh $M,I,B$ thẳng hàng. (?)

Tìm x, y > 0 sao cho:

$(x^{2}+y+\frac{3}{4})(y^{2}+x+\frac{3}{4})=(2x+\frac{1}{2})(2y+\frac{1}{2})$

Cho nửa đường tròn $(O,R)$ đường kính $AB.$ Vẽ dây $MN=R(M$ ở trên cung nhỏ $AN).$ Hai dây $AN$ và $BM$ cắt nhau tại $I,AM$ cắt $BN$ tại $K.$

a) $\widehat{AMB}= \widehat{ANB}=90^0 \Rightarrow K,M,I,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $KI.$

b) $KA.KM=KN.KB$ và bằng phương tích của $K$ tới $(O).$

c) Gọi $O'$ tâm $(KAB)$ thì theo kết quả quen thuộc $KI=2OO'.$

Lại có $\widehat{MAN}= \frac{ \widehat{MON}}{2}= \frac{60^0}{2}=30^0 \Rightarrow \widehat{AO'B}=2 \widehat{AKB}=120^0.$

Do đó $\widehat{AO'O}=60^0 \Rightarrow OO'= \frac{AO}{ \sqrt{3}}= \frac{R}{ \sqrt{3}} \Rightarrow KI= \frac{2R}{ \sqrt{3}}.$

d) Theo câu c) thì $\widehat{AKB}=60^0 \Rightarrow (AKB)$ cố định.

Vậy $K$ di chuyển trên $(AKB)$ cố định, lại có $AB$ cố định nên $S_{KAB}$ lớn nhất khi $K$ là trung điểm cung lớn $AB$ của $(AKB).$

Khi đó hiển nhiên $M,N$ là giao điểm $BO',AO'$ với nửa đường tròn $(O).$

$KI=2OO'.$ ???? Xin lỗi nhưng tại sao ạ? với lại, AO = R/2.

 

@halloffame:

_ $AO$ là bán kính của đường tròn $(O,R)$ thì nó phải bằng $R.$

_Cách chứng minh $KI=2OO':$ lấy $I'$ đối xứng $I$ qua $O.$ Khi đó thì $IBI'A$ là hình bình hành nên $I'A \parallel IB \perp KA.$

Tương tự $I'B \perp KB \Rightarrow K,A,I',B$ nội tiếp đường tròn đường kính $I'K \Rightarrow O'$ trung điểm $KI'.$

Do đó $OO'$ là đường trung bình $\Delta I'KI \Rightarrow KI=2OO'.$

Cho đường tròn $(O,R),$ điểm $M$ ở ngoài đường tròn sao cho $OM=2R.$ Kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ tới đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm $).OM$ cắt $AB$ tại $H.HD \perp MA$ tại $D.C$ thuộc cung nhỏ $AB.$ Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O,R)$ cắt $MA,MB$ lần lượt tại $E$ và $F.$

c) Tính theo $R$ chu vi $\Delta MEF.$
d) Đường tròn đường kính $MB$ cắt $BD$ tại $I.K$ là trung điểm của $OA.$ Chứng minh $\overline{M,I,K}.$
 

 $\left\{\begin{matrix} \frac{6}{2x-3y}+\frac{2}{x+2y}=3 & & \\ \frac{3}{x-2y}+\frac{4}{x+2y}=-1 & & \end{matrix}\right.$

Cho 1 < x < 2. Tìm GTNN của:

$M=\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{(2-x)^{2}}+\frac{1}{(x-1)(2-x)}$

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, K$ thẳng hang; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)

Hãy chứng minh $15a^{2}+8a+6$ và $30a^{2}+21a+13$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc AB, vẽ đường tròn tâm O đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt (O) lần lượt tại F và K.
a) Chứng minh BC . BE = BD . BA
b) Chứng minh tứ giác AFBC nội tiếp
c) Chứng minh FK // AC
d) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF (mình đang thắc mắc phần d)
 

Bài 1: Cho x, y > 0 và $x^{3}+y^{3}+6xy\leq 8$.

Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Bài 2: Cho HPT:

$\left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1 & & \\ x+(m-1)y=2 & & \end{matrix}\right.$

Tìm m để HPT có nghiệm duy nhất sao cho x + y nhỏ nhất

Bài 3: Chứng minh

$\frac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}< \frac{1}{3}$

Bài 4: Cho a, b, c > 0. CMR:

$\frac{a^{2}}{b^{3}}+\frac{b^{2}}{c^{3}}+\frac{c^{2}}{a^{3}}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

Mọi người giúp mình với

Cho điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ của $(O)$. Một đường thẳng $d$ ở ngoài $(O)$ và vuông góc với $OM$; $CM,BM$ cắt $d$ lần lượt ở $D,E$. Chứng mình $BCED$ nội tiếp.

 

Cho A = $\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+2}$

Tìm GTNN của A

Cho $(O; AB)$ và $C$ di chuyển trên nửa đường tròn. Tia phân giác $ACB$ cắt $(O)$ tại $M$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $AC, BC$. Gọi giao điểm của $CM$ và $HK$ là $I$. Khi $C$ di chuyển trên $(O)$ thì $I$ di chuyển trên đường nào? (Được phép sử dụng các kết quả sau: $H, O, N, K$ thẳng hàng; $CKMH$ là hình vuông; các tứ giác $AOMH, MOKB$ nội tiếp)

Cho đường tròn tâm $(O)$ và dây $AB$. Vẽ đường kính $CD$ vuông góc với $AB$ tại $K$ ($D$ thuộc cung nhỏ $AB$). $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho cung $MC$ < cung $MB$. $DM$ cắt $AB$ tại $F$. Tia $CM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$

a) Chứng minh tứ giác $DEMK$ nội tiếp

b) Chứng minh $KE.KF=KC.KD$

c) Tiếp tuyến tại M của $(O)$ cắt AE tại I. Chứng minh tam giác $IFM$ cân

d) Chứng minh $FB.EK=EB.KA$ (tập trung câu d)

Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $M$ và $N$. Tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ cắt $(O')$ tại $B$, tiếp tuyến tại $M$ của $(O')$ cắt $(O)$ tại $A$. Gọi $P$ là điểm đối xứng của $M$ qua $N$. Chứng minh tứ giác $MAPB$ nội tiếp.

Cho $x=y$ hoặc $x=-y$

Tính min M=$2x^{4}-y^{4}+6xy+8y^{2}-10x-2y+2024$

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 1$ và $ab+bc+ca=9$

             Tính GTNN và GTLN của $P=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài 2: Cho $a, b$ thỏa mãn $(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}=2$

Tìm GTNN của $P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}$

Bài 3: Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$

Tính GTNN của $P=\frac{ab}{c^{2}(a+b)}+\frac{ac}{b^{2}(a+c)}+\frac{bc}{a^{2}(b+c)}$

Bài 2

Ta có

$2=(2a-1)^{2}+(2b-1)^{2}\geq \frac{(2a-1+2b-1)^{2}}{2}=2(a+b-1)^{2} \Rightarrow (a+b-1)^{2}\leq 1 \Rightarrow a+b\leq 2$

$P=a^{4}+b^{4}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{2017}{(a+b)^{2}}=\frac{(a+b)^{4}}{8}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{8}{(a+b)^{2}}+\frac{2001}{(a+b)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)^{4}}{8}.\frac{8}{(a+b)^{2}}.\frac{8}{(a+b)^{2}}}+\frac{2001}{4}=6+\frac{2001}{4}=\frac{2025}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=1

bạn ơi tại sao  $\frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{(a+b)^{4}}{8}$

Bài 4: Cho x > 1, y > 1. Tìm GTNN của:

$P=\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$

Cho $0\leq x, y, z \leq 1$ và x + y + z = 1.
Chứng minh rằng:
$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}\leq 1$

Đề sai. Nếu x=y=z=1 thì $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\sqrt{12xyz}=3+\sqrt{12}> 1$

Thưa bạn đề không sai, bạn chưa hiểu đề bài phải không? Đó chỉ là khoảng giới hạn cho ba số x, y, z thôi, và x+y+z=1 mà, làm sao cả ba đều = 1 được.