Câu 5: Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:
$\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{a+c}{a^2+c^2}\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Bg:
Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} ; \frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{b+c}; \frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geq \frac{4}{a+c}$
$=> \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})$
Cần chứng minh:$2(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c})\geq \sum \frac{a+b}{a^2+b^2}$
<=> $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\geq \sum \frac{a+b}{2(a^2+b^2)}$
Ta có: $\frac{a+b}{2(a^2+b^2)}\leq\frac{a+b}{(a+b)^2}=\frac{1}{a+b}$
Tương tự: $\frac{b+c}{2(b^2+c^2)}\leq \frac{1}{b+c} ; $\frac{a+c}{2(a^2+c^2)}\leq \frac{1}{a+c}$
Cộng vế theo vế suy ra điều phải chứng minh.
Bạn xem lại có sai chỗ nào không nhé !