Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Dây cung EF cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Gọi X,Y,Z,T lần lượt là trung điểm của các đoạn BQ,CP,PQ,EF. Chứng minh XYZT nội tiếp.

P/s: Giúp mình với các bạn!

Chào các bạn, mình là 12DecMath. Để tiếp nối series ôn tập hình học của anh spirit1234, mình xin phép được lập lại topic rất hay giúp các bạn lớp 9 có thể ôn tập hình học thi vào THPT chuyên.

P/s: Dưới đây là một số bài tập mà mình muốn gửi!

$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại D và E. P là một điểm bất kì trên cung lớn DE của đường tròn (I). Lấy điểm F là điểm đối xứng với A qua PD và M là trung điểm DE. Chứng minh rằng $\hat{FMP}$ = 90^o

$\boxed{2}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác $\hat{BAC}$ cắt (O) tại E khác A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Trung trực AB,AC cắt AE lần lượt tại P,Q. Chứng minh rằng $PM.PE=QN.QE$

$\boxed{3}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp (O), có trực tâm H. (I) tiếp xúc với BC tại D. Khi IO//BC thì chứng minh rằng HD//AO

$\boxed{4}$ Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Đường tròn (w) tâm A đi qua D cắt (O) tại P,Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AD. AO cắt BC tại E và K,M lần lượt là trung điểm của AD,BC. Chứng minh rằng HM,GE,OD đồng quy.

$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và I_a là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua I_a vuông góc với AI_a cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I_a lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.

$\boxed{6}$(Bài toán khó) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.Gọi J là tâm nội tiếp của tam giác ABC. K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ACD ứng với góc D. Chứng minh K,J,E thẳng hàng.

Mong Topic sẽ quay lại và phát triển như xưa!

P/s: Khi đăng bài thì các bạn phải thêm hình để cho mọi người có thể dễ dàng tiếp thu hơn!

Hôm ni có hứng nên mình đăng thêm 3 bài nữa!

$\boxed{8}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt (O) tại D. Lấy X thuộc AC sao cho OX//AD. Gọi Y là điểm đối xứng của X qua A. Lấy Z trên tia AB sao cho AZ=AC. Lấy T thuộc AO sao cho ZT vuông góc với AC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính YZ chia đôi cạnh DT

$\boxed{9}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). S nằm trên đường kéo dài của đường chéo DB sao cho SA,SC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt SC tại P và CD tại Q, PD cắt (O) tại E. Chứng minh A,E,Q thẳng hàng.

$\boxed{10}$ Cho tứ giác ABCD có $\hat{ABD}$=$\hat{ACD}$=90^o. Kẻ BH vuông góc với AD tại H. Trên đường chéo AC lấy I sao cho AI=AB. Gọi O là trung điểm AD, đường thẳng vuông góc với OI tại I cắt BH,CD tại E,F. Chứng minh rằng IF=2.IE

$\boxed{11}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D, đường tròn đường kính AI cắt (O) tại M. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (AMI) tại N. Chứng minh OM chia đôi ND.

Cách giải của mình: 

$\boxed{11}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D, đường tròn đường kính AI cắt (O) tại M. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt (AMI) tại N. Chứng minh OM chia đôi ND.

Cách giải của mình:

Chào các bạn, mình là 12DecMath. Để tiếp nối series ôn tập hình học của anh spirit1234, mình xin phép được lập lại topic rất hay giúp các bạn lớp 9 có thể ôn tập hình học thi vào THPT chuyên.

P/s: Dưới đây là một số bài tập mà mình muốn gửi!

$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại D và E. P là một điểm bất kì trên cung lớn DE của đường tròn (I). Lấy điểm F là điểm đối xứng với A qua PD và M là trung điểm DE. Chứng minh rằng $\hat{FMP}$ = 90^o

$\boxed{2}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác $\hat{BAC}$ cắt (O) tại E khác A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Trung trực AB,AC cắt AE lần lượt tại P,Q. Chứng minh rằng $PM.PE=QN.QE$

$\boxed{3}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp (O), có trực tâm H. (I) tiếp xúc với BC tại D. Chứng minh rằng HD//AO

$\boxed{4}$ Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Đường tròn (w) tâm A đi qua D cắt (O) tại P,Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AD. AO cắt BC tại E và K,M lần lượt là trung điểm của AD,BC. Chứng minh rằng HM,GE,OD đồng quy.

$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và I_a là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua I_a vuông góc với AI_a cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I_a lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.

$\boxed{6}$(Bài toán khó) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.Gọi J là tâm nội tiếp của tam giác ABC. K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ACD ứng với góc D. Chứng minh K,J,E thẳng hàng.

 

Mong Topic sẽ quay lại và phát triển như xưa!

P/s: Khi đăng bài thì các bạn phải thêm hình để cho mọi người có thể dễ dàng tiếp thu hơn!

Bài 4: 

Hôm ni có hứng nên mình đăng thêm 3 bài nữa!

$\boxed{8}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt (O) tại D. Lấy X thuộc AC sao cho OX//AD. Gọi Y là điểm đối xứng của X qua A. Lấy Z trên tia AB sao cho AZ=AC. Lấy T thuộc AO sao cho ZT vuông góc với AC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính YZ chia đôi cạnh DT

$\boxed{9}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). S nằm trên đường kéo dài của đường chéo DB sao cho SA,SC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt SC tại P và CD tại Q, PD cắt (O) tại E. Chứng minh A,E,Q thẳng hàng.

$\boxed{10}$ Cho tứ giác ABCD có $\hat{ABD}$=$\hat{ACD}$=90^o. Kẻ BH vuông góc với AD tại H. Trên đường chéo AC lấy I sao cho AI=AB. Gọi O là trung điểm AD, đường thẳng vuông góc với OI tại I cắt BH,CD tại E,F. Chứng minh rằng IF=2.IE

Bài 10: 

$\boxed{13}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm E,F lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại G khác A thì G nằm trên cung AB không chứa C của (O).

1) Chứng minh rằng tam giác GEC và GFB đồng dạng

2) Gọi AD là đường kính của (O). GD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF tại K khác G. Chứng minh rằng $\frac{EF}{BC}$ =$\frac{AK}{AD}$

3) Giả sử trung trực của EF đi qua trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\frac{GE}{GF}$=$\frac{KE}{KF}$

P/s: Đây là đề thi thử chuyên toán KHTN vòng 1. Cre: Khương Nguyễn ( CLB toán Lim=+∞) 

$\boxed{14}$ Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. MN cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Chứng minh (HMN) tiếp xúc với (APQ)

$\boxed{14}$ Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. MN cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Chứng minh (HMN) tiếp xúc với (APQ)

Lời giải:

Đề thi Olympic 30/4 môn Toán khối 10 năm 2021

Bài 1: Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác có chu vi là $2$. Chứng minh rằng:

\[2\sqrt 2  + \frac{{{a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc}}{6} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} + {a^2}}  < 2\sqrt 3 \]

Bài 2: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = y + 1\\
{y^2} - 1 = z + 1\\
{z^2} - 1 = x + 1
\end{array} \right.\]

Chứng minh rằng $x+y+z$ là số nguyên.

Bài 3: Với mỗi số nguyên $n \ge 2$, xét một bảng gồm $(2n - 1) \times (2n-1)$ ô vuông. Người ta viết các số $-1, 0, 1$ vào mỗi ô vuông sao cho với mọi bảng con $2 \times 2$, ta luôn tìm được 3 ô sao cho tổng các số viết trên mỗi ô vuông này bằng $0$. Đặt $S_n$ là giá trị lớn nhất của tổng các số được viết trên bảng.

(a) Chứng minh rằng $S_2=5$.

(b) Chứng minh rằng $S_n = n^2+n-1$.

Bài 4:

(a) Chứng minh rằng tồn tại hai cặp số $(a,b)$ sao cho $a,b$ là những số nguyên dương thỏa mãn:

$$a^2 + 3b^2 = 7^9$$

(b) Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình

$$x^2 + y^2 + xy= 7^n$$

có nghiệm trong tập các số nguyên không chia hết cho $7$.

Bài 5: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Tia $AO$ cắt $BC$ tại $L$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$. Tiếp tuyến tại $A'$ của đường tròn ngoại tiếp $A'BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $D,E$.

(a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A'BD, A'CE, A'AL$ đồng quy tại một điểm khác $A'$.

(b) Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác $ABC, JDE$ tiếp xúc nhau.

Cho tam giác ABC, M là trung điểm cạnh BC.ĐIểm P nằm trong tam giác thỏa mãn $\angle CPM=\angle PAB$. Cho em hỏi cách dựng ạ!

Lời giải: 

Đây là đề thi thử của trường PTNK lần 1 năm 2021 

$\boxed{Bài 16:}$ Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AI cắt MI tại K. Chứng minh rằng: AK=ID.

Một tính chất quen thuộc của tâm nội tiếp tam giác: 

Đây là đề thi thử của trường PTNK lần 1 năm 2021 

Lời giải cho câu hình:

$\boxed{17}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (w) có đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Dựng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEDC có tâm (O). Tiếp tuyến tại B,D của đường tròn (O) cắt nhau tại K.

a) T = (w) $\cap$ AK. Chứng minh tứ giác BTKD nội tiếp

b) S = AK $\cap$ BC, L = SH $\cap$ AO. Chứng minh tứ giác BELO nội tiếp

c) Chứng minh $\overline{S,E,D}$ 

d) Kẻ tiếp tuyến AX của đường tròn (O) sao cho S $\in$ cung nhỏ CD. Chứng minh $\overline{S,H,X}$

Tâm (BEDC) nằm trên BC rồi thì sao 2 tiếp tuyến tại B và C cắt nhau dc ạ

à sorry bạn nha! Tiếp tuyến tại B với D á bạn sr nhiều ( đã sửa )

$\boxed{18}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc AI cắt BI,CI tại P,Q. Gọi S là tâm (BPCQ).X,Y là hình chiếu của S trên BP,CQ. Z,T là hình chiếu của A trên BI,CI. Chứng minh rằng $\frac{XZ}{YT}$=$\frac{YT}{YK}$   

Cho tam giác ABC có $\widehat{A}=60^o$. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho $CD=2BD$. Kẻ $DE$ // $AC$ ($E\in AB$). Chứng minh $\widehat{BED}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$.

Hình như có nhầm lẫn ở đề đúng không bạn?

a) Ta có $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}$ mà $\widehat{DCB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{KDB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}$ hay BTKD nội tiếp
b) Giả sử (BEO)$\cap$ (CDO) = L', dễ cm dc $\overline{A,L',O}$ và AEL'D nội tiếp
Ta có BTKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KTD}=\widehat{KBD}=\widehat{BCD}=\widehat{AED}\Rightarrow$ ATED nội tiếp mà AEHD nội tiếp
nên ta dc A, T, E, H, L', D thuộc 1 đường tròn hay $HL'\perp AO$
Tương tự ta cũng dễ cm dc SL'$\perp AO\Rightarrow \overline{S, H, L'}\Rightarrow L'\equiv L$ hay có dpcm
c) Từ câu b) ta đã cm dc L là giao của (BEO) và (CDO) nên gọi giao điểm của DE và BC là S' sau đó cm tương tự câu b) 


geogebra-export (12).png
P/s: mk không chắc chắn lắm về bài này nên cs sai sót mong mọi người thông cảm ạ  

d) Từ câu c) thì SL $\perp$ AO

Có: AX là tiếp tuyến của (O) => AX² = AD.AC mà OLDC nội tiếp( => AD.AC =AL.AO)

=> AX²= AL.AO mà ∠OXA =90° => XL$\perp$AO => $\overline{X,H,S}$

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) và ngoại tiếp (I). (I) tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt AC tại E, đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD cắt AB tại F. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,DF. Chứng minh OI$\perp$AD khi và chỉ khi AD,BN,CM đồng quy. (Đã sửa)

Cho tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Trên (IBC) lấy P bất kì, PB,PC cắt (O) tại E,F, D là hình chiếu của P lên BC .Gọi M là trung điểm EF. Qua M kẻ đường thẳng song song với PC,PB cắt trung trực của PD lần lượt tại Q,R. Trung trực của QR căt PM tại N. Chứng minh (NQR) tiếp xúc với (O). 

Bài làm đi đúng hướng nên tất nhiên đáp án cũng chính xác. Bây giờ là bài số 7, bây giờ ta sẽ khởi động nhẹ với những bài bất đẳng thức lượng giác. Nếu sử dụng Jensen và chứng minh đây đủ được 2 điểm, những cách làm đơn thuần được 1 điểm.

 

$\boxed{7}$ Chứng minh với mọi tam giác ABC, ta có:

$a)$ $sin$ $A$ + $sin$ $B$ + $sin$ $C$ $\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$b)$ $tan$ $A$ + $tan$ $B$ + $tan$ $C$ $\geq$ $3\sqrt{3}$   (góc$A,B,C$ nhọn)

Lời giải: 

Sr em tưởng chưa có lời giải