Ai giúp em ý C bài hình chuyên sư phạm vòng 2 2016 với ạ. Em đang định chứng minh tứ giác BDPH và CEQH nội tiếp mà không biết chứng minh sao?

Em thấy các chuyên đề hồi trước của diễn đàn rất hay ạ. Mong diễn đàn lại như xưa     

Cho em gửi lời giải của em ạ! 

Bài này ở đây (hổm tôi có đăng) https://diendantoanh...21/#entry725955

Cách khác cho câu a,b: (câu c thì hướng 4 điểm là nhanh nhất):
 

$\boxed{35}$Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường phân giác ngoài $\widehat{ABC}$ tại D. DH$\perp$BC tại H. Lấy K$\in$AB sao cho HK$//$AC.

1) Gọi N,L lần lượt là điểm đối xứng với H,K qua BD. Chứng minh rằng A,N,L,D,C đồng viên

2) Gọi M là trung điểm AK. Chứng minh rằng MC=MB+BH.

$\boxed{30}$ Đường tròn (O) có dây cung BC cố định, A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường kính AD của (O). BD$\cap$AC=E, CD$\cap$AB=F. Gọi M là trung điểm EF. Tiếp tuyến của E và F của (AEF) cắt nhau tại K. Chứng minh AK đi qua 1 điểm cố định.

Bài 36: Cho $\Delta ABC$ nội tiếp (O;R) có trực tâm H. D$\in \widehat{BC}$ nhỏ. Lấy E bất kì sao cho $CE//=AD$. Gọi K là trực tâm của $\Delta ACE$, P và Q là hình chiếu của K lên AB, BC. Chứng minh PQ đi qua trung điểm HK
P/s: Mng nhìn bài này có quen không

Bài này khá quen thuộc    
Lời giải của mình: 

$\boxed{29}$ Cho tam giác ABC có đường cao BD,CE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác BEDC. AH cắt OD và OE lần lượt tại J,I. Chứng minh rằng EJ,DJ,BC đồng quy (Nguồn: Hình học phẳng -Vĩ Đụt)

$\boxed{35}$Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt đường phân giác ngoài $\widehat{ABC}$ tại D. DH$\perp$BC tại H. Lấy K$\in$AB sao cho HK$//$AC.

1) Gọi N,L lần lượt là điểm đối xứng với H,K qua BD. Chứng minh rằng A,N,L,D,C đồng viên

2) Gọi M là trung điểm AK. Chứng minh rằng MC=MB+BH.

Lời giải:

$\boxed{48}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên $OA$ lấy $P$ tùy ý. Gọi $E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $P$ lên$ AC, AB$. Xét điểm $Q$ di động trên đoạn thẳng $EF$. Đường thẳng vuông góc với $AQ$ tại $Q$ cắt $PE,PF$ lần lượt tại $M,N$. Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMN$ và gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của $K$ lên $BC$. Chứng minh đường thẳng qua $D$ và song song với $AQ$ luôn đi qua $1$ điểm cố định.

Source: Underfined

$\boxed{49}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$ và $BC= R\sqrt{3}$. Đường cao $AD$, trung điểm $M$ của $BC$. Gọi $D’$ là điểm đối xứng của $D$ qua $M$. Tiếp tuyến tại $B, C$ của (O) cắt nhau tại $P$. Đường thẳng qua $D’$ vuông góc với $PD’$ cắt $AB, AC$ tại $F$ và $E$.

a, Gọi $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $M$. Chứng minh rằng hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $△KCE$ và $△KBF$ tiếp xúc nhau.

b, Chứng minh: $E,F,P,K$ cùng thuộc một đường tròn.

Source: 07PBC or Ngô Phương Linh

Sắp tới có thể mình sẽ lập thêm 1 Topic hình học phẳng 10 nữa nên mong các bạn ủng hộ   

$\boxed{47}$ Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $D$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$. Gọi $E, F, J$ lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp $wrt$ đỉnh $A$ của các tam giác $ABD, ACD, ABC$ tương ứng. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $J$ lên $BC$ và $K$ là trung điểm của $EF$ .

a) Chứng minh rằng $KD=KP$

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn $Euler$ của tam giác $AEF$ nằm trên đường thẳng $AD$ .

Source: Underfined

Comback     

$\boxed{46}$ Cre: https://www.facebook...100016418798908
         

P/s: Hẹn mng sau ngày 17   

$\boxed{34}$Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là tâm nội tiếp của tam giác. Trung trực của AI cắt AB,AC tại F,E. Chứng minh đường tròn đi qua F,E tiếp xúc với AB,AC thì tiếp xúc với (BOC).

Lời giải:

$\boxed{28}$Cho điểm $A$ cố định thuộc trên đường tròn $(O; R)$. $BC$ là dây cung của đường tròn $(O; R)$, $BC$ di động và $\Delta ABC$ nhọn. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$. Tiếp tuyến tại $B,C$ của đường tròn $(O)$ cắt nhau tại $G$. Gọi $S$ là giao điểm của $GD$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng $SH$ luôn đi qua một điểm cố định.

Screenshot (8).png

Hmmm... Bài này đã có trên diễn đàn và gần đây của anh spiritCreator 
https://diendantoanh...-1-điểm-trên-o/
 

Dễ thấy L, M, N nằm trên đường trung trực của EF.

Từ đó các tứ giác XLMF, YNMF nội tiếp.

Ta có $\angle XMF+\angle YMF =\angle XLF+\angle YNF=90^o$ nên $XM\perp MY$.

Untitled.png

P/s: Hay anh chữa bài 5, 6 đi, em thấy lâu rồi mà hai bài đó hơi khó

 

Chắc anh nói nhanh nhỉ(do k có thời gian)

Bài 5: Gọi M là hình chứ của I lên AC .

Ta sẽ chứng minh được các cặp tam giác AIB đồng dạng với tam giác ACI_a và tam giác AIM đồng dạng với tam giác AEI_a. Từ đó ta sẽ suy ra được AE=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$

Gọi E' là giao điểm của BL với AC thì cũng chứng minh được AE'=$\frac{2AB.AC}{AB+AC-BC}$ => đpcm

Bài 6:

Bài này để chứng minh thì ta cần dùng cái công thức tính diện tích của tam giác qua bán kính của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp. Thì cần chứng minh 2 công thức: S_ABC=p.r (p là nửa chu vi tam giác) và

S_ABC=(p-a).r. Phần sau biến tỉ hơi căng nhưng mà em cứ biến đổi 1 cách máy móc cũng được, cũng sẽ ra. Nếu có cách hay hơn anh sẽ đăng. P/s: Em với mọi người cùng suy nghĩ nha, bài này khá khó!

$\boxed{14}$ Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. MN cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Chứng minh (HMN) tiếp xúc với (APQ)

Lời giải:

$\boxed{14}$ Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BE,CF. MN cắt AB,AC lần lượt tại P,Q. Chứng minh (HMN) tiếp xúc với (APQ)

$\boxed{13}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Các điểm E,F lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại G khác A thì G nằm trên cung AB không chứa C của (O).

1) Chứng minh rằng tam giác GEC và GFB đồng dạng

2) Gọi AD là đường kính của (O). GD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF tại K khác G. Chứng minh rằng $\frac{EF}{BC}$ =$\frac{AK}{AD}$

3) Giả sử trung trực của EF đi qua trung điểm của BC. Chứng minh rằng $\frac{GE}{GF}$=$\frac{KE}{KF}$

P/s: Đây là đề thi thử chuyên toán KHTN vòng 1. Cre: Khương Nguyễn ( CLB toán Lim=+∞) 

Hôm ni có hứng nên mình đăng thêm 3 bài nữa!

$\boxed{8}$ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt (O) tại D. Lấy X thuộc AC sao cho OX//AD. Gọi Y là điểm đối xứng của X qua A. Lấy Z trên tia AB sao cho AZ=AC. Lấy T thuộc AO sao cho ZT vuông góc với AC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính YZ chia đôi cạnh DT

$\boxed{9}$ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). S nằm trên đường kéo dài của đường chéo DB sao cho SA,SC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt SC tại P và CD tại Q, PD cắt (O) tại E. Chứng minh A,E,Q thẳng hàng.

$\boxed{10}$ Cho tứ giác ABCD có $\hat{ABD}$=$\hat{ACD}$=90^o. Kẻ BH vuông góc với AD tại H. Trên đường chéo AC lấy I sao cho AI=AB. Gọi O là trung điểm AD, đường thẳng vuông góc với OI tại I cắt BH,CD tại E,F. Chứng minh rằng IF=2.IE

$\boxed{18}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) tiếp xúc BC,CA,AB tại D,E,F. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc AI cắt BI,CI tại P,Q. Gọi S là tâm (BPCQ).X,Y là hình chiếu của S trên BP,CQ. Z,T là hình chiếu của A trên BI,CI. Chứng minh rằng $\frac{XZ}{YT}$=$\frac{YT}{YK}$   

a) Ta có $\widehat{KDB}=\widehat{DCB}$ mà $\widehat{DCB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}\Rightarrow \widehat{KDB}+\widehat{ATB}=180^{\circ}$ hay BTKD nội tiếp
b) Giả sử (BEO)$\cap$ (CDO) = L', dễ cm dc $\overline{A,L',O}$ và AEL'D nội tiếp
Ta có BTKD nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KTD}=\widehat{KBD}=\widehat{BCD}=\widehat{AED}\Rightarrow$ ATED nội tiếp mà AEHD nội tiếp
nên ta dc A, T, E, H, L', D thuộc 1 đường tròn hay $HL'\perp AO$
Tương tự ta cũng dễ cm dc SL'$\perp AO\Rightarrow \overline{S, H, L'}\Rightarrow L'\equiv L$ hay có dpcm
c) Từ câu b) ta đã cm dc L là giao của (BEO) và (CDO) nên gọi giao điểm của DE và BC là S' sau đó cm tương tự câu b) 


geogebra-export (12).png
P/s: mk không chắc chắn lắm về bài này nên cs sai sót mong mọi người thông cảm ạ  

d) Từ câu c) thì SL $\perp$ AO

Có: AX là tiếp tuyến của (O) => AX² = AD.AC mà OLDC nội tiếp( => AD.AC =AL.AO)

=> AX²= AL.AO mà ∠OXA =90° => XL$\perp$AO => $\overline{X,H,S}$

$\boxed{25}$ Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến của B,C của (O) cắt tiếp tuyến của A tại 2 điểm L,K. Đường thẳng qua K song song với AC cắt đường thẳng qua L song song với AB tại P. Chứng minh BP=CP. 

$\boxed{23}$Cho đoạn thẳng $AB=\alpha $ không đổi. Lấy một điểm $M$ bất kì sao cho $\widehat{AMB}$ nhọn. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta AMB$. MI là đường trung tuyến của $\Delta AMB$. Từ $H$ kẻ $HK$ vuông góc với $MI$($K$ thuộc $MI$). Chứng minh rằng $MI.IK$ không đổi.

Screenshot (1321).png

Hình vẽ nói lên lời giải của mình.

Bài này thật sự không khó lắm, chỉ cần biết các tính chất cơ bản của trực tâm là làm được.

$\boxed{21}$Cho các điểm $M,N,P$ thứ tự thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ của $\Delta ABC$ cân tại $A$ sao cho tứ giác $MNAP$ là hình bình hành. Gọi $O$ là giao điểm của $BN$ và $CP$. Chứng minh rằng: $\widehat{OMP}=\widehat{AMN}$.

Không mất tính tổng quát thì ta giả sử MB $\leq$ MC. G là giao điểm của AB và MO, K là giao điểm của MN và CP.. 
Vì MNAP là hình bình hành nên $\widehat{OPM}$=$\widehat{ANM}$ . Vậy ta cần chứng minh tam giác QPM đồng dạng với tam giác ANM

Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác PBM cân tại P và tam giác NCM cân tại N.

=> PB=PM=AN và NC=NM=AP

Có: MN//AP, suy ra : $\frac{PQ}{PM}$=$\frac{PQ}{PB}$=$\frac{KM}{KN}$=$\frac{PB}{PA}$=$\frac{NA}{NM}$

=> ta có điều chứng minh

$\boxed{22}$Cho $\Delta ABC$ nhọn, ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại H. Gọi $M,N$ là hình chiếu của $B,C$ trên $EF$. Chứng minh rằng: $ED+FD=MN$ (Bài hình của một anh bạn hỏi qua facebook, không biết có đụng hàng ở đâu hay chưa)

Screenshot (1319).png

Lời giải:(vắn tắt)

Ta dễ chứng minh: $MF = EN$ (Cái này là bài hình lớp 8 cơ bản)

Trên tia đối của $MN$ lấy $J$ sao cho $MF = MJ$ do đó $MJ = EN$ suy ra $EJ=MN$ 

Từ $F$ vẽ đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $L$, lấy điểm $G$ đối xứng với $F$ qua $BC$ thì ta dễ có $\widehat{FDL}=\widehat{GDL}$, mà $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$(Cái này cũng cơ bản của lớp 8) nên suy ra $G,D,E$ thẳng hàng.

Như vậy, ta cần chứng minh: $EJ=EG$

Tứ giác $MFLB$ nội tiếp nên $\widehat{FML}=\widehat{LBF}$ mà $\widehat{LBF}=\widehat{AEF}$ nên $\widehat{FML}=\widehat{AEF}$ mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $ML//AE$

Mà ta có: $ML//GJ$ (đường trung bình) nên $AE//GJ$ suy ra $BE$ vuông góc $GJ$

$\Delta JEG$ có $EB$ vừa là đường cao vừa là phân giác nên là tam giác cân $\Rightarrow EJ=EG$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài này thì ta có thể gọi đối xứng của E qua BC. Rồi chứng minh F,D,E' thẳng hàng, rồi chứng minh FE' =MN. Nếu từ B kẻ vuông góc NC tại K thì dễ dàng chứng minh được BK = FE' => Ta có điểu phải chứng minh

Chào các bạn, mình là 12DecMath. Để tiếp nối series ôn tập hình học của anh spirit1234, mình xin phép được lập lại topic rất hay giúp các bạn lớp 9 có thể ôn tập hình học thi vào THPT chuyên.

P/s: Dưới đây là một số bài tập mà mình muốn gửi!

$\boxed{1}$ Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). (I) tiếp xúc với AB,AC lần lượt tại D và E. P là một điểm bất kì trên cung lớn DE của đường tròn (I). Lấy điểm F là điểm đối xứng với A qua PD và M là trung điểm DE. Chứng minh rằng $\hat{FMP}$ = 90^o

$\boxed{2}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Phân giác $\hat{BAC}$ cắt (O) tại E khác A. Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB,AC. Trung trực AB,AC cắt AE lần lượt tại P,Q. Chứng minh rằng $PM.PE=QN.QE$

$\boxed{3}$ Cho tam giác ABC (AB<AC) ngoại tiếp đường tròn (I), nội tiếp (O), có trực tâm H. (I) tiếp xúc với BC tại D. Khi IO//BC thì chứng minh rằng HD//AO

$\boxed{4}$ Cho tam giác ABC nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H. AH cắt BC tại D. Đường tròn (w) tâm A đi qua D cắt (O) tại P,Q. Gọi G là giao điểm của PQ và AD. AO cắt BC tại E và K,M lần lượt là trung điểm của AD,BC. Chứng minh rằng HM,GE,OD đồng quy.

$\boxed{5}$ Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và I_a là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với góc A. Đường thẳng qua I_a vuông góc với AI_a cắt AC tại E. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I_a lên AB,AC. L thuộc HK sao cho CL//AB. Chứng minh rằng B,L,E thẳng hàng.

$\boxed{6}$(Bài toán khó) Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (I). Đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.Gọi J là tâm nội tiếp của tam giác ABC. K là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác ACD ứng với góc D. Chứng minh K,J,E thẳng hàng.

Mong Topic sẽ quay lại và phát triển như xưa!

P/s: Khi đăng bài thì các bạn phải thêm hình để cho mọi người có thể dễ dàng tiếp thu hơn!